Контактная задача для трехслойной полосы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПОЛОСЫ © 2011 г. М.И. Чебаков, Е.М. Колосова

Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики Южного федерального университета, пр. Стачки, 200/1, г. Ростов н/Д, 344090, niimpm@ns.math. sfedu.ru

Research Institute of Mechanics

and Applied Mathematics of Southern Federal University, Stachki Ave, 200/1, Rostov-on-Don, 344090, niimpm@ns.math.sfedu.ru

Рассмотрена контактная задача для трехслойной упругой полосы, лежащей на жестком основании. Предполагается, что слои жестко соединены между собой и с жестким основанием, подошва штампа имеет форму параболы или плоская, а на штамп действует нормальное усилие. Для поставленной задачи впервые получено интегральное уравнение 1-го рода с ядром, представленным в явном аналитическом виде. Изучены основные свойства ядер интегрального уравнения. Построена схема его решения с помощью прямого метода коллокаций. Производен расчет распределения контактных напряжений, размеров области контакта, взаимосвязи перемещения штампа и действующей на него силы в зависимости от геометрических и механических параметров слоев. Проведено сравнение результатов расчетов, полученных ранее в частных случаях.

Ключевые слова: трехслойное основание, контактные напряжения, метод коллокаций, интегральное уравнение.

A contact problem for a three-layered elastic strip lying on rigid base was considered. It is assumed that the layers are rigidly connected to each other and with the hard ground. It is also assumed that the base of the stamp is a parabola or a plane, and normal force act on the stamp. For this problem the first time an integral equation of the first kind with the kernel shown in explicit analytic form was obtained. The basic properties of the kernels of the integral equation are studied. The scheme of solving integral equations use the direct method of collocations. The distribution of contact stresses, the size of the contact area, the relationship moving stamp and the forces acting on it are calculated on depend of the geometrical and mechanical parameters of the layers. A comparison of simulation results obtained previously in special cases was conducted.

Keywords: three-layer base, contact stresses, method of collocation, integral equation.

Контактные задачи для многослойных оснований имеют важное практическое и теоретическое значение. В опубликованных работах трансформанты ядер интегральных уравнений таких задач строились в случаях, когда слоев больше двух, на основе численных подходов. Подробный обзор этих работ дан в [1]. Ниже трансформанта ядра интегрального уравнения для трехслойной полосы построена в явном аналитическом виде.

Постановка задачи

Рассмотрим область -И3 < у < И состоящую из 3 слоев: 0 < у < И, -й2 < у < 0, -Иъ < у <-И2, —ю< х (рисунок), где (х, у) - декартовы координаты. Пусть слои, имеющие разные упругие постоянные, жестко соединены между собой, а грань у = И слоя 1 взаимодействует со штампом, находящимся под действием нормальной силы Р.

фиксирована. Сила Р приложена к штампу симметрично, таким образом он не поворачивается в процессе деформирования основания.

В случае плоской деформации обе задачи сводятся к решению уравнений Ламе при соответствующих граничных условиях

Интегральное уравнение

С помощью преобразования Фурье полученная краевая задача сводится относительно неизвестных контактных напряжений под штампом а = -д(х) к

интегральному уравнению (ИУ)

Ог

К

] qigfr = z9S(x), (- a < x < a), 9 =

ядро kl (t )=l

которого

представимо

i (1)

1 -V!

в виде

L(u)

cos

0 u

utdu , L(u) = L (u)/L (u), S(x) = S — ßxx

ГТТ7Т7-ГГГГ7-ГТТТТ-ГТТ7-ГЛ

Задача 1

s s * s / s s / j s s / ss s ssl

Задача 2

К постановке задачи

Будем рассматривать 2 случая: штамп имеет подошву в виде параболы с радиусом кривизны Я в вершине - задача 1 и форму прямоугольника - задача 2. В задаче 1 зона контакта переменна, в задаче 2 -

(задача 1), Р = 1/(2Я), 8(х) = 8 (задача 2).

