Метод коллокаций в контактной задаче теории упругости для двойного сферического слоя Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

МЕТОД КОЛЛОКАЦИЙ В КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ДВОЙНОГО СФЕРИЧЕСКОГО СЛОЯ

© 2009 г. М.И. Чебаков, Е.М. Колосова

Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики им. И.И. Воровича Южного федерального университета, пр. Стачки, 200/1, корп. 2, г. Ростов н/Д, 344090, chebakov@math.rsu.ru

Vorovich I.I. Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics of Southern Federal University, Stachki Ave, 200/1, build. 2, Rostov-on-Don, 344090, chebakov@math.rsu.ru

Построена схема решения интегрального уравнения поставленной задачи с помощью прямого метода коллокаций. Произведен расчет распределения контактных напряжений, параметров области контакта и взаимосвязи перемещения штампа и действующей на него силы при некоторый; значений исходных параметров. Проведено сравнение результатов расчетов в частных случаях с известными решениями.

Ключевые слова: теория упругости, контактная задача, сферический слой, сферический подшипник, метод кол-локаций, контактные напряжения, область контакта.

The scheme of integral equation solution with use of direct collocation method is created. The algorythm presented allows to conduct calculations of distribution of contact stresses, contact zone parameters and connection between stamp displacements and respond force for some initial parameters' values. The comparison of results in special cases and known solutions is done.

Keywords: тhe theory of elasticity, contact problems, spherical layer, spherical bearing, method of collocation, contact stress, contact area.

В работе рассматривается осесимметричная контактная задача теории упругости о взаимодействии абсолютно жесткого шара (штампа) с внутренней поверхностью двухслойного сферического основания. Внешняя поверхность основания закреплена, слои имеют различные упругие постоянные и между собой жестко соединены, в зоне контакта отсутствуют силы трения. Построена схема решения интегрального уравнения поставленной задачи с помощью прямого метода коллокаций [1, 2], произведен расчет распределения контактных напряжений, параметров области контакта и взаимосвязи перемещения штампа и действующей на него силы при различных значениях исходных параметров. Проведено сравнение результатов расчетов в частных случаях с известными решениями для относительно тонких слоев (асимптотическое решение) [3] и для случая, когда относительная толщина слоев велика (задача Герца) [4]. Асимптотическим методом в [5] исследована аналогичная задача для однослойного сферического основания.

Постановка задачи теории упругости

В сферических координатах (г, в, р) рассмотрим два сферических слоя Щ < г < Я2 (слой 1) и Я2 < г < Я3 (слой 2) с различными упругими постоян-

ными, жестко соединенных по сферической поверхности г = Я2. Пусть поверхность г = Щ неподвижна, а в поверхность г = Щ вдавливается силой Р штамп в форме шара радиуса Я0 = Я! -А с точкой первоначального касания г = Я1, р = 0 . Предполагаем, что трение между штампом и сферическим слоем отсутствует, сила Р направлена вдоль прямой р = 0, а величина А мала. В этом случае приходим к решению осесимметричной краевой задачи для уравнений Ляме в сферических координатах со следующими

граничными условиями: и® = (б + А) еоБр - А , т( = 0 (г = Я!, |р|<у); СТ® = 0 , Г® = 0 (г = Я!, |р|>у); п((2) = иР = 0 (г = Я3); и® = и(2), ( = р,

г(1) =г(2) ст(1) =ст(2)

(r = R2), где S - смещение

штампа; ur - перемещение вдоль оси r; ar

г,ф

компоненты тензора напряжений; | р |< у - область контакта.

Решение задачи может быть сведено [3] к исследованию следующего парного ряда-уравнения:

2 akK(ak)Pk (cosp) = f(p) (0 <p<y), k=0

да

2akPk(cosp) = 0 (у<ф<ж), к=0

(1)

f (<) =

G 1

-1-((£ + A)cosp-A) , ak = k + —

Rl(1 -v—) 2

Jq(w)k{y,p)dy = f (p), (0<p<y),

(2)

с ядром k(\,p) = )Pk(cos\)Pk(cosp),

к=0

которое можно представить в виде двух слагаемых k(\, p) = k0 p) + k1 p), где

ТО

ко Р) = sin \ £ Pk (cos\)Pk (cosp), (3)

к=0

да

kjp) = sin \ £ «k¿(«k)Pk (cos\)Pk (cosp). (4)

к=0

Здесь L(m) = K(и) -1/и .

