Моделирование динамики экосистем на многообразиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Для нижнего слоя:

д и д и д и д и ,

-------+ и---------+ v---------+ w-----------lv =

дt д x ду д z

= g

о(1)

Ув

J0

02) У в

д ди д2и 2 ди

+ v — + A, ^д х2 +

д z 1 д zJ д y2J

д x

дv дv дv дv ,

--------+ и----------+ v----------+ w----------+ 1и

дt дх ду дz

g-

у(1) -о(2)

}0 г 0

Р(20

ду

д f дvл' f д2v д 2v)

+ — v— + A, [дх2 +

дz I ду2

д (Z-п) = _д_

д t д х

| udz + | vdz

э^ = _д_

д t д х

н

| udz

V-z J

дУ д н

V п

н

н

При этом, небольшая модификация имеющегося алгоритма позволит с достаточной точностью моделировать двухслойные течения. При необходимости также возможно построение модели для большего числа слоев.

ЛИТЕРАТУРА

1. Математические модели циркуляции в океане. Новосибирск, Наука, 1980. 288с.

2. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М., Наука, 1971. 552с.

3. Casulli V., Cheng R.T. Semi-Implicit Finite Difference Model For The Three-Dimensional Tidal Circulation. //Proc. of the Second International Conference “Easturine and Coastal Modeling”. Tampa, Florida - 1991,- pp. 620-631.

УДК 681.5:001.89:681.3

A.A. Колесников, П.Г. Кравченко МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЭКОСИСТЕМ НА МНОГООБРАЗИЯХ

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Важную роль в динамике синергетически управляемых экосистем играют ус,

временах [1]. Математическим образом таких режимов являются притягивающие множества - аттракторы в фазовом пространстве экосистем. Поведение экосистемы на аттракторе, как правило, существенно проще, по сравнению с траекториями движения для произвольных начальных условий. Иначе говоря, исходная математическая модель экосистемы становится в некотором смысле избыточной. Наличие

избыточности моделей экосистем, т.е. множества степеней свободы, не участвующих в реальной динамике экосистем, дает возможность построить иерархию уп-

,

Синергетическое управление позволяет в полной мере решить задачу синтеза законов управления широким классом нелинейных экосистем. При этом синергетические законы управления находятся в аналитической форме и не зависят от начального состояния экосистемы. Синергетический подход вносит весьма существенные изменения в обычную технологию компьютерного моделирования экосистем, а именно:

♦ значительно снижается важность или вовсе исчезает целый ряд стандартных проблем типовой технологии моделирования, например, проблема разреженности матриц, <жесткости» задачи, выбора шага интегрирования и т.д. Эти эффекты непосредственно вытекают из замечательной особенности синергетических законов управления - гарантировать асимптотическую устойчивость движения объектов в целом относительно задаваемых экологических инвариантов - аттракторов управ. , -

птотическая устойчивость однозначно обеспечивает повышенную робастность и грубость управляемых систем к изменению их параметров и действию различных флуктуаций и возмущений;

♦ существенное снижение размерности исследуемых нелинейных моде-

,

управляемых подсистем и всей экосистемы в целом. Это замечательное свойство непосредственно следует из сущности принципа каскадного

,

неизбежно декомпозируют исходные многомерные модели в иерархическую последовательность асимптотически устойчивых моделей. При этом определяющее влияние на динамические свойства управляемой экосистемы будут оказывать так называемые «модели внутренней динамики» движения на инвариантных многообразиях - аттракторах, размерность которых существенно меньше размерности исходной задачи управления. Таким образом, в результате необходимо моделировать не полную систему дифференциальных уравнений экосистемы, а только , -

;

♦ возможность путем моделирования полномасштабного исследования ус-

.

Рассмотрим пример моделирования на многообразиях экосистемы, описываемой управляемой моделью Лоренца:

[2].

МОДЕЛЬ ЛОРЕНЦА

В [3] решена задача синтеза управления их(х,у,2), обеспечивающего асимптотическую устойчивость стационарных состояний системы (1) для любых значений положительных параметров г,О, Ь . С этой целью вводится макропеременная

(2)

(1)

(3)

2-

ущх ) = вУщ2щ-(і + Гр)ущ ) = -Ь2ш-вУЩ-

(4)

ПЕРВЫЙ ВАРИАНТ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Проведем моделирование системы (4) для параметров 7 = 10, Ь = 8/3 г = 24 , в = 2 . Фазовый портрет представлен на рис. 1.

Рис.1

(1) (3) -

3- .

, -

гообразию, если ее начальная точка принадлежит этому многообразию. На рис. 2

(3) , .

, , 3- -

, , 2- -.

(2), (3) - , .

10

Рис.2

ВТОРОЙ ВАРИАНТ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Рассмотрим вариант моделирования системы (1)-(4) при 7 = 10, Ь = 8/3 , г = 24 , в = —2 . В этом случае, как показано в [3], в системе возникает бифурка-« », ,

. 3.

Рис.3

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенное в данной работе моделирование динамики на многообразиях позволяет исследовать динамические свойства сложных био- и экосистем на сформированных аттракторах, где и протекает большая часть их жизни. Вообще, как известно из общего анализа систем, на любую систему всегда наложены некоторые связи, ограничивающие их степени свободы, из чего можно сделать вывод, что вся жизнь системы протекает на естественных (задаваемых природой и соседними системами) и искусственных (задаваемых управлением) многообразиях. В этой связи, анализ динамических свойств имеет смысл разбить на две части:

♦

из произвольных начальных условий в окрестность многообразия;

♦ исследование динамики системы на многообразиях, пример которого приведен в данной работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ремберс Н.Ф. Экология. М.: Россия молодая, 1994.

2. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. М.: Энергоатомиздат, 1994.

3. Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.: Наука, 1974.

4. Современная прикладная теория управления // Под ред. Колесникова А А. Таганрог. Изд-во ТРТУ, 2000.