Интегральные уравнения контактных задач для трехслойной полосы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПОЛОСЫ

© 2012 г. М.И. Чебаков, Е.М. Колосова

Чебаков Михаил Иванович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом механики контактных взаимодействий, Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики Южного федерального университета, пр. Стачки, 200/1, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: chebakov@math.rsu.ru.

Колосова Елена Михайловна - кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики Южного федерального университета, пр. Стачки, 200/1, г. Ростов н/Д, 344090.

Chebakov Mikhail Ivanovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of Contact Mechanics Department, Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics of Southern Federal University, Stachki Ave, 200/1, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: chebakov@math.rsu.ru.

Kolosova Elena Mikhailovna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Scientific Researcher, Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics of Southern Federal University, Stachki Ave, 200/1, Rostov-on-Don, 344090.

Получены точные интегральные уравнения первого рода плоских контактных задач с учетом сил трения для трехслойного упругого основания, лежащего на жестком основании или упругом полупространстве. Предполагается, что слои жестко соединены между собой и с полупространством, подошва штампа имеет форму параболы или плоская, а в зоне контакта нормальные и касательные напряжения связаны законом Кулона. На штамп действуют нормальные и касательные усилия, при этом система штамп — трехслойное основание находится в условиях предельного равновесия, штамп в процессе деформации слоя не поворачивается. Ядра интегральных уравнений представлены в явном аналитическом виде и получены с помощью программ аналитических вычислений. Изучены основные свойства ядер интегральных уравнений, в том числе показано, что числитель и знаменатель символов ядер могут быть представлены в виде разложения по произведениям степеней модулей сдвига слоев и полупространства.

Ключевые слова: контактное взаимодействие, теория упругости, трение, слоистое основание, интегральные уравнения.

Exact integral equations of the first kind ofplane contact problems with the forces of friction for three-layer elastic foundation, lying on the hard ground or elastic half space are obtained. It is assumed that the layers are rigidly connected with each other and with the half space. The base of the stamp has the form of a parabola or a rectangle. Normal and shear stresses in the contact area are related by Coulomb friction. Normal and tangential forces act on the stamp. Stamp and a three-layer base is in limiting equilibrium. Stamp in process of the deformation of the layer does not turn. Kernels of the integral equations presented in explicit analytic form and obtained using analytic calculations. Basic properties of the kernels of integral equations are studied. It is shown that the numerator and denominator of the core characters can be represented as an expansion in powers of the shear modulus of layers and half space.

Keywords: contact interaction, theory of elasticity, friction, layered base, integral equations.

Получены точные интегральные уравнения первого рода плоских контактных задач с учетом сил трения для трехслойного упругого основания, лежащего на жестком основании или упругом полупространстве. Предполагается, что слои жестко соединены между собой и с полупространством, подошва штампа имеет форму параболы или плоская, а в зоне контакта нормальные и касательные напряжения связаны законом Кулона. На штамп действуют нормальные и касательные усилия, при этом система штамп - трехслойное основание находится в условиях предельного равновесия, штамп в процессе деформации слоя не поворачивается. Ядра интегральных уравнений представлены в явном аналитическом виде и получены с помощью программ аналитических вычислений. Изучены основные свойства ядер интегральных уравнений, в том числе показано, что числитель и знаменатель символов ядер могут быть представлены в виде разложения по произведениям степеней модулей сдвига слоев и полупространства.

Подробный обзор публикаций, посвященных контактным задачам для многослойных оснований, дан в [1, 2]. Контактные задачи для двухслойных оснований рассматривались в [3-6] и др.

Постановка задач

Рассмотрим на плоскости область у < И, состоящую из трех слоев: 0 < у < Их; — И2 < у < 0; —И2 — И < У < И , — х< х <х и полуплоскости у<—И — И, где (х,у) - декартовы координаты. Пусть слои и полуплоскость, имеющие разные упругие постоянные, жестко соединены между собой, грань у = И1 слоя 1 взаимодействует со штампом, находящимся под действием сил - нормальной Р и горизонтальной Т = ¡иР. Пусть в зоне контакта нормальные и касательные напряжения связаны законом Кулона тху = ¡су (и - коэффициент трения).

