Пространства с мультивнутренним произведением в теории дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517

ПРОСТРАНСТВА С МУЛЬТИВНУТРЕННИМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

А. Т. Вересова, В. В. Мосягин

В заметке рассматривается зависимость решения задачи Коши для дифференциального уравнения в пространстве с мультивнутренним произведением от правой части.

1. Пусть X — линейное пространство над полем скаляров К (К = С или ). Полувнутреннее произведение на X — это функция х X —> К, удовлетворяющая следующим условиям [1]:

1°) (ах + /Зу, г) = а(х, г) + /3(у, г), х, у, г е X, а,/3 € К;

2°) (х,х) > 0, х € Х-,

3°) (х,у) = (у,х), х,у е X.

Если из (х,х) =0 следует х = 6, где О — нулевой элемент пространства X, то (ж, у) — внутреннее произведение на X [1].

Пусть теперь *5 = {(•, О'у}? 7 ^ Г, обозначает семейство полув-

нутренних произведений на X, причем индекс 7 пробегает конечное или бесконечное множество Г. Семейство *5 назовем отделяющим, если для любого элемента х / О в X найдется, по крайней мере, одно полувнутреннее произведение такое, что (ж,ж)7 / 0. Се-

мейство Б, удовлетворяющее условию отделимости, назовем мультивнутренним произведением. Если *5 — счетное отделяющее семейство полувнутренних произведений на X, то *5 назовем счетным мультивнутренним произведением.

© А. Т. Вересова, В. В. Мосягин, 1998

26

А. Т. Вересова, В. В. Мосягин

Обозначим через Р систему полунорм {р7}, 7 Е Г, определенных на X формулами

Ру(х) = у/(ж,ж)7, х ех, (•, •) е 5. (1.1)

Очевидно, семейство полунорм Р, является отделяющим: для любого хо ф О в X найдется полунорма р7о Е ф, такая, что р1о{хо) / 0.

Систему полунорм Р, определенную формулами (1.1), назовем соответствующей мулътивнутреннему произведению *5. С помощью системы Р полунорм на X определим обычным образом локально выпуклую линейную топологию т на X [1]. Пара (X, т) является хаус-дорфовым локально выпуклым линейным топологическим пространством. В дальнейшем предполагаем, что (X, т) — полное локально выпуклое пространство.

2. В этом пункте исследуем зависимость решения нелинейного дифференциального уравнения первого порядка в вещественном пространстве X от правой части этого уравнения.

С этой целью в пространстве X рассмотрим два уравнения

^Г = Жж)> (2Л)

^ = Ж у) + (2.2)

где операторы /(£, •), •) определены в области С = СоХ + :

+ = {Ь Е,£ > 0}; Со С X, Со — ограниченное по полунормам р1 Е Р множество (V р1 существует константа сР1 такая, что р1{х) < СР1 для всех X Е Со).

Кроме того, мы предполагаем, что правые части уравнений (2.1),

(2.2) удовлетворяют условиям существования единственного решения при любых начальных данных (£о?#о) Е С.

ТЕОРЕМА 1. Пусть в области С выполнены условия

1) (х - У,1^,х) - /(*,у))т < ^р^{х - у), ЬР1 > 0, р1 е Р;

2) для любой полунормы р1 Е Р существует неубывающая функция

(Рт(ж))’ х Е С, для которой

рт(Д(£,ж)) < <^Р7(рт(ж));

3) Т > 0, £0 > 0 ир7(х(м0,ж0)) < Ср7, р7(у(Мо,жо)) < СР1, р7 € Р,

при £о < Ъ < + Т.

Тогда при всех t € [to,to + Т] имеет место оценка

p1(x{t) - y(t)) < 2ipPi(cPi)Tехр{2LPiT}, G P. (2.3)

Доказательство. Введем обозначение

rPl = sup Pj(x(t) - y(t)), p1 e P.

to KtKtQ-\-T

Из уравнений (2.1), (2.2) вытекает соотношение

~<dt,X~y) = (ж_^’Жя)-Ж,у))7-(ж-:г/,Д(г,У))7> 7 € Г. Отсюда

t

p^(x(t) - y(t)) < 2 rPivPi(cPi)T + J 2LPip21(x{s) - y{s)) ds, (2.4)

to

p1 E P. В силу интегрального неравенства Гронуолла из (2.4) следуют неравенства

р7(Ж) - y{t)) < 2rPi<pPi (cPi)Tещ>{2Ьр_1Т} (2.5)

при всех t Е [^о5 + Т], р7 Е Р. Из неравенств (2.5) получаем оценку

(2.3). Теорема доказана. □

Resume

The aim of this note is present theorem dependence of solution Cauchy problem in multiinner product space on right part.

Литература

[1] J. B. Conway. A Course in Functional Analysis.-Springer. Berlin. 1985.