Нелокальная краевая задача для нелинейного дифференциального уравнения с параметром в банаховом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия '“Математика” Выпуск 2, 1995

УДК 517.986

НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В.В.Мосягин

В статье доказаны теоремы существования единственного решения краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве с параметром.

В банаховом пространстве Е рассмотрим краевую задачу

Лх

= /(<,*,«), (1)

*(0) + д(х) = (2)

х(Т) = X, (3)

где параметр и е Е, Т > 0, х0,Х ЕЕ, / : [О, Т] х Е х Е —► Е,

д : С([0,Т], Е) —> Е\ /,д - заданные операторы, удовлетворяющие

некоторым условиям.

Укажем достаточные условия, при которых задача (1)—(2)—(3) имеет единственное решение. Предварительно введем следующие обозначения: / = [0,Т], V — банахово пространство всех непрерывных функций г из I в Е с нормой

11-11 ^ = тах||2(<)||, Уг € V,

‘С *

где ||.|| - норма в Е.

Теорема 1. Пусть выполнены условия Н1)-Н4):

Н1) оператор / непрерывен из I х Е х Е в Е и удовлетворяет условию Липшица

(б) В.В.Мосягин, 1995

||/(«, *!,«!) - /(«, ас2, «2)|| < Л’(Н*1 - ж2|| + ||«1 - и2||), К > О, (4)

У(<, (<,х2,и2) € I х Е х Е;

Н2) оператор д удовлетворяет условию Липшица

\\gizi) - з(г2)|| < Ц\г1 - г2\\у, Ь > О, Угьг2 £ V; (5)

НЗ) существует такой линейный непрерывный и непрерывно обратимый оператор А, что для любой непрерывной функции х(з) из V и любых иь м2 £ Е выполнено неравенство

||^ [/(*.*(*)> «О - Ж *(«). «2)]^« - АЫ - «2)|| <

< е||«1 - и2||, £>0, (6)

причем

е\\А~1\\ = е0< 1; (7)

Н4) справедливо неравенство

(КТ+Ь) (\ + = <? < 1. (8)

Тогда задача (1 )-(2)-(3) имеет единственное решение.

Доказательство . Разрешимость задачи (1)-(2)-(3) будем доказывать методом последовательных приближений. За нулевое приближение возьмем любую непрерывную функцию ж(0)(«) из V.

Покажем, что уравнение

ГТ

Х0-д(х(0))+ /(8,х(°\8),и)(18 = X (9)

Jo

разрешимо в Е. Преобразуем уравнение (9) к виду

Гт

и — и+Л-1(Х — го)+Л_1д(г;^0') — Л-1 / е Ви. (10)

J о

Из неравенств (6), (7) следует, что

||Ви1 - Ви2II < Ео||«1 - «211, £0 < 1, VIII, и2 6 Е.

Следовательно, уравнение (10) имеет единственное решение в Е. Обозначим его через «(»).

В качестве первого приближения возьмем

я(1)(<) = х0 — д(х(-0)) + / (11)

Jo

Видно, что

*(‘)(0) - *о - </(*(0)), *Ы(Т) = Х.

Рассмотрим уравнение

Гт

х0-д(х('Х))+ / /(8,х(0)(8),и)с18 = X. (12)

Jo

Однозначная разрешимость уравнения (12) в пространстве Е устанавливается так же, как и разрешимость уравнения (9). Пусть - решение уравнения (12).

Второе приближение определим так:

х(2)(<) = ж0 - у(*(1)) + / /(в.аг^^в),^1^)^. (13)

Jo

Функция х12)(<), определенная формулой (13), удовлетворяет соотношениям

*(2)(0) = во - 0(*(1)), х^(Т) = Х.

Пусть уже построено (п — 1) приближение, тогда п-е приближение определим следующим образом:

х(п>(<) = *0-<7(*(,1-1))+ [ П8,х^-1\з),и<~п-1^8, (14)

Jo

где и(п_1) - решение уравнения

Гт

*0-»(*(,"1))+ / Г(8,х(П-1\8),и)(18= X.

Jo

Снова видим, что

*<")(0) = х0 —(/(х^-1)), х(”)(Т) = X.

Установим сходимость последовательностей {х*")} и {г/")}. Имеем (п > 2):

х<">(<) - х'"-1)^) = [<Н*("-2)) - </(*(”"1))]+

+ /‘[/(5,х(п-1>(5),«("-1))-/(в,х(п-2)(8),«(п-1))]^+ (15)

Jo

+ [/(«, х("-2>(8), и'""1)) - /(в, х("-2)(«), «<"-2>)]<*5.

При 1^ = Т из (15) следует, что

\\J\n*, *(п"2)(«), «(п-1}) - л*, *(п-2)(<о, и(п-2))]*| =

= ||^ [/(в, х*""1^*), «("-1)) - /(в, х("-2)(«), «("-1))]^+ (16)

+[у(х("-2)) - 0(х(п_1))]|| < (КТ + Ь) шах ||*(п_1)(0 - х<"“2)(0||.

I С 1

Оценим левую часть неравенства (16) снизу, используя неравенства (6), (7):

\\j\fis, х("-2>(5), и("-1)) - /(*, х("-2)(5), и<»-2>)]</в-

(17)

-Л(и(п_1) - к'"-2)) + - ^"-2))|| > А-^Ци^-1) - и("-2)||.

1И II

Из (16) и (17) имеем

||и(«-1) _ и("~2)|| < \\Л _]\\(КТ + Ь) тах||х("-1)(<) _ х(п-2)(^ц (18)

1 — £о 1Ы

Теперь из соотношений (15) и (18) получаем ||х{")(0 - х(п-1)(<)11 < (КТ + 1)х

х (1 + тах Н^—1^) - х("-2>(0||.

\ 1 — £о /

Отсюда

Д„ = тах||х(п)(<) - х(п_1)(<)|| < дДп-ъ (19)

^ £ I

где по условию (8) д < 1. Неравенство (19) показывает, что Дп < дп—1, что равносильно равномерной сходимости {х^" )(<)}. Сходимость последовательности {«(")} вытекает из неравенства (18). Пусть

х(<) = Нт *(")(<), и = Ит и^п\

п —*■ оо п—юо

При п —► оо из (14) получаем равенство

х(<) = х0 - д(х) + / /(8,х(в),и)ёз.

Jo

Очевидно, {х(г),«} и является решением задачи (1)-(2)-(3). Единственность решения этой задачи доказывается обычным образом. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть выполнены условия Ы)-Ь5):

Ы) оператор / непрерывен из I х Е х Е в Е и удовлетворяет условию Липшица

||/(<,хьи1) - /(<,х2,и2)|| < А'(||х1 - х2|| + ||и! - и2||), К > О, \/(<,Х1,и1), (<,х2,«2) 6 I х Е х Е;

И2) оператор д удовлетворяет условию Липшица

113(^1) - р(г2)|| < 1||21 -г2||у, Ь > 0, Угь г2 £ V;

ЛЗ) для любой непрерывной функции х(«) из К и любых Х1\, и2 Е. Е существует такая постоянная М > 0, что

hi) для каждой непрерывной функции x(s) из V существует единственный элемент и £ Е, что

Хо -g(x)+l f(s, x(s), u)ds = X;

Jo

h5) справедливо неравенство

<кг+ч( 1+тг) = “<1-

Тогда задача (1 )-(2)-(3) имеет единственное решение.

Доказательство этой теоремы также проводится методом последовательных приближений.

В заключение отметим, что нелокальные начальные задачи для нелинейных и полулинейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах рассмотрены в работах [1,2].

Литература

1. Byszewski L. and Lakshmikantham V. Theorem about the existence and uniqueness of a solution of a nonlocal abstract Cauchy problem in a Banach space // Appl. Anal. 40 (1990). P. 11-19.

2. Byszewski L. Theorems about the existence and uniqueness of solutions of a semilinear evolution nonlocal Cauchy problem // Appl. Anal. 162 (1991). P. 494-505.