Будем рассматривать два случая: штамп имеет подошву в виде параболы с радиусом кривизны R в вершине - задача 1; штамп имеет форму прямоугольника - задача 2. В задаче 1 зона контакта переменна, в задаче 2 - фиксирована. Рассматривается случай предельного равновесия, сила Р приложена к штампу с

некоторым эксцентриситетом e таким образом, что он не поворачивается в процессе деформирования слоя.

В случае плоской деформации задачи сводятся к соответствующим уравнениям Ламе при следующих граничных условиях:

1 =Tly = 0 (у=Кx<-ax>b)

2 32 32 32 3

v = v ,и = и ,cty =°y,tZy = tXy

3 4 3 4 3 4 3 v = v ,u = u ^ =ay,t3y

су

Т1у =исСу, ^ = 3 — /(х) (у = К—а < х < Ь) > V1 = V2,«1 = и\су =суту т (у = 0),

(у = —И),

= ТХсу (у = —И2 — И ) > при этом напряжения в полуплоскости у < —И2 — И

при у ^—х стремятся к нулю. Здесь и',V - перемещения в упругих слоях соответственно вдоль осей х, у; с'у ,т' - нормальные и касательные напряжения (индексы 1, 2, 3 и 4 относятся соответственно к слоям 1, 2, 3 и полуплоскости); для задачи 1 /(х) = х2 /(2Д), для задачи 2 /(х) = 0 .

Интегральное уравнение

С помощью преобразования Фурье полученные краевые задачи сводятся относительно неизвестных нормальных контактных напряжений под штампом с = —?(х) к интегральному уравнению (ИУ)

J q^k

f^-x ^ К

d£, = z0S(x), (- a < x < b), в =

Gi

1 -vi

(1)

ядро которого представимо в виде двух слагаемых

k (t ) = ki (t )Sk2 (t), , (2)

2(1 -vi)

k (t ) = J *M cos

utdu, k2 (t) = J L^Ml sin utdu

Ц (и) = ЬЛ (и)/Ьп (и), ё(х) = ё — р х2, = (задача 1), 3(х) = 3 (задача 2).

Здесь 3 - перемещение штампа в вертикальном направлении.

Для функций Ц (и) (', ] = 1,2) получены явные аналитические выражения, которые представимы в виде

a

0

0

разложении по величинам относительных модулей сдвига Ол = О / 01, где О,. (' = 1, 2, 3, 4) - соответственно модули сдвига слоев 1, 2, 3 и полупространства,

Ц (и) = <22 (и^О2 + П03! (и^з3^! + П04О (и О + (3) + п^и^Оз^ + И<21(и)а21а421а41 + п^и^о202 + + п1з 0(и)021о441 + пш(и)021°441°41 + п140(и)021°41 + + П^СиО^ + п|п(и)0220з1041 + п^и^ОзО +

+П^иООз2 + п2221(и)о221о321о41+п^иООо^ +

+ п2'зо(и)О221Оз21 + п241(и)О22Оз21О41 + П0'4о (и^О4 + + пз02 (u)О2!О4! + n"n(u)G2!G2!G4! + пз12 (и)0^10з10^1 + + пз^и^О + пз'21(и)О2з1О2О41 + пз^ОЮ +

+ п44о2(и)0241041 + п4п(и)02410з 1041 + ПП0(и)О21О31 •

Отметим, что Ц2 (и) = (1 - 2у )Х22 (и) / 2.

Функции п'^т (и) получены в явном виде, содержат гиперболические и степенные функции аргумента, зависят только от коэффициентов Пуассона и относительных толщин слоев Н2 = к2 / к, Н = к / к . Здесь они не приводятся из-за громоздкости, но их вид позволяет изучить основные свойства трансформант ядер интегрального уравнения (2), в том числе и поведение в нуле и на бесконечности. Показано, что Ц(и)/и = Л_и-1 + А + ^(и) (и ^0), Ц(и) = 1 (и ^да), Л-1 = (1 -У4)/(1 -у)/041, Л> = Пх/й,

предельный переход к двум слоям и одному слою на жестком основании. Отметим, что для задачи 2 естественно считать, что Ь = а .

