CC BY
23
УДК 539.3
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДВОЙНОГО СЛОЯ С УЧЕТОМ СИЛ ТРЕНИЯ
© 2005 г. М.И. Чебаков
The spatial contact problem of the elasticity theory about an action of the stamp in the form of an elliptic paraboloid on a surface of the basis consisting of two joined together layers with a various thickness and with various elastic constants, hardly fixed on an opposite bound is considered. Between a title block and layer the Coulomb forces of friction take place.
Исследуется пространственная контактная задача теории упругости о действии штампа в форме эллиптического параболоида на поверхность основания, состоящего из двух склеенных слоев различной толщины и с различными упругими постоянными, жестко закрепленного по противоположной грани. Штамп находится под действием нормальной силы Р , прижимающей его к поверхности слоя, и тангенциальной силы Т, действующей на него в перпендикулярном направлении, между штампом и слоем имеют место силы кулоновского трения. Предполагается, что силы трения параллельны направлению действия тангенциальной силы Т . Получено интегральное уравнение, для решения которого использован метод нелинейных граничных уравнений. Исследовано влияние упругих констант и толщины слоя на величину контактных напряжений, на зависимость вертикального перемещения штампа от вдавливающей силы, на величину и форму области.
Случай, когда однородный слой лежит на неде-формируемом основании, рассмотрен в [1, 2]. В [3, 4] исследован случай, когда слой взаимодействует с упругим полупространством. Используемый метод нелинейных граничных уравнений был разработан в [5].
Пусть кусочно-однородное упругое основание состоит из двух однородных жестко соединенных по границе г = 0 слоев, из которых 1 занимает область 0 < г < к1, 2 - область -Н2 < г < 0, упругие постоянные слоев: модули сдвига О' и коэффициенты Пуассона V различны (' - номер слоя). Пусть жесткий штамп лежит на поверхности первого слоя г = И1 и находится под действием нормальной силы Р и тангенциальной силы Т, направленной вдоль оси Ох. Здесь (х, у, г) - прямоугольная система координат, начало которой находится на границе раздела двух слоев. Граница г = -Н2 второго слоя неподвижна. Предполагая, что силы трения под штампом параллельны силе Т и штамп находится в условиях предельного равновесия и не поворачивается, получим краевую задачу для пространственных уравнений Ля-ме при следующих граничных условиях:
V =-{8- /(х,у)),
Txz = ^:
T = 0
(z = Äj, ( x,y) eQ),
= T = tJz = 0 (z = hj, (x,y) gQ),
1 2 1 2 1 2 u = u , v = v , w = w ,
(1)
a1 =ct2,
T = T
T = T
yz yz>
(z = 0),
2 2 2 n
w = u = v = 0
Должны также выполняться условия статики
Р = Цаг (х, у,0)сЮ, Т = ¿и Р .
□
В (1) и',у', V - компоненты вектора перемещений соответственно вдоль осей х, у, г;
а'г ,тгхг ,тгу2 - компоненты тензора напряжений в слое 1 (1=1) и слое 2 (1=2); ¿и- коэффициент трения; 8 - перемещение штампа; /(х, у) - форма основания штампа; □ - область контакта, которая заранее неизвестна и определяется в процессе решения задачи.
Как это было сделано в [1-4], для определения неизвестных контактных напряжений под штампом д(х, у) получим интегральное уравнение
Ц д(п, #)к(х - п, у - #)СцсС£ =
□
2nG
(S- f (x, y)) (x, y) eQ ,
(2)
1 -V
ядро к(/, т) которого можно представить в виде двух слагаемых
к(/, т) = кх (/, т) - е к2 (/, т), е = и(1 - 2^)/(2 - 2^), 1
ki(t,T) =
4 t2 +т2
k2(t,T) =
t t
+
j (A(A) -wY t2 +T2)dr,
(3)
(4)
t2 + t2
+
/2 , _2 t + T 0
j i-
J(¿2(A) -1)М/ф2 + T2)dy , (5)
где Jn (x) (n = 0,1) - функции Бесселя. (.....G2
L1 (u) = L2 (u) =
- П21 (u)Gz + nu(u)G + np1(u)) d 2 (u)G 2 + d1 (u)G + d0 (u) n22 (u)G 2 + n12 (u)G + n02 (u)
(6) (7)
(1 - 2v1 )(d 2 (u)G2 + d1 (u)G + d0 (u))' Здесь функции dk (u) и nkn (u) определяются следующими соотношениями
d0(u) =
(К +1 + 4H 2 и 2 )еЬ(2м )+ 4к1к2еЬ(2м )еЬ(2мЯ ) +
= 2k1 (К +1 + 4H 2u 2 + 2к2 (к12 +1 + 4u 2
)ch(2uH)
+ 4|1 + к\ + H 2 (1 + к2
+ 16H 2u 4 + u 2 +(1 + a-2)1 + к221
+ K22 ),
(z = -ä2).