Ряд (4) сходится при любых значениях параметров, а ряд (3) может быть просуммирован

k0Íy<) = -

42

sin у

K

2 sin у sin p 1 - cos(y + p)

(5)

1 - соз(^+р) где К(к) - полный эллиптический интеграл.

При выводе формулы (5) были использованы со-

отношения

[6]

2

Ж/2

Pk (cos t) Pk (cosp) = — J Pk (p)dy ж 0 2

(p = cos (t + p) + 2sintsinpsin у), значение ряда [7] 1

TO

2 Pk (p) = i k=0 v2(1 - p)

| p |< 1) и значение интеграла

ж/2

[8] J

dy

22 0 - a sin у

■ = K(a) .

где Pk (cosp) - полиномы Лежандра; Gi - модуль сдвига; vi - коэффициент Пуассона (/'=1, 2).

Неизвестные контактные напряжения под штампом ar(Ri,p) = q(p) определяются через решение парного ряда-уравнения (1) из соотношения

q(p) = 2 akpk (cosp;>. к=0

В (1) функция K(и) получена [3] с использованием программы аналитических вычислений MAPLE, имеет довольно громоздкую структуру, поэтому не представляется возможным полностью привести ее здесь, но основные ее свойства изучены, например,

K (и)

K (и) представима в виде [3] K (и) = —1-,

K 2 (и)

9

Ki(и) = G Т112(и) + G^i1(n) +%0(и), где G = G2/G , а j]ij (и) содержат степенные и экспоненциальные

функции, зависят только от коэффициентов Пуассона материала слоев и отношения радиусов Г2 = R2 /Ri,

r3 = R3/R1. K(и) = 1/и + O(1/и2) (и ^^).

Парное интегральное уравнение (ИУ) эквивалентно ИУ

На основе свойства эллиптического интеграла [8] 1 2

К (к) = -—1п(1 - к ) + 0(1) (к ^ 1) можно показать, что

ко(у,р) = -—1п|у-р|+0(1) (у^р). (6) п

Решение ИУ

Для решения ИУ (2) используем прямой метод коллокаций [1], для чего ИУ дискретизируем по схеме [2] с учетом логарифмической особенности ядра при у ^ р. Получим

№ р^+ЕП

Е 2 Ч(¥г)к(у, р) + Ч(У]) Iк(у,р] )у = /р)

р! -е/2

i=1,i* j (j = 1,2,..., N),

(7)

где Е = у/N - интервал коллокации; уг = — + е(1 -1)

е , . п

и р=—+е(] -1) - узлы коллокации.

■ 2

Учитывая (6), отбрасывая бесконечно малые более высокого порядка и используя значение интеграла

р■+Е/2 ( Е Л

11п | у-р] | йу =£ 1п--11, систему (7) преоб-

р] -е/2 V 2 )

разуем к виду

Е 2 Яг (4 + ■ ) -ЕÍ 1п = /(р]) ,

i=1,i* j о

2

<4 = k0y¥i,pj)> a17 = k1 y p).

(8)

= к0(Т1 ) , а]г = к1СГг ,р])

Таким образом, задача сведена к конечной системе линейных алгебраических уравнений, решение которой можно получить стандартными методами, при

этом коэффициенты ] и ] системы могут быть

вычислены с высокой точностью, имея в виду, что ряд (4) сходится, а функция Ь(ы) имеет явное аналитическое выражение через элементарные функции.

Числовые расчеты

В рассматриваемой задаче область контакта у нелинейным образом зависит от задаваемого смещения штампа 3, заранее неизвестна, и поэтому эта величина находилась итерационным способом по следующей схеме. Вначале, полагая область контакта фиксированной, на основе пробных расчетов путем решения системы (8) подбиралась величина у

таким образом, чтобы на границе области контакта контактные напряжения имели меньшее по модулю значение, чем во внутренних точках. Далее процесс нахождения у автоматизировался таким образом: если напряжения на границе имели знак, противоположный знаку напряжений в первоначальной точке контакта, то величина у уменьшалась на малую заданную величину Ду и производился расчет контактных напряжений при условии, что относитель-

ж

0

да

ная величина д* =|g(pN)/д(<)| контактных напряжений на границе не достигла наперед заданного минимума. Если же напряжения на границе имели тот же знак, что и в точке первоначального касания, то величина у увеличивалась на малую величину Ау и производился расчет контактных напряжений при том же условии на величину д». При очередной итерации величина шага Ау уменьшалась в 2 раза. Первоначальная величина Ау, как и у, подбиралась вручную. Условием окончания такого итерационного процесса являлось достижение наперед заданного относительного минимума контактных напряжений на границе области контакта.