В случае задачи для трех слоев, жестко соединенных между собой и с недеформируемым основанием, функции Ц (и) (/ = 1,2) принимают более простой вид

Ц (и) = П02 (и)О2 + пЦ (и)0210з1 + п{,2 (и)0210з21 +

+ nj (u)G 2 + nj (u)G21 G31 + nj (u)G21 G32j + + nj (m)G23j + n-j (m)G23jG31 + nj (m)G24j .

(4)

Функции П(т (и) имеют здесь менее громоздкую структуру, чем в задачах для трех слоев на полуплоскости, и могут быть выписаны в явном виде, они содержат гиперболические и степенные функции аргумента, зависят только от коэффициентов Пуассона и толщин слоев. Формулы (4) также позволяют путем предельных переходов 031 ^да и 021 ^да прийти последовательно к известным задачам для двух слоев или одного слоя на жестком основании. Если положить О = 1 (I =2, 3), У2=у\, уз=у1, получим задачи для одного слоя толщиной к = к + К + к, и функции Ц (и) примут соответствующий вид [7, 8].

Приведем здесь некоторые выражения п'(т (и), имеющих наиболее простую структуру, другие функции П(т (и) не представляется возможным привести в рамках этой статьи пЦ(и) = 16(2и + 5к2и)от02(и) ,

Z2(u)/и — -1 + В0 + 0(u) (u ^0), L2(u) —1 n» —-8[a42sh2u-a04sh2u(1-H2)-a00sh2u(1 + H2) +

1 - 2v

(u ^да), В_, =-- 1 2^4

G4j(1-2^j)

Во =-2(1=?4)nL, где

й = 20210з10421(1 -у^ у 2)(1 у ,

п1 = п012Оз1О41 + п102О21О421 + п110О21Оз1 + пШ0210з1041 +

+ пП20210з10421 +п120°21°з1 , п012 = Н2(1 ^Х1 ^зХ1-2^ , пш = Нз(1 -уД1 ^Х^), пП0 = (1 )(1 Уз)(1 ,

пт = -2(1 - 2у,)[НъУз(1 - у )(1 у +

+Н2у2(1 - у )(1 - Уз) + у (1 - у2)(1 - уз)] ,

п112 = (1-2^X1 -Уз)(1 У, пт = -^О^)^ -У1)(1 -у2) ,

й2 = 0421 (1 - 2у )(1 - уз )(1 - у2 )(1 - у1) ,

п2 = -О Н2 (1 - 2у4 )(1 - уз )(1 - у1 ) -

- 0з1 Н з(1-2у4)(1 -у2)(1-у1) +

+041[Н2(1 -Уз)(1 -2У2)(1 - У1) + Нз(1 - 2уз)(1 - у2)(1 - у1) + +(1 -уз)(1 -у2)(1-2у1)] •

Отметим, что при 041 ^ да Л_г ^ 0, Б^ ^ 0, В ^ 0, а А0 примет более простой вид А0 =

= п01°з1 + п10021 + п110210з1 п = Н (1 У ¥1 У )(1 )

= г л-^-77,-: , п01 = Н2(1 -У1)(1 -Уз)(1 -2У2) ,

20210з1 (1 -У1) (1-У2Х1-Уз)

пш = Нз(1 -у1)(1 -у2)(1-2уз), пП = (1 -у2)(1 -у2)(1-Зуl) •

Формулы (3) позволяют путем предельного перехода при 041 ^ да прийти к задаче для трех слоев на жестком основании. Также аналогично выполняется

+a20ch2uH2 + а22/2]m12(u), ^ = -2^(2u2H2 + ) , #20 — 4иод2 , ^^ — , ^О) — 2 , ^ — u(2u2H^ -4H2tju + /2), njj(u) — 8(2u - ^ sh2u)m22 (u), nH(u) —16[^(ch2u -1) + 2u2]m2(u) , n21(u) — 4[c4ch 2u(1 + H2) + c4ch 2uH2 + c42ch 2u(1 - H2) +