d1(u) = 2[- 4H2u2 +(1 -к2)2] (k1 -i)x x ch(2u)- 2k2(k1 + к2)ch(2u(H -1))-+
+ 2k2 [4(2 - 1)u 2 +(к1 - 1)1 -к2 )] ch(2uH) +
+ 2k2 (k2k1 + 1)ch(2u (1 + H))-32u 4H 2 +
+ в[я 2 (к -1)+ H (l + к )(i + к2 ) + к 2 (1 -к )] u 2 -- 2к2 (к1 - 1(1 -к2 ) d 2(u) = -4(2u 2 H 2 +к22 )bh(2u ) + 4K22ch(2u )ch(2uH )-
- 4к22 (1 + 2u 2 )ch(2uH) +16 u 4 H 2 + + 8(h 2 +к22 )u 2 + 4к22,
n01(u) = -2к1 (4H 2u 2 +1 + к2 )sh(2u ) + 8K2uch(2uH ) - 4K1K2ch(2uH )sh(2u ) + + 16H2u3 + 4(1 + к22 ) u ,
n11 = 2[- 4(1 -к1 )h 2u 2 +к2 (1 -к2 X^-к1 ))h(2u )-- 8к2 (1 - к2 )u ch(2uH) - 2к2 (1 + к1 к2 )sh(2u(1 + H)) -
- 2к2 (к2 + к1 )sh(2u(( -1)-
- 32H 2u3 + 4[2к2 (1 - к2 ) + (1 + к1 + к2 )H]u , n21(u) = 4(2H 2u 2 + к22 )sh(2u )- 8K^uch(2uH )-
- 4K22ch(2uH)sh(2u) + 16H2u3 + 8k22u , n02 (u) = -2к2 |к1 (k1 -1) + 4u 2 ]ch(2uH ) + + 2к1к2 (к1 - 1)h(2u )ch(2uH) +
+ [4к1 (к1 - 1)H2u 2 +к1 (к1 -1)( + к22 )] ch(2u)-
- 16H 2u4 - 4[ + +к1 (к1 - 1)H2 ] u 2 --к(к -1)(1 + K22),
n12 (u) = 4к2 (- 2u 2 + к1 )(к2 - 1)ch(2uH) + + к2 (к1 -1)(1 + к к2 )ch(2u (1 + H)) --К2(к1 - 1)(к1 +К2)ch(2u(H -1))-
-[4H2u 2 + к2 (к2 -1)] (к - 1)2ch(2u) + 32H2u4 +
+ 8[-2k1H2 -(1 + к1 )(1 + к2)H + к2(к2 -1)] u2 -
- 4кк (к2 -1),
n22(u) = 2к2 (1 - к1 + 4u 2 )ch(2uH) + + 2к2 (к1 - 1)h(2u )h(2uH) +
+ 2(1 -к )(2Я 2 и 2 +к22 )сИ(1ы )- 16Н 2 и 4 +
+ 4-[-2к22 + H2(к1 -1)] u2 + 2К22(к1 -1), где G = G1 / G2, H = Н2 / Н1, = 3 - 4^-.
К интегральному уравнению (2) с ядрами (3)-(7) кроме условий статики необходимо добавить условие для нахождения области контакта, которое формулируется и реализуется при решении интегрального уравнения [5].
Отметим, что при G = 1, у1 =у2 получаем контактную задачу для слоя толщины И1 + Н2, рассмотренную в [1,2], а при Н2 ^ -да - контактную задачу
слоя, лежащего на упругом полупространстве с другими упругими постоянными, рассмотренную в работе [3].
Для решения интегрального уравнения (2) с ядром (3)-(7) применим метод нелинейных граничных уравнений, развитый в [5] и использованный с некоторой модификацией в [1-4]. Этот метод позволяет одновременно находить не только функцию распределения контактных напряжений, но и область контакта, а также и перемещения точек поверхности слоя вне штампа в некоторой области, содержащей область контакта.
Рассмотрим штамп в форме эллиптического параболоида, тогда функция /(х,у), стоящая в правой части уравнения (2), примет вид
/(х,у) = х2 /(2Я) + у2 /(2Я2) Я2 > Я1, где Яг и Я2 - радиусы кривизны штампа в его вершине соответственно в плоскостях у = 0 и х = 0.
Не останавливаясь на схеме решения интегрального уравнения, которая подробно изложена в работе [2], приведем результаты вычислений.