Здесь 8 - вертикальное перемещение штампа; О и 1л (/=1, 2, 3) - соответственно модуль сдвига и коэффициент Пуассона в /-м слое; функции Ц (и) (I = 1,2) представимы в виде разложений по степеням относительных значений модулей Оя = О / О (' = 1,2 )•

Ц (и) = п02 (и)О2 + ип (и)О21О31 + и12 ((и)О21О2 + и20 (и)О^ + + и21 (и)О^ О31 + пгг ("О21 О32[ + По (и)О21 + % (и)О21031 + По (и)О21, Ц (и) = (и)О2 + ^¡(и)О21О31 + (и)О\О1\ + (2) + ^20 (и)О2 + (и)О2 О31 + ^22 (и)О^1 Оз1 + ^30 (и)О21 + + ё31 (и)О231О31 + ёА0 (и)О21.

a

Функции nju), dju) могут быть выписаны в явном виде; они содержат гиперболические и степенные функции аргумента, зависят только от коэффициентов Пуассона и толщин слоев. Формула (2) позволяет путем предельных переходов G31 ^ да и G21 ^ да прийти последовательно к известным задачам для двух слоев или одного слоя на жестком основании. Если положить = 1 (i=1, 2), v2=Vj, v3 = ., получим задачу для одного слоя толщиной h1+h2+h3 и функция L(u) примет соответствующий вид [2].

Приведем здесь некоторые выражения функций, имеющих наиболее простую структуру, для nju), dj(u). пи (u) = 16(2u + shlu)m02 (u) ,

m02(u) = (к2sh2uH2 -u2Hl\2u2H3 + кгch2uH3 + Д) , n12 (u) = -8(a42sh2u - a04sh2u(1 - H2) - a00sh2u(1 + H2) + +a20ch2uH2 + a22 / 2)m12 (u), m12 (u) = 2u2H3 + къch2uH3 + Д,

a42 = -2^i (2u2H2 + /2), a20 = -4u^2i2 , a04 = ,

aoo = -^2012, a22 = u(2u2H2 - 4H2jju +y2), n22 (u) = 8(2u - STj sh2u)m22 (u),

m22 (u) = (2u 2H2 + ^2 ch 2uH2 + Д )(2u 2H32 + ^3 ch 2uH3 + Д), d02 (u) = 32(u2 - sh2u)m02 (u),

du (u) = 8(bAAch 2u(1 + H2 ) + b42ch 2u + b^ch 2u(1 - H2 ) + +b24ch2uH2 + b22 / 2)m12 (и),

b44 = -^2Г12 , b42 = 21(2u 2 H22 + Г2) ,

b40 = , b24 = -2^2K2(2u2 -1) ,

b22 = 16u4H2 -u2 (8Hh + 64H21 - 8/2) - 4ц2к2,

d22 (u) = -8(2u2 + ^ ch 2u + Д )m22 (u),

где Д = 8v,2 - 12. + 5 , Д, = 8v. v, - 6. + v,) + 5,

ft = 8v,2 -10. + 3 = 1 = 1 - 2. = (1 - v. )(1 - v,),

^ = 3 - 4V, ^ = 3 - 2. - 2v, .

Функции nij(u), dy(u) с одинаковыми индексами имеют частично совпадающие функции-множители, что позволяет легко проследить отмеченный выше последовательный предельный переход при G31 ^ да и G21 ^ да.

Символ ядра ИУ имеет предельные значения L(u) = 1 (u ^ да), L(u)/u = A (u ^ 0 ), A = A„ / A,

An = п01 (0)G31 + п10 (0)G21 + п11 (0)G21G31 , A, = 2G21G31CL -V1)2(1 -V2)(1 -V3) .

П01 (0) = H 2(1 -V1)(1 -V3)(1 - 2.2), nw(0) = H 3(1 -V1)(1 -V2)(1 - 2.3),

nn(0) = (1 -V2)(1 -V3)(1 -2.1) .