+Co4Ch2u + c22]mj2(u) , c44 —-^2^1^12 , co4 — +/2) ,

c42 — /2K12 > c40 — 2/2 (2u2 - Kj) ,

^ — -8u4H2 + 4u2(kH2 + 8^H2 ) + 2/K ,

n22 — 8 [/ (ch2u -1) - 2u2 (u),

nj2(u) — n^2(u) — 32(u2 - sh2u)m02(u) ,

nj2 (u) — nj22 (u) — 8(buch2u(1 + H2) + ^2ch2u +

+bmch2u(1 -H2) +b4ch2u^2 + b22/2)m(u), ^ — -k2/12 ,

b42 — 2^j(2u2H +/2), b40 — K2K2, b24 — -2tj2K2(2u2 ,

^ — 16u4H2-u2(8Hl% + 64H2^ -8/)-4^j/2 , nj2(u) — n'22(u) — -8(2u2 +kch 2u + Д )^2 (u), m02(u) — (klsh2uH2 -u2H2)m(u),

m (u) — 2u 2H32 + k3 ch 2uH3 + Д

3 •

^^ (u) — (2u 2H2 + k2ch2uH2 + ß2 )m2 (u) .

2

Здесь введены следующие обозначения: Р = 8у] —12У' + 5 , Р.= 8у,У. — 6(У' + уу ) + 5 ,

У, = 8^2 — 10к + 3 = , Щ =1 — 2к , щ =(1 — К)(1 — к) > ^ = 3 — , = 3 — 2к — . Функции п'^т(и), п'^т(и) с одинаковыми нижними индексами могут иметь одинаковые функции-множители т02 (и), т12 (и), т22 (и), что позволяет легко проследить отмеченный выше последовательный предельный переход при С31 ^ х и С21 ^ х и получить ранее известные соотношения [3, 7, 8].

Ядро ИУ (1) имеет логарифмическую особенность и для случая С4 = х может быть представлено в виде [8]

k(t) = -ln|t| + Fit), F(t) = -Fl(f)-9 -sgn(í)-F2(í)

(5)

\ 7 [1-L (u)]cos uí - < ч 71 - L2 (u) . F (í) = J --^-du, F2 (í) = J-^ sin uídu., (6)

0 u 0 u

где интегралы F (í) сходятся при любых значениях í из промежутка -2a / h j< í < 2b / h j.

Решение ИУ (1) с ядром (5), (6) может быть получено с помощью широкого спектра аналитических и численных способов [1-9].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 11-08-00909, 11-08-12087-офи-м-2011).

Литература

1. Никишин В.С. Статические контактные задачи для многослойных упругих тел // Механика контактных взаимодействий / под ред. И.И. Воровича, В.М. Александрова. М., 2001. С. 214 - 233.

2. Айзикович С.М. Статические контактные задачи для неоднородного по глубине основания // Там же. С. 199 - 213.

3. Иваночкин П.Г., Колесников В.И., Флек Б.Н., Чеба-ков М.И. Контактная прочность двухслойного покрытия при наличии сил трения в области контакта // Изв. РАН. МТТ. 2007. № 1. С. 183 - 192.

4. Чебаков М.И. Взаимодействие штампа и двухслойного основания при наличии сил трения в области контакта // Экол. вестн. науч. центров ЧЭС. 2006. № 1. С. 60 - 66.

5. Александров В.М., Клиндухов В.В. Контактная задача для двухслойного основания с неидеальной механической связью между слоями // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 3. С. 84 - 92.

6. Колосова Е.М., Чебаков М.И. Контактная задача для двухслойного сферического основания // ПММ. 2010. Т. 74, вып. 6. С. 945 - 952.

7. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М., 1974. 456 с.

8. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М., 1986. 336 с.

9. Воронин В.В., Цецехо В.А. Численное решение интегрального уравнения 1-го рода с логарифмической особенностью методом интерполяции и коллокации // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1981. Т. 21, № 1. С. 40 - 53.

Поступила в редакцию

7 сентября 2012 г.