Пространственно-трехмерные модели гидродинамики Таганрогского залива и Геленджикской бухты Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разумеется, что рассмотренные здесь простые задачи управления не охватывают огромного разнообразия явлений, происходящих в экологических системах и возникающих при этом специфических процессов управления. На примерах задачи управления системой <«ищник-жертва» здесь показан эффективный способ учета

,

качестве желаемых инвариантных многообразий - экологических аттракторов, к которым устремляются все траектории системы. При таком подходе стратегия управления состоит в формировании и поддержании экологических инвариантов, обеспечивающих направленные кооперативные процессы самоорганизации эколо-.

, , -гетики - бифуркациоиные явления, параметры порядка и эволюционные уравнения - -ления. Применение этого подхода позволяет реализовать направленную самоорганизацию в нелинейных динамических экосистемах различной природы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. М.: Энергоатомиздат, 1994.

2. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.

3. Пригожин И. От существующего к возникающему. М.: Наука, 1985.

4. НиколисГ. Познание сложного. М.: Мир, 1990.

5. Берже П.,Помо И.,Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991.

6. Колесникое А.А. Синергетическая концепция управления природно-техническими системами. // Научная мысль Кавказа, 1996, №3.

7. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985.

8. Заелавский Б.Г.,Полуэктов Р.4.Управление экологическими системами. М.: Наука, 1976.

9. Романовский Ю.М.,Степанова Н.В.,ЧернавскийД.С. Математическая биофизика. М.:

, 1984.

10. Марседен Дж.,Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.

УДК 621.385

АЛ. Сухинов, МЛ. Гончарова, Д.В. Цирулик

ПРОСТРАНСТВЕННО-ТРЕХМЕРНЫЕ МОДЕЛИ ГИДРОДИНАМИКИ ТАГАНРОГСКОГО ЗАЛИВА И ГЕЛЕНДЖИКСКОЙ БУХТЫ

Расчет водных течений в бухтах, заливах, морских шельфах представляет основу для исследований в задачах контроля, прогнозирования и экологической безопасности природных и техногенных систем. Во многих случаях данные задачи сводятся к созданию адекватных пространственно-трехмерных моделей гидродинамики на основе конечно-р^ностных методов. Рассматриваемая модель представляет собой систему уравнений баланса массы, горизонтальных компонент импульса и уравнение гидростатики для несжимаемой вязкой стратифицированной жидкости во вращающейся с постоянной угловой скоростью системе отсчета. Стратификация распространяется на коэффициент турбулентного обмена импуль-

са. Предложены две разностные реализации системы уравнений на примере Таганрогского залива и Геленджикской бухты. Первая явная реализация позволяет избежать необходимости решать систему с большим числом алгебраических уравнений на каждом временном шаге, но имеет существенное ограничение на шаг по времени. Данного недостатка лишена вторая неявная реализация. В этом случае исходная система уравнений разрешается методом расщепления по физическим процес.

да да да да . 1 др д

--------+ и-----------+ V-----------+ ■№---------------------------------------IV =-+-----

д дх ду дг р0 дх дг

дУ ду дv

дv

да

V

о ^ ^ V иг У

Г --1. л

1 др д

-----+ и------+ V-------+ w-------+ 1и =--------------\----

д дх ду дг р0 ду дг

др

д=р о®'

да дv дw — + — +------------= 0.

дх ду дг

V-

дг

ду

д

Гд2а ЭV ■ + ■

+ А1

\дс2 ду2 у

Гд2V + дV дс 2 + ду 2

(1)

В качестве начальных условий задаются поле скоростей, функция возвышения уровня и давление:

и(х, у,2,г = 0) = иа(х, у, 2), у(х, у,2,г = 0) = у0(х, у, 2), Н(х, у,2,г = 0) = Н’о(х, у, 2), р(х, у,2,Х = 0) = Ро(х, у, 2),

Чх у,г = 0) = £ 0(х у)-

На твердых непроницаемых и неподвижных границах ставятся условия "прилипания". На свободной поверхности задаются вязкие напряжения силы трения

ди „ Эу №

ветра р0V — = -Tx, Р0V — = -Ту .

Задача решается на прямоугольной неподвижной декартовой сетке. Основную сложность при построении вычислительного алгоритма представляет корректный учет заполнения и осушения ячеек неподвижной сетки жидкостью при изменении функции возвышения уровня свободной поверхности.

Благодаря несжимаемости жидкости уравнение неразрывности приводит к двумерному уравнению для возвышения уровня:

Н ( д^ + и д^ — + V

2=1 V дг дх Эу у 2=

д* = д 'н Л с д (и \

Ш2 + Уй2

дг дх V-* ) ду 1.-* )

(2)

Положение уровня свободной поверхности (выршсение (2) для явного метода и (3) - для неявного) и отвечает на вопрос, какие ячейки заполнены, а какие не заполнены жидкостью.

В случае явной реализации нет необходимости в использовании методов расщепления по физическим процессам. При аппроксимации центральными производными схема имеет порядок точности O(h2 + Г2). По сравнению с неявными методами данный подход гораздо более прост в реализации, что важно когда время на создание действующей модели ограничено, однако он обладает существенным недостатком: требование устойчивости выполняется лишь при существенном, во многих случаях неприемлемом, ограничении на шаг по времени

Т < ------(2--------2) . (4)

2 Ai( + h у )

В результате, согласно (4), для Таганрогского залива т ~ 200 + 500 сек, для Геленджикской бухты т ~ 20 50 сек. В настоящее время разрабатывается про-

грамма расчета по данной схеме на сетке, аппроксимирующей Таганрогский залив.

