Нелокальная краевая задача для нелинейного дифференциального уравнения с параметром в локально выпуклом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 4, 1997

УДК 517

НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ В ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В статье доказана теорема существования единственного решения нелокальной краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения с параметром в локально выпуклом пространстве.

Пусть (Е,т) — секвенциально полное хаусдорфово локально выпуклое линейное топологическое пространство, Г = {р} — система полунорм на Е,определяющая топологию т. Следуя работе [1], линейный оператор Е : Е —>■ Е будем называть Г-конечным, если существует такая константа М < оо, что для всех у Е Е и р Е Г выполняется неравенство р(Е(у)) < Мр(у).

В пространстве Е рассмотрим краевую задачу

где параметр и Е Е; хо,Х — заданные элементы из Е,Т > О,

/ : [О,Т] х Е х Е —>• Е, д : б7([О,Т\,Е) —)> Е (/,д — заданные операторы, удовлетворяющие некоторым условиям; (7([0, Т],Е) — множество всех непрерывных функций на I = [0,Т] со значениями в Е).

В. В. Мосягин

л

ж(0) + д(х) = х0, х(Т) = X,

(1)

(2)

(3)

© В. В. Мосягин, 1998

Рассматривая далее Ё = С(1,Е) как линейное пространство, определим на Е систему полунорм Г = {р}, где

p(z) = supp(x(t)),x G Ê,p G Г.

tel

Пара (E,T) — секвенциально полное хаусдорфово локально выпуклое пространство.

Укажем достаточные условия однозначной разрешимости задачи (1)-(3) в пространстве Е.

ТЕОРЕМА. Пусть выполнены условия Н1)-Н4);

Н1) оператор / непрерывен из 1хЕхЕвЕи удовлетворяет условию Липшица

p(f(t,x- f(t,x2,u2)) < Кр(р(хi - х2) +p(ui - u2)), (4)

Кр > 0, \/(t,Xi,Ui), (t,x2,u2) G I x E x E, p G Г;

H2) оператор g удовлетворяет условию Липшица

P(g(xi) ~ g(x2)) < Lpp(zi - z2),Lp > 0, Wi, z2 G É,p G Г; (5)

НЗ) существует такой линейный непрерывный оператор А, действующий в Е , что для любой функции x(s) из Е и любых U\, ii2 G E выполнено неравенство

т

Р[J (f(s,x(s),ui) - f(t,x(s),u2))ds - А(щ - u2)\ <

О

<ep(ui—u2), £ > 0, p G Г. (6)

Кроме того, предполагаем, что оператор А имеет Г-конечный обратный оператор А~1,

р(А~1у) < Np(y),Vy e Е,р е Г,

причем

sN = eо < 1; (7)

Н4) справедливы неравенства

Тогда задача (1)-(3) имеет единственное решение.

Доказательство. Разрешимость задачи (1)-(3) будем доказывать методом последовательных приближений. За нулевое приближение возьмем любую непрерывную функцию X(s) из Е.

Докажем, что уравнение

т

xo-g(x{0)) + j f(s,x{0\s),u)ds = X (9)

О

разрешимо в Е. Преобразуем уравнение (9) к виду

т

u = u + A~1(X — xo) + A~1g(x(°")) — A~1J f(s,x^(s),u)ds = Bu. (10)

о

Из неравенств (6), (7) следует,что

p(Bu1 - Bu2) < Sop(ui - u2), €о < 1, \/ui,u2eE, ре Г.

Следовательно, уравнение (10) имеет единственное решение в Е. Обозначим его через .

В качестве первого приближения возьмем

t

X(1\t) = ж0 - д{х{0)) + J/(s,a;(0)(s),ii(0))ds, tel. (11) о

Видно,ЧТО

ж^(0) = хо — д(х^), х^\Т) = X.

Рассмотрим уравнение

т

хо-д(х(1)) + J f(s,xw(s),u)ds = X. (12)

О

Однозначная разрешимость уравнения (12) в пространстве Е устанавливается так же, как и разрешимость уравнения (9). Пусть иW — решение уравнения (12).

Второе приближение определим так:

t

x^(t) = хо — д(х^) + J f(s,x^(s),u^)ds, tel. (13)

о

Функция x^2\t), определенная формулой (13), удовлетворяет соотношениям

х^ (0) = хо — д(х^), х^2\Т) = X.

Пусть уже построено (п — 1) приближение, тогда n-ое приближение

определим следующим образом :

t

x(n)(t)=x0-g(x^n-^) + J f(s,x^n-1\s),u^n-^)ds, tel, (14)

где u(n — решение уравнения

i

Хо - д(х{п~1]) + J f(s,x{n~1)(s),u)ds

Т

= Х.

о

Снова видим, что

ж(")(0) = х0 - д{х{п~1)), х(п)(Т) = Х.

Установим сходимость последовательностей {.у;<п|} и {у//"' }. Имеем (п > 2) :

х^Ц) - х{п-^Ц) = (д(х(п~2'>) - д(х(п-^)) +

+

J(/(а,®*"-1^),«*"-1*) - f(s,x(n-2\u^n-^))ds+ (15)

О

t

I(f(s,xin-2){s),uin-1)) - f(s,x(n-2Hs),u(n-^))ds.

+

о

При t = Т из (15) следует, что для любого р £ Г т

р(I(/(s,a;<n-2>(s),u(n_1)) - f(s,x^~2Hs),u^))ds) =

т

= P(J (fis, x(n-V (s), и^У) - f(s, *(""2> (s), u^))ds+

0

+ (g(x{n~2]) — 5(*(n-1)))) < (KpT + L^mzxpix^-^it) - x(n~2\t)).

Оценим левую часть неравенства (16) снизу, используя неравенства (6) и (7). Для любого р Є Г имеем

т

р( J(f(s,x^n-2\s),uin-1)) - f(s,x(n-2\s),u(n-2)))ds - А(и{п-^-

О

-w(”-2)) + Aiu^-^ - w(”-2))) > Щр-р{и(п-1] - и{п~2)). (17)

Из неравенств (16) и (17) получаем неравенство

р(и(п-^ -г*<п“2)) <

< N(KpT + Lp) ma^p(x(n-1\t)-x{n~2^t)), рЄТ. (18)

1-го tє1

Теперь из соотношений (15) и (18) приходим к неравенству

p(x(n\t) -x^-^it)) <

< (КРТ + Lp) fl + NKpT\ maxp(x(n-1) ф _ x(n-2) реГ.

\ 1 — £q J tel

Отсюда

A<f} = тахр(ж(п)(і) - ж(п_1)(і)) < ÇpA^i), р Є Г, (19)

где по условию (8) qp < 1. Неравенство (19) показывает, что AÎf1 <

^ (п— 1) д

< qp J Ai, что равносильно равномерной сходимости последовательности {x(n\t)}. Сходимость последовательности вытекает из

неравенства (18). Пусть

x(t) = lim x^n\t), и = lim и^п\

п—Уоо п—Уоо

При п —> оо из (14) получаем равенство

t

*(.) = *,-pW + //<„(»),„)*, .<=/.

О

Очевидно {x(t),u} и является решением задачи (1)-(3). Единственность решения этой задачи доказывается обычным образом. □

Resume

In this paper we consider the existence of a solution of nonlocal boundary value problem for a nonlinear differential equation in lically convex space.

Литература

[1] Moore R. T. Banach algebra of operators on locally covex spaces//Bull. Amer. Math. Soc. 1969. 75. P. 68-73.