№ п/п G1 • 10-10 £ -103 с * •Ю-9 x*-102 M • 10-4 a -102 b -102 с -102
G2 = 1010, h = 0,01, h2 = 0,1
1 0,25 3,33 0,718 1,22 2,99 7,26 7,83 7,51
2 0,5 3,05 0,803 1,17 3,67 6,71 7,25 6,94
3 1,0 2,88 0,860 1,14 3,88 6,14 6,82 6,44
4 2,0 2,78 0,894 1,12 3,73 5,82 6,42 6,12
5 4,0 2,72 0,918 0,74 3,41 5,54 6,13 5,76
6 8,0 2,68 0,931 0,72 3,16 5,27 5,78 5,49
G2 = 1010, h = 0,02 , h2 = 0,1
7 0,25 3,82 0,617 0,44 2,47 7,87 8,39 8,13
8 0,5 3,29 0,744 0,81 3,42 6,97 7,54 7,22
9 1,0 2,96 0,850 1,15 4,05 6,08 6,84 6,54
10 2,0 2,76 0,938 1,49 4,36 5,65 6,32 5,87
11 4,0 2,62 1,073 3,61 4,48 4,99 5,71 5,35
12 8,0 2,49 1,425 4,23 4,49 4,51 5,22 4,72
G2 = 1010, hj = 0,005, h2 = 0,05
13 0,25 2,48 0,923 0,35 1,52 6,34 6,83 6,48
14 0,5 2,29 0,981 0,34 1,95 6,02 6,49 6,22
15 1,0 2,19 1,016 0,33 2,12 5,89 6,22 5,96
16 2,0 2,15 1,042 0,33 2,09 5,76 6,03 5,83
17 4,0 2,12 1,055 0,33 1,94 5,61 5,87 5,71
18 8,0 2,11 1,064 0,33 1,77 5,39 5,65 5,52
G2 = 1010, h1 = 0,01, h2 = 0,01
19 | 7,0 | 1,01 | 2,13 | 0,22 | 1,53 | 3,93 | 4,13 | 4,00
G2 = 7 • 1010, h1 = 0,01, h2 = 0,01
20 | 1,0 | 1,00 | 2,21 | -0,22 | -0,387 | 4,47 | 4,43 | 4,43
На основе проведенных числовых расчетов, как и в [1-4], было установлено, что при заданной силе Р перемещение штампа 8 практически не зависит от коэффициента трения / , но существенно зависит от коэффициентов Пуассона у^ и других параметров слоев. В таблице при Р = 107 , / = 0,9, у1 = 0,3, у2 = 0,3, Я]=Я2=1,0 и некоторых значениях толщин слоев \ и к2 и модулей сдвига О1 и 02 приведены
значения перемещения штампа 8, максимальных
*
контактных напряжений а* = д(х ,0) и их момента,
определяемого формулой М = Цд(х, у)хёх, точка
□
*
(х ,0) области контакта, где контактные напряжения максимальны, вычислена с относительной погрешностью не хуже 15 %, при этом остальные величины вычисляются с относительной погрешностью не хуже 0,1 %. Граница область контакта определялась графически, ее форма близка к эллипсоидальной с осями,
параллельными соответственно осям 0х и 0у , и
слабо вытянута вдоль оси 0 х, большая ось «эллипса» есть отрезок (-а < х < Ь , у = 0), меньшая ось - отрезок (|у < с , х = ё). В таблице приведены только три параметра а , Ь и с , характеризующих форму и расположение области контакта и вычисленные с погрешностью не хуже 3 %, параметр ё и (Ь - а) / 2 .
Размерные величины приведены в системе СИ: сила - в ньютонах (Н), напряжения - в паскалях (Па), длина - в метрах (м).
В таблице приведены результаты расчета в основном для наиболее интересных для практики случаев, когда верхний слой значительно тоньше нижнего (Н = 10 и Н = 5), при различных значениях отношения модулей сдвига (0,25 < О < 8,0). Отметим, что при изменении параметра О в довольно широком диапазоне, перемещения штампа и максимальные контактные напряжения меняются незначительно. Приведены также результаты расчетов в двух случаях, когда толщины слоев одинаковы, а модули сдвига слоев взаимно обратны (строки 19, 20). Здесь моменты контактных напряжений имеют различные знаки.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 05-01-00002, 05-01-0306)
Литература
1. ЧебаковМ.И. // Докл. РАН. 2002. Т. 383. № 1. С. 67-70.
2. ЧебаковМ.И. // МТТ. 2002. № 6. С. 59-68.
3. Чебаков М.И. Современные проблемы механики сплошной среды: Тр. 8-й междунар. науч. конф. 15-17.10.2002. Ростов н/Д, 2003. С. 210-214.
4. Чебаков М.И. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. № 4. С. 33-36.
5. Галанов Б.А. // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 5. С. 827-835.
Ростовский государственный университет_3 мая 2005 г.
Коллектив редакции и члены редколлегии журнала «Известия вузов. СевероКавказский регион» сердечно поздравляют Михаила Ивановича Чебакова, крупного специалиста в области механики контактных взаимодействий деформируемых твердых тел, одного из рецензентов, с 60-летием и желают здоровья, осуществления идей, талантливых учеников, творческих удач.