Ядро ИУ имеет логарифмическую особенность и может быть представлено в виде

к (о=- щ+f(O , F (t)=;[1 - L1(u)]cos ut - e ~udt, (3)

0 u

где интеграл в F(t) сходится при любых значениях t из промежутка -2a / \ < t < 2b / \ .

Решение ИУ

Для решения ИУ (1) используем метод коллокации [3, 4]. В соответствии со схемой этого метода проведем дискретизацию ИУ по схеме

N

£ £ j

j=1,j *i

h,

rXi +£ /2»

+q

X ^

hi

d! = ^es(xi), (4)

(1 < г < N),

где ^ = ) - контактные напряжения в узлах коллокации к=-а+ е/2+ е(/ -1); х = -а+£/2+е(/-1); е= 2a/N -

интервал коллокации; N - число узлов коллокации. Интеграл в (4) в соответствии с (3) представим в

XI + £/ 2

виде суммы двух интегралов: Iu = - J ln

XI-£/2

I- X

hi

dI =

\n—-1

2h

Xi + £ /2 f I — X ^

12i = J F

Xj -£ / 2

h,

dI. I2

имеет

значительно более высокий порядок малости при малых е по сравнению с /ь и поэтому им можно пренебречь в дальнейших расчетах.

Окончательно для нахождения контактных напряжений д(х) в узлах коллокации х = х1 =-а + е/2 + в(г-1) получим систему линейных алгебраических уравнений

= Ь (г = 1,...,N), (5)

j=l

аи = к к j - хг V И1 (г Ф j)' аг = /и' = Я"<9<5(хг) Система (5) имеет диагональную структуру. Меж-

7+1, j+1 = aij

ду её коэффициентами существует связь а1 (/ > г), ау = аг ; следовательно, достаточно вычислить только коэффициенты 1-й строки - а ..

Для вычисления силы P, действующей на штамп,

N

справедливо соотношение Р = е^ дк .

Результаты расчетов

На основе изложенного выше подхода для обеих задач проведен анализ контактных напряжений, действующей на штамп силы, а также размеров области контакта в задаче 1 при различных значениях параметров.

Результаты расчетов протестированы путем сравнения их с данными, приведенными в [2] для однослойного основания (табл. 1, 2). Для задачи 2 д =1, a = 1, ^21 = = 1, к = ^ + й2 + ^ (К = К = К), ^ = Ч(ап/1О)/0, P*=P/в. В табл. 1 приведены P* и qn при некотор^1х значениях N и Ь, полученные на основе изложенного подхода, там же в строках 3, 6, 9 - значения соответствующих величин, взятые из [2, табл. 7]. Наблюдается хорошее совпадение результатов. Их сравнение при N = 501 и N = 1001 говорит о том, что для расчетов достаточно ограничиться значением N = 501.

Для задачи 1 д = 0,0002, R = 1. В табл. 2 приведены результаты сравнения P* и д0 при N=501 и некоторых значений h. Там же в строках 2, 4, 6 приведены значения соответствующих величин, взятых из [2, табл. 15] при Л=1, 2, 4 и преобразованных согласно

= £

к=1

введенным здесь и в [2] обозначениям. Здесь также наблюдается хорошее совпадение значений соответствующих величин.

Таблица 1

Контроль результатов расчетов для задачи 2

Таблица 2

Контроль результатов расчетов для задачи 1

h a P403 40

0,0175 0,0175 0,748 0,0282

0,0175 0,0175 0,748 0,0282

0,0312 0,0156 0,448 0,0183

0,0312 0,0156 0,448 0,0185

0,0544 0,0137 0,305 0,0143

0,0544 0,0138 0,304 0,0142

На основе изложенной схемы решения ИУ для задачи 1 проведены расчеты контактных напряжений, действующей на штамп силы и размеров области контакта при 3=0,0002, й1=й3=0,01, б31=1, ^=1 и некоторых значения к2 и 021. Результаты расчетов приведены в табл. 3.