, , -числениям при помощи неявной схемы. Происходящие физические процессы условно распадаются на три категории: перенос количества движения вдоль траекто-, . -носа по горизонтали и по вертикали для мелководных водоемов, с отношением L /и ~ 10 4 и более, где L и H - характерные горизонтальный и вертикальный размеры водоема, имеют различные временные масштабы протекания. Исходя , , -ствующая исходной системе.

При этом разностная схема имеет суммарную погрешность аппроксимации

о (+Т , где h| =д|hi + hy + max {h2zk} Данная схема, как и первая, относится к классу условно-устойчивых. Однако ограничение на значение временного шага для нее гораздо более мягкое, чем в первом случае:

Т < min

i, j ,k

1 h

zk

", + l/2,j.k/h< + +1/2,k/h,4,j.k+1/2

(4)

В соответствии с оценкой (4) имеем: для Таганрогского залива т ~ 5 • 103 сек, для Геленджикской бухты т~103 сек.

Данная схема реализована для Геленджикской бухты в виде программы на языке Ройгап-90 на декартовой сетке. Модуль решения систем алгебраических уравнений выполнен на основе метода Гаусса-Зейделя, который в данном случае ,

преобладание. Обращения трехдиагональных матриц производятся методом про.

, , расчетов (поля скоростей, профиля свободной поверхности) осуществляется по-

средством чтения/записи числовых таблиц в файлы на магнитных носителях. В настоящее время разрабатывается программный модуль, осуществляющий вывод результатов в графическом представлении в виде горизонтальных и вертикальных срезов полей скоростей.

Количество точек сетки ограничивается ресурсами ЭВМ: мощностью применяемого вычислительного средства и объемом доступной оперативной памяти. Осуществлены тестовые расчеты программы на сетке с количеством узлов ~ 150000 при этом значение шага по времени равнялось 0.5*102 с., что не хуже приведенной оценки временного шага. Время работы программы на сетке с данным числом узлов на компьютере с процессором 1Пе1 Реп1шш(тм) 166 ~ 5 мин.

Рассмотренные реализации для разных задач, возникающих при контроле, прогнозировании и экологической безопасности природных и техногенных систем, могут оказаться в различной степени адекватными в смысле вычислительной устойчивости, точности расчета, экономичности. Очевидно, что в тех случаях, когда временные и пространственные масштабы происходящих процессов таковы, что допускают малый шаг по времени, первая схема более предпочтительна из-за простоты реализации и более слабых требований к мощности вычислительных уст.

В противном случае необходимо пользоваться второй реализацией.

(1) -

стоянства плотности накладывает существенное ограничение на спектр физиче-, . , для Геленджикской бухты характерна ситуация, когда движение водной среды представляет собой перемещение во взаимно противоположных направлениях более прогретых опресненных масс воды с одной стороны и охлажденной морской воды с другой стороны. Течения такого характера возникают при ветрах, направленных со стороны суши. Результаты наблюдений и тестовых расчетов на ЭВМ , -штабов течений в Геленджикской бухте таковы, что верхний и нижний слои мало .

совокупностью двух идентичных систем уравнений для каждого слоя, связанных граничными условиями на поверхности раздела ^(х.уЛ). Система уравнений для :

д и д и д и д и д£ д

----+ и----+ V---+ Н-----IV = Я—+------

дt д х ду д2 дх д2

( дил

V — + А,

1 д 1

Гд 2 и д 2иЛ

- + -

д х2 д у2

дv дv дv дv д% д

--------+ и----------+ v----------+ н------------1и = я--------------\-------

дt д х ду д2 ду д2

д1=± д t д х

+

э

( дv ^

V — + А,

1 дг у 1

( н

1 vdz . ,

К _{ )

д2v д2v \

д х2 д у2

д1 = _д_ д t д х

+

| vdz

К _$ )

э

Для нижнего слоя:

д и д и д и д и ,

-------+ и---------+ v---------+ w-----------lv =

дt д x ду д z

= g

о(1)

Ув

J0

02) У в

д ди д2и 2 ди

+ v — + A, ^д х2 +

д z 1 д zJ д y2J

д x

дv дv дv дv ,

--------+ и----------+ v----------+ w----------+ 1и

дt дх ду дz

g-

у(1) -о(2)

}0 г 0

Р(20

дУ

д f дvл' f д2v д 2v)

+ — v— + A, [дх2 +

дz I ду2

д (Z-п) = _д_

д t д х

| udz + | vdz

э^ = _д_

д t д х

н

| udz

V-z J

дУ д н

V п

н

н

При этом, небольшая модификация имеющегося алгоритма позволит с достаточной точностью моделировать двухслойные течения. При необходимости также возможно построение модели для большего числа слоев.

ЛИТЕРАТУРА

1. Математические модели циркуляции в океане. Новосибирск, Наука, 1980. 288с.

2. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М., Наука, 1971. 552с.

3. Casulli V., Cheng R.T. Semi-Implicit Finite Difference Model For The Three-Dimensional Tidal Circulation. //Proc. of the Second International Conference “Easturine and Coastal Modeling”. Tampa, Florida - 1991,- pp. 620-631.

УДК 681.5:001.89:681.3

A.A. Колесников, П.Г. Кравченко МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЭКОСИСТЕМ НА МНОГООБРАЗИЯХ

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Важную роль в динамике синергетически управляемых экосистем играют ус,

временах [1]. Математическим образом таких режимов являются притягивающие множества - аттракторы в фазовом пространстве экосистем. Поведение экосистемы на аттракторе, как правило, существенно проще, по сравнению с траекториями движения для произвольных начальных условий. Иначе говоря, исходная математическая модель экосистемы становится в некотором смысле избыточной. Наличие