Нелокальная задача Коши для дифференциального уравнения в локально выпуклом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 3, 1996

УДК 517

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В. В. Мосягин

В статье доказаны теоремы существования и единственности решений нелокальной задачи Коши для полулинейных и нелинейных дифференциальных уравнений в локально выпуклом пространстве.

1. Пусть (Е, т) - секвенциально полное хаусдорфово локально выпуклое линейное топологическое пространство, Г = {р} - система полунорм на Е, определяющая топологию т [1].

Пусть Ь(Е) - совокупность всех линейных непрерывных операторов из Е в Е. Говорят, что в Е определена равностепенно непрерывная полугруппа операторов класса (Со), если задано однопараметрическое семейство операторов {Т(£)} (£ > 0; Т(£) Е Ь(Е)), для которых выполнены условия:

1) Т(Ь) Т(в) = Т(Ь + в), Т(0) = /;

2) Т(£)ж —ь Т(Ьо)х при Ь Для всех ^ > 0 и х £ Е;

3) семейство {Т(£)} равностепенно непрерывно, то есть для всякой полунормы р Е Г существует полунорма д Е Г такая, что р(Т{Ь)х) < д(ж) для всех значений £ > 0 и всех элементов х Е Е.

Гавностепенно непрерывные полугруппы {Т(£)} класса (Со) рассмотрены в [1]. Гавностепенно непрерывную полугруппу класса (Со)

© В. В. Мосягин, 1996

назовем правильной [2], если p(T(t)x) < р{х) для всех t > 0, х Е Е и ре Т.

Для полулинейного дифференциального уравнения в пространстве Е рассмотрим нелокальную задачу Коши

^± = Ax(t)+f(t,x(t)), t£l\{ 0}, (1)

ж(0) +g(x) = х0, (2)

где X = [0,Л], h > 0, А - инфинитезимальный производящий оператор равностепенно непрерывной полугруппы {T(t)} класса (Со) в Е, / : [0, h] х Е —>• Е, g : С(Х, Е) Е ( /, g - известные функции, удовлетворяющие некоторым условиям; С(Х, Е) - множество всех непрерывных функций на X со значениями в Е).

В случае, когда условие (2) имеет вид ж(0) = хо задача Коши для уравнения (1) в локально выпуклом пространстве Е изучена в работе [2]. Нелокальная задача Коши (1)-(2) в банаховом пространстве исследована в статьях [4, 5]. В данной заметке некоторые результаты работ [4, 5] мы переносим на локально выпуклые пространства.

Функцию х Е С(Х, Е) и удовлетворяющую интегральному уравнению

x(t) = T(t)xo — T(t)g(x) + [ T(t — s)f(s,x(s)) ds, teX (3)

Jo

назовем обобщенным решением задачи (1)-(2). Рассматривая далее Е = С(Х,Е) как линейное пространство, определим на Е систему полунорм Г = {р}, где

р(х) = supp(x(t)), р Е Г,ж Е Е.

tel

Пара (Е, Г) - секвенциально полнле хаусдорфово локально выпуклое пространство.

Используя теорию равностепенно непрерывных полугрупп класса (Со) и теорему о неподвижной точке [3], докажем следующую теорему.

ТЕОРЕМА 1. Пусть А - инфинитезимальный производящий оператор равностепенно непрерывной правильной полугруппы класса (Со).

82

В. В. Мосягин

Пусть при каждом х Е Е оператор f(t,x) непрерывен по t на [0, h\. Пусть / и g удовлетворяют условию Липшица: \/р Е Г

p(f(t,x1)-f(t,x2))<app(x1-x2), ap>0,tel, х1}х2 G Е; (4) Р (g(vi) - g{v2)) < I3pp{vi - v2), (Зр > 0, vi,v2 е Ё. (5)

Пусть, кроме того, \/р Е Г

Хр = (hap + (Зр) < 1. (6)

Тогда задача (1)-(2) имеет единственное обобщенное решение на X. Доказательство. В пространстве Е рассмотрим оператор

Bx(t) = T(t)xо - T(t) g(x) + f T(t- s) f(s, x(s)) ds,

Jo

определенный правой частью уравнения (3). Оператор В действует изЕвЕ. Пусть xi, Х2 Е Е. Для любого t Е [0, h\ и любой полунормы р Е Г, используя неравенства (4)-(5), имеем

p{Bxi{t) - Bx2(t)) <p(T(t)(g(xi) - g(x2))) +

+Р(/ ^

< /Зрр(хi - x2) + /гарр(ж! - ж2) =

= (/гар + /Зр) р(х 1 - ж2).

Следовательно р{Вх\ — Вх2) < (/гар + — Ж2) Vp Е Г. Так

как по условию (6) Хр < 1 Vp Е Г, то В - оператор сжатия в Е. Следовательно, оператор В имеет единственную неподвижную точку х = x(t) в Е. Функция x(t) является обобщенным решением задачи

(1)-(2). Теорема доказана.

Существование обычного решения нелинейной задачи Коши

dir

-^- = /(М), * G X \ {0}; ж(0)+д(х)=х0 (7)

устанавливается следующей теоремой.

ТЕОРЕМА 2. Пусть операторы f,g удовлетворяют условиям теоремы 1 и пусть выполнены неравенства (5). Тогда задача (7) имеет единственное решение.

Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1.

Resume

The aim of this paper is to prove theorems of the existence and uniquenness solutions of a nonlocal Cauchy problem for semilinear and nonlinear differential equations in locally convex space.

Литература

[1] Иосида К. Функциональный анализ М. Мир, 1967. 624 с.

[2] Поволоцкий А.И., Мосягин В.В. О дифференциальных уравнениях в локально выпуклых пространствах // Ученые зап. ЛГПИ им. А.И.Герцена. 1971. Т.404. С.406-414.

[3] Миллионщиков В.М. К теории дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах // Матем. сб. 1962. Т.57(99), N4. С.385-406.

[4] Byszewski L. Theorems about the existence and uniquiness of solutions of a semilinear evolution nonlocal Cauchy problem // J. Math. Anal. Appl. 1991. V.162. P.494-505.

[5] Byszewski L. Existence and uniqueness of solutions of semilinear evolution nonlocal Cauchy problem // Zesz. Nauk. Folitechniki Rzeszowskiej 121, Mat. Fiz., z.18 (1993), P.109-112.