Таблица 3

Результаты расчетов для задачи 1

h? G21 a10 P-103 qn-10 42-10 q^10 46-10 48-10

0,01 2 0,161 0,562 0,230 0,224 0,206 0,176 0,128

1,5 0,160 0,523 0,213 0,208 0,193 0,165 0,121

1 0,158 0,462 0,188 0,184 0,171 0,149 0,112

0,75 0,156 0,415 0,168 0,165 0,155 0,136 0,103

0,5 0,152 0,346 0,141 0,139 0,131 0,117 0,0910

0,005 2 0,166 0,603 0,239 0,233 0,215 0,184 0,133

1,5 0,165 0,580 0,229 0,223 0,207 0,178 0,130

1 0,164 0,539 0,212 0,207 0,192 0,166 0,123

0,75 0,164 0,504 0,198 0,193 0,181 0,157 0,117

0,5 0,161 0,449 0,175 0,172 0,162 0,143 109

Для задачи 2 были проведены расчеты контактных напряжений и действующей на штамп силы при 3=1, 031=1, ^=^3=0,5 и некоторых значениях к2 и 021. Результаты расчетов приведены в табл. 4.

Таблица 4

Результаты расчетов для задачи 2

й2 G21 P 4o 42 44 4б 48

0,5 2 4,69 1,85 1,87 1,92 2,02 2,32

1,5 4,40 1,72 1,73 1,77 1,87 2,17

1 3,92 1,51 1,51 1,54 1,63 1,94

0,75 3,55 1,34 1,35 1,37 1,45 1,76

0,5 3,00 1,10 1,10 1,11 1,20 1,48

0,25 2 5,06 2,04 2,05 2,09 2,18 2,48

1,5 4,88 1,96 1,97 2,00 2,08 2,38

1 4,56 1,83 1,83 1,85 1,92 2,22

0,75 4,29 1,71 1,71 1,72 1,78 2,09

0,5 3,85 1,51 1,51 1,51 1,56 1,86

Числовые результаты для обеих задач показывают, что с уменьшением жесткости среднего слоя или увеличением его толщины при фиксированных величинах перемещения штампа, толщин и модулей сдвига 1-го и 3-го слоев величина области контакта, действующая на штамп сила и контактные напряжения уменьшаются.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 11-08-00909).

Литература

1. Механика контактных взаимодействий / под ред. И.И. Воровича, В.М. Александрова. М., 2001. 672 с.

2. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М., 1974. 456 с.

3. Воронин В.В., Цецехо В.А. Численное решение интегрального уравнения 1 рода с логарифмической особенностью методом интерполяции и коллокации // Журн. выч. математики и мат. физики. 1981. Т. 21, № 1. С. 40 - 53.

4. Контактная прочность двухслойного покрытия при наличии сил трения в области контакта / П.Г. Иваночкин, В.И. Колесников, Б.Н. Флек, М.И Чебаков // Изв. РАН. МТТ. 2007. № 1. С. 183 - 192.

N h p* 40 42 44 48

501 1 5,55 2,33 2,33 2,32 2,36 2,64

1001 1 5,54 2,33 2,32 2,32 2,36 2,64

[2] 1 5,52 2,34 2,33 2,32 2,35 2,66

501 2 3,13 1,13 1,14 1,18 1,28 1,58

1001 2 3,13 1,13 1,14 1,18 1,28 1,59

[2] 2 3,15 1,13 1,14 1,17 1,28 1,57

501 4 1,97 0,653 0,664 0,702 0,792 1,03

1001 4 1,97 0,653 0,664 0,703 0,791 1,03

[2] 4 1,97 0,653 0,664 0,703 0,792 1,03

Поступила в редакцию_11 июля 2011 г.