CC BY
20
Dt Dregoljob M. Brkk,
dip], inž. TehiuCki opimi ccnur KoV.
Beograd
PRORAČUN POUZDANOSTI MOSNE VEZE ELEMENATA TEHNIČKOG SISTEMA ANALHIČKOM METODOM I METODOM MONTE KARLO
UDC: 62.004.15:519.245
Rezime:
U radu su opisane dve metode proračuna pouzdanosti mosne veze elemenata tchničkog sistema: analitička metoda (tačna) imetoda Monte Karto (pribliina). Dot jeprimer proraCuna u kojem su upoređeni dobijeni rezultati primenom ove dve metode. Velika pribliinost dobijenih rezultata ukazuje na valjanost metode Monte Karlo, koja je posebno primenljiva u proračunima pouzdanosti sloienih sistema veza elemenata.
Kljućne reči: pouzdanost, proračun pouzdanosti, mosna veza elemenata sistema, metoda Monte Karlo.
CALCULATION OF RELIABILITY OF THE SYSTEM-ELEMENTS BRIDGING CONNECTION BY THE ANALYTICAL METHOD AND BY THE MONTE CARLO METHOD
Summary:
Two methods for calculating reliability of the bridging connection of system elements are described in the paper. The analytical method (accurate) and the Monte Carlo method (approximate). These two methods have been applied to a calculation example and their results have been compared. High approximacy of the obtained results points out the validity of the Monte Carlo method, which can be especially applied in reliability calculations of complex element connection systems.
Key words: reliability, reliability calculation, system-elements bridging connection, Monte Carlo method.
Uvod
Element! tchničkog sistema medu-sobno su povezani, redno, paralelno, ili kombinovano, tj. redno-paralelnom i(ili) paralelno-rednom vezom. Proračun pouzdanosti kombinovane veze elemenata sistema realizuje se postupkom redukcije. Na primer, ako su dva elementa vezana redno (slika 1), gde u čvoru njihove veze nema veza sa drugim elementima, onda
se ta dva elementa mogu zameniti jednim fiktivnim elementom, u smislu pouzdanosti, čija je ekvivalentna pouzdanost data sledećim izrazom:
R* = Ri R2. (1)
SI. I - Redna veza dva elementa
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 1/2000.
11
Ekvivalentna pouzđanost novog fik-tivnog elementa jednaka je proizvodu pouzdanosti prvog i drugog elementa. Takav postupak $e nastavija za sleded redno vczani element, i to za svaku granu složenog sistema veze, i na taj način veza se uprošćava.
Medutim, u nekim delovima tehnič-kog sistema mogu se naći i elementi koji su medusobno vezani paralelno u fun-kcionalnom smislu. Paralelna veza dva elementa prikazana je na slid 2.
Ri
A
r2
SI. 2 - Paralelna veza dva elementa
Slično kao kod redne veze, i dva paralelno vezana elementa mogu se za-meniti jednim fiktivnim elementom čija se pouzdanost određuje pomoću izraza:
R« = 1 - (1 - Ri) * (1 - R2). (2)
Kada vremena rada do (izmedu) ot-kaza elemenata sistema imaju eksponen-
cijalnu raspodelu, onda se pouzdanosti Ri i R2 odreduju izrazom:
Ri = Ri(t) = e^' = e‘i;i = l,2, (3)
gde je:
Xi - intenzitet otkaza,
m, - srednje vreme rada do (između)
otkaza i-tog elementa,
t - zadato vreme bezotkaznog rada.
U nekim tehničkim sistemima po-stoje i elementi koji premošćavaju neke grane sistema. U takvim slučajevima odredivanje pouzdanosti celog sistema nije jednostavno. Koristed navedene po-stupke redukdje, takav sistem se najčcšće svodi na mosnu vezu elemenata koja je prikazana na slid 3. Blokovi koji pred-stavljaju elemente mosne veze označeni su sa R}, R2, •R$, gde korišćene oznake predstavljaju pouzdanosti tih elemenata.
Proračun pouzdanosti
Analitička metoda
Za zadati interval vremena bezotkaznog rada (0, t), veza između parametara
12
VOJNOTEHNlCKI GLASNIK 1/2000.
X\y X2y ..., X5y koji predstavljaju intenzi-tete otkaza tih elemenata, i R}> R2> ..., R5> data je izrazom:
Ri(t) = e**-, i = 1, 2...5. (4)
U izrazu (4), umesto intenziteta ot* kaza X, može se koristiti srcdnje vreme rada do (izmedu) otkaza m, koje je, u slučaju eksponencijalne raspodele vre-mena do (između) otkaza, jednako red-pročnoj vrednosti intenziteta otkaza.
Pod pouzdanošću mosne veze elemenata sistema podrazumeva se verovat-noda pojave očekivane izlazne veličine u tački B, kao odziv datoj ulaznoj veličini u tački A. Odredivanje pouzdanosti mosne veze znatno je složenije od odrediva-nja pouzdanosti prethodno navedenih vrsta veza elemenata (redne i paralelne veze elemenata). Ukupan broj različitih putanja signala između ulaza A i izlaza B je četiri: 1) Ri i R2, 2) R3 i R4, 3) Rj, R4, R5 i 4) R3, R5, R2. Putanje preko ovih elemenata nisu medusobno nezavi-sne, jer se u njima pojavljuju i neki zajednički elementi. Odredivanje pouzdanosti ove mosne veze izvrSeno je pri-menom Bulove algebre. U ovom prime-ru, za pet različitih elemenata, koji sači-njavaju mosnu vezu, napisane su kombi-nadje stanja elemenata, i mosne veze kao celine prikazane u tabcli 1.
U tabeli 1 sa 0 je označeno stanje neispravnosti, a sa 1 stanje ispravnosti elementa, odnosno cele mosne veze. Kao Sto se može videti u ovoj tabeli, od 32 kombinadje 16 kombinacija je uspešnih, tj. njima se možc preneti signal od A do B. Te kombinadje su:
1. 00011 &5&4R3R2R1 — Si
2. 00111 R5R4R3R2R1 = S2
3. 01011 ft.5R4ft.3R2R! = S3
4. 01100 ft5R4R3ft2ft! — S4
5. 01101 ft5R4R3ft2Ri = S5
6. OHIO ft5R4R3R2fti = S6
7. 01111 ft5R4R3R2Ri — S7
8. 10011 R5ft4ft3R2Ri = Sg
9. 10110 R5ft4R3R2ftl = ^9
10. 10111 R5ft4R3R2Ri = S10
11. 11001 RsRjftsftiRi — Su
12. 11011 R5R4R.3R2R1 = S12
13. 11100 R5R4R3ft2fti — S13
14. 11101 R5R4R3ft2Ri = Sj4
15. 11110 R5R4R3R2ftl = S|5
16. 11111 R5R4R3R2R1 = Sjg
Pošto su sve prikazane kombinadje medusobno nezavisne, pouzdanost ove mosne veze elemenata jednaka je zbiru članova Si (i = 1, 2, ...* 5), tj.
R=ISi. (5)
i-1
Tabela 1
Kombinadje stanja elemenata i mosne veze
Stanja ckmcnata R5 Ri Rj R; R| Stanje mosne veze S Stanja elemenata R$ R| Rj Rj Rj Stanje mosne veze S
1. 0 0 0 0 0 0 17. 0 0 0 0 0
2. 0 0 0 0 1 0 18. 0 0 0 1 0
3. 0 0 0 0 0 19. 0 0 0 0
4. 0 0 0 1 1 20. 0 0 1 1
5. 0 0 0 0 0 21. 0 0 0 0
6. 0 0 0 1 0 22. 0 0 1 0
7. 0 0 1 0 0 23. 0 0 1
8. 0 0 1 1 24. 0 1 1
9. 0 0 0 0 0 25. 0 0 0 0
10. 0 0 0 1 0 26. 0 0 1 1
11. 0 0 0 0 27. 0 0 0
12. 0 0 1 1 28. 0 1 1
13. 0 0 0 1 29. 0 0 1
14. 0 0 1 1 30. 0 1 1
15- 0 0 1 31. 0 l
16. 0 1 1 32. 1 1
vojnotehniCki glasnik 1/2000.
13
Polazed od jednakosti:
Rj + ftj = 1, (6)
u izrazima za S,, činioce R, (j = 1, 2, .... 5) treba zameniti sa:
Rj = 1 - Rj. (7)
Posle izvršenih smena, naznačenih množenja i sabiranja, dobija se konačan izraz za pouzdanost mosne veze eleme* nata tehničkog sistema:
R = R1R2 + R3R4 + R1R4R5 +
+ R2R3R5 + (R1R2R3R4 +
+ R,R2R3R5 RiRijR^Rj + (8)
+ R1R3R4R5 + R2R3R4R5) +
+ 2R1R2R3R4R5.
Oznake za pouzdanosti elemenata u iz-razu (8) su skraćene. One se pri izračuna-vanju pouzdanosti zamenjuju sa:
Rj(t)«e-M = e-i; j = 1, 2—, 5, (9) gde je:
- intenzitet otkaza j-tog elementa, KHj - srednje vreme rada do (između) otkaza j-tog elementa,
t - zadato vreme bezotkaznog rada.
Metoda Monte Karlo
Neka su za eiemente mosne veze na slid 3 data srednja vremena rada do (između) otkaza: mi, m2, m3, ra* i m$, umesto pouzdanosti: Ri, R2, R3, Ra i R5, respektivno. U slučaju da vremena rada do (između) otkaza elemenata imaju eks-ponendjalnu raspodclu, tada je funkcija ncpouzdanosti i-tog elementa:
t
Fj(t) = 1 - e'mj > 0; t > 0; i = 1, 2....5. (10)
Rešavanjem izraza (10) po t, dobija se:
t = -mjln [1 - Fi(t)]. (11)
Ako se za vrednost funkdje Fj(t), u izrazu (11), uzme pseudoslučajni broj f,j € [0, 1], tada se za t dobija sleded pseudoslučajni broj:
tjj = -m,ln (1 - fy); i = 1, 2..5;
j = 1,2, ... (12)
koji ima eksponencijalnu raspodelu sa parametrom m,.
U izrazu (12), t,j je j-to po redu generisano pseudoslučajno vreme do (iz-među) otkaza i-tog elementa posmatrane mosne veze.
Neka je t zahtevano vreme bezotkaznog rada mosne veze date na slid 3. Bezotkazno stanjc mosne veze elemenata u zadatom vremenu t je ono stanje kada između tačaka A i B postoji bar jedna ispravna veza (veza elemenata od A do B koja nije otkazala). Da bi se dogodila pojava stanja bezotkaznog rada u vremenu t, moraju biti ispunjeni sleded uslovj:
(ti > t a t2 > t) v
(tj > t A tj > t A t* > t) V
(t3 > t A t5 > t A t2 > t) V (13)
(t3 > t A t4 > t),
gde su ti, t2,..t$, generisana pseudoslu-Čajna vremena do (izmedu) otkaza prvog, drugog,..., petog elementa, respektivno, a t je zahtevano vreme bezotkaznog rada.
Da bi se mogla odrediti pouzdanost mosne veze elemenata, metodom Monte Karlo, potrebno je skup pseudoslučajnih brojeva {tj, t2, ..., t5) generisati uza-stopno N puta, gde je N vrlo veliki broj (N > 100). Ako se jedno generisanje skupa brojeva (ti, t2, t5} smatra
jednom probom, onda je N ukupan broj proba. Neka je u toku N proba uslov dat izrazom (13) bio ispunjen M puta (M
14
VOJNOTEHNlCKI GLASNIK 1/2000.
uspešan ishod probe), tj. u M ođ N proba postojala je bar jedna ispravna veza iz-među tačaka A i B (slika 3).
Pouzdanost mosne veze može se mc-todom Monte Karlo približno odrediti kao količnik broja uspešnih ishoda M i ukupnog broja proba N, tj.:
ft(t) = M. (14)
N
Primer
Poznata su srednja vremena rada do (između) otkaza elemenata mosne veze date na slid 3: mi = 1000 h, m2= 1000 h, m3 = 2000h, m4 = 2000 h i m5 = 2500h, koja imaju eksponencijalnu raspodelu. Potrebno je odrediti pouzdanost ove mosne veze elemenata primcnom analitičke metode i metode Monte Karlo, za sledeća zahtevana vremena bezotkaznog rada: t = 100 h, 250 h, 500 h, 1000 h i 2000 h. Kod primene metode Monte Karlo, radi postizanja veće tačnosti, ukupan broj proba treba da bude N = 10 000. Dobi-jene rezultate treba uporedno prikazati u tabeli.
Rešenje
PoŠto je izračunavanje pouzdanosti složeno u slučaju primene analitičke metode, a posebno metode Monte Karlo, to je za rešavanje datog zadatka neophodna
Tabela 2
Vrednosti pouzdanosti mosne veze elemenata
t[hj Primeoa aoalittćke metