Краевая задача для нелинейного дифференциального уравнения с неразделенными граничными условиями в пространстве с мультивнутренним произведением Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 5, 1998

УДК 517

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С НЕРАЗДЕЛЕННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ В ПРОСТРАНСТВЕ С МУЛЬТИВНУТРЕННИМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ

В. В. Мосягин, Б. М. Широков

В статье методом последовательных приближений доказывается существование и единственность решения двухточечной краевой задачи с неразделенными граничными условиями для нелинейного дифференциального уравнения в векторном пространстве с мультивнутренним произведением.

§ 1. Теорема существования для нелинейного операторного уравнения

Пусть X — векторное пространство над полем С. Будем называть функцию /: X х X —> С полу внутренним произведением на X, если она удовлетворяет условиям: для любых х, у и г Е X

1) ¡(ах + (Зу,г) = а/(х,г) + (ЗЦу,г), а,@ £ С,

2) /(*,*)> 0,___

3) ¡(х, у) = ¡{у,х).

Будем записывать значения /(х,у) как (х,у).

Определение . Семейство $ = {/7 | 7 Е Г} полувнутренних произведений на X называется мультивнутренним произведением, если для любого ненулевого элемента х Е X существует такой индекс 7 Е Г, что (х,х)7 = /7(ж,ж) / 0.

© В. В. Мосягин, Б. М. Широков, 1998

Пространство X с мультивнутренним произведением $ будем обозначать (X, ^).

Мультивнутреннее произведение $ порождает семейство полунорм

с которым пространство X становится хаусдорфовым локально выпуклым линейным топологическим пространством (см., например, [3]). Топологию X обозначим через т. В дальнейшем будем считать, что (X, т) — секвенциально полное хаусдорфово локально выпуклое линейное топологическое пространство.

Пространства с мультивнутренним произведением рассматривались в работе [2].

Приведем теорему, которая обобщает теорему 29.3 монографии [1, с. 202], доказанную для гильбертовых пространств.

ТЕОРЕМА 1. Если оператор Е\Х —> X удовлетворяет условиям: для любого 7 Е Г существуют такие числа т1 и М7, что М1 > т7, причем существует такое 6 > 0, что для любого 7 Е Г; ш7/М^ > 6, и для любых х, у Е X

то уравнение Ри = д имеет единственное решение при любом д Е X, которое может быть получено методом последовательных приближений.

Доказательство. Пусть д е X. Выберем 5 так, что 0<6<2т1/М% для любого 7 Е Г, и для любого х Е X положим

х Е X, 7 Е Г,

\\Рх ^/|І7 < М7\\х у ||7, Ке(-Рж - Ру,х- у)у > т1 \\х - у\\2,

(1)

(2)

А$х — х — 8{Гх — д). Тогда для любых 1И1/ЕХИ7ЕГ будем иметь:

\\Asx - А6у\\2 = ||х-у- 5(Рх - Ру)||2 =

= \\х - у\\2 - 26Ве(Рх -Ру,х- у)1 + 62\\Рх - Ру\\2.

Из условий (1)-(2) следует:

\\А6х - А6у\\2 < (1 - 25т7 + ё2М2)\\х - у\\2.

Так как при выбранном 6 постоянная (1 — 28т1 + 52М2) < 1, то будет сжимающим по отношению к любой полунорме оператором. Следовательно, существует элемент и, удовлетворяющий уравнению

А$и = и — 8{Еи — д) = и.

Отсюда следует утверждение теоремы. □

§ 2. Краевая задача

Пусть I = [0,11 С М, Е — пространство непрерывных функций

ж: I X, /: I х Е х X X, X2 X и

р7(ж) = тах ||ж(£)||7.

Рассмотрим краевую задачу:

=/(¿,ж(*)), (3)

^(ж(0), ж(1)) = а, а Е X. (4)

Докажем следующую теорему.

Теорема 2. Пусть оператор / непрерывен на, I х X и для любого 7 Е Г;

а) существует такая неотрицательная интегрируемая на I функция 7 (£), что для любого £ Е I и для любых х иу Е Е справедливо неравенство:

НДМО)) - Жу№)11т —7 ШФ) - у(*)П-т; (5)

б) существует такая положительная постоянная М7, что для любых и, V, г¿l и г?1 Е X

||^(и,г;) - ^(«1,^1)|| < М7(||м - гл||7 + ||г> - г>1 П-у); (6)

в) существует такая положительная постоянная ш7 < Мд, что для любых и, V, и ш Е X

Ке(Е(и, и + и)) — Е(у, V + ги), и — у) > т7\\и — у\\2 ; (7)

[ 7(г)<й,

«/ О

г) для чисел q1 — / М7, тд выполняется неравенство

ь{1 + ^)<1; (8)

д) множество {М1 | 7 Е Г} ограничено.

Тогда существует единственное решение задачи (3)-(4), которое может быть получено методом последовательных приближений.

Доказательство. Докажем предварительно, что для любых заданных элементов а и Н Е X уравнение

Р(и, и + К) = а (9)

однозначно разрешимо.

Если обозначить Ани = Г (и, и + /г), то наша задача — доказать однозначную разрешимость в X уравнения Ани = а. Проверим условия теоремы 1 для оператора А^. Фиксируем 7 Е Г. Из условия (6) имеем:

||Ани - Ану\\ч = \\Г(и,и + Ъ) - Р(у,у + /г)||7 < 2М1\\и - г>||7.

Из условия (7):

Ие(и - г;, - Ану)1 > ш7||гб - г>)||7.

Пусть (7 > 0 — верхняя граница для множества чисел М1. Тогда из условия (8) следует, что

ш7 1 д7 1

Щ > м; ' 1 - д7 > С’

Следовательно, уравнение (9) однозначно разрешимо при произвольно фиксированном Н Е X для любого а Е X.

Обозначим для ж Е Е\

Пусть жо(£) — произвольный элемент из Е. Найдем из уравнения

Р(и0,и0 +д(х0)) = а.

Как доказано выше, такой элемент существует и только один. Положим:

XI (¿) = £ /(в, ж(в)) + М0.

о

Допустим, что найдены элементы жо(£),Ж].(£), • • • ?жп_1(£), удовлетворяющие условию (4), и ж*(£) Е Е. Тогда п-е приближение определим следующим образом:

£

Хп{1) = J/(5,ж(5))ск + мп_1, (10)

о

а ип_1 найдем из условия

Р{ип—1, ип—1 + ¿/(жп_1)) — а. (И)

Как уже показано, такой элемент существует и только один.

Формулы (10) и (11) определяют последовательные приближения решения задачи (3)-(4). Нам осталось показать, что последовательность {хп(£)} сходится в Е, а последовательность {ип} сходится в X. Для этого, используя условие (5), оценим разность между соседними приближениями:

1

\\Xnit) Жп —1(£)||7 ^ ^ 7 (з) | |Жп —1 (з) ХП — 2 (з) | ¡7 сЬв | |ип_1 и^п — 2Ц7 ^

О

^ Я.'У Р'У^п — 1 п — 2 ) Н- 11^71 — 1 ^п — 2 117 - (1^)

Из условия (7) следует:

Не (^К_1, ип — \ + у{%п — 1)) Е(ип — 2 1 ип — 2 + 9{%п — 1)) , ^п — 1 ^тг —2) ^ ^

> ш||гбп_1 - гбп_2)||7. (13)

Из уравнения (11) выводим:

Р{ип — 1, 'М'п — 1 + 9{%п — 1)) Е(ип — 2 1 ^71 — 2 Н- у{%п — 1)) —

= ^(ип_2, ип-2 + д(хп-1)) - ^(пп_2, ип-2 + д(хП-2))-

Учитывал это обстоятельство и условие (6) и оценивал сверху левую часть неравенства (13), получим:

Учитывал, что д7(1 + М7/т7) < 1, можем заключить, что последовательность {хп(£)} сходитсл в пространстве к некоторому элементу ж(£) Е Е. Из неравенства (14) легко выводится и сходимость последовательности {ип}, так как М7д7/т7 < 1. Таким образом, существуют такие элементы а:^) Е ^ и и Е I, что

Отсюда следует, что ж(£) — решение задачи (3)-(4). Единственность решения очевидна. □

It is proved that there is unique soution of a twopointa boundary problem with nonseparated boundary conditions for differetial equation in the linear space with multyinner composition in this paper.

m\\Un-l ^n — 2 117 ^ 1 ^n —2Ц7 —l) 9{xn — 2 117 -

Условие (5) нам дает:

Подставим эту оценку в неравенство (12) и получим:

P~f(xn Жп_1) ^ Qj

t

О

F(u, u + д{х)) = a.

Resume

Литература

[1] Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988. 304 с.

[2] Вересова А. Т., Мосягин В. В. Пространства с мулътивнутрен-ним произведением в теории дифференциальных уравнений// Труды ПетрГУ. Серия математика. 1996. Вып. 3. С. 25-27.

[3] Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1965.