Точность получаемых численных результатов контролировалась путем увеличения числа уравнений в системе (8) .

Следует отметить, что с увеличением параметра О требуется меньшее число уравнений в системе (8) для получения результата с заданной точностью; в окрестности точки первоначального касания примерно при г <у/20и N = 1000 метод колло-каций дает несколько заниженный результат для величины контактных напряжений.

В таблице в четных строках на основе описанного выше метода коллокаций приведены результаты расчетов приложенной к штампу силы Р , контактных напряжений д(р) в точках рп =уп /5 (п = 1,2,3,4) и величины области контакта у для некоторых заданных значений параметров 3, О, А, Г2, Г3 при

= 1, N = 1000. Для сравнения в нечетных строках приведены результаты, полученные на основе асимптотического метода [3] для относительно тонких

*

слоев; дп = д(рп)/О1, Р = Р/О1. Как видно из таблицы, результаты, полученные методом коллокаций и асимптотическим методом, достаточно хорошо согласуются, исключением является отмеченная выше окрестность точки первоначального касания.

В случае, когда область контакта мала, слои имеют одинаковые механические свойства и их толщина велика, полученное вышеизложенным методом решение задачи с достаточной точность совпадает с решением, полученным на основе формул Герца [4]. Так при А = 0,1, О = 1, Г2 = 5 , Г3 = 6 на основе приведенной выше схемы решения задачи при Р /О1 = 0,000417

Контактные напряжения и области контакта

№ G S -104 r 41 -103 42-103 43 -103 q4 -103 * О P -1Q3

Д = 0,0001; r2 = 1,1; r3 = 1,2

1 0,5 0,700 51,2 0,889 0,762 0,596 0,370 1,00

2 0,5 0,700 52,0 0,842 0,738 0,569 0,344 0,979

3 2,0 0,462 45,4 1,08 0,950 0,734 0,438 1,00

4 2,0 0,462 45,7 1,06 0,931 0,715 0,423 0,985

5 5,0 0,405 43,4 1,17 1,03 0,792 0,468 1,00

6 5,0 0,405 43,6 1,15 1,01 0,774 0,456 0,981

Д = 0,0001; r2 = 1,05; r3 = 1,2

7 0,5 0,776 52,5 0,823 0,728 0,571 0,359 1,00

8 0,5 0,776 53,7 0,797 0,698 0,538 0,323 0,975

9 2,0 0,413 43,7 1,16 1,02 0,783 0,464 1,00

10 2,0 0,413 43,9 1,14 0,997 0,766 0,453 0,984

11 5,0 0,318 39,9 1,38 1,21 0,924 0,539 1,00

12 5,0 0,318 40,0 1,34 1,17 0,898 0,523 0,974

будем иметь у = 5,90 град., д0 = д(0)/О1 = 0,0190, а на основе формул Герца получим у = 5,70 град., д0 = д(0)/ О1 = 0,0201.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант № 08-08-00873) и ФЦП «Научные и педагогические кадры инновационной России» (Госконтракт 02.740.11.5024).

Литература

1. Воронин В.В., Цецехо В.А. Численное решение интегрального уравнении 1-го рода с логарифмической особенностью методом интерполяции и коллокации // Журн. выч. мат. и мат. физ. 1981. Т. 21, № 1. С. 40-53.

2. Чебаков М.И. К теории расчета двухслойного цилиндрического подшипника // Изв. РАН. МТТ. 2009. № 3. С. 163-170.

3. Чебаков М.И., Иваночкин П.Г., Кармазин П.Г. Асимптотический метод расчета двухслойного сферического подшипника скольжения // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2008. № 4. С. 29-31.

4. Прочность, устойчивость, колебания / под ред. И. А. Бир-гера, Я.Г. Пановко. Т. 2. М., 1968. 464 с.

5. Александров В.М., Чебаков М.И. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости. М., 2004. 304 с.

6. Карпенко В.А. О замкнутом решении первой краевой задачи теории упругости для пространства с шаровой полостью // ПММ. 1975. Т. 39, № 5. С. 951-955.

7. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М., 1983. 752 с.

8. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1971. 1108 с.

Поступила в редакцию

7 мая 2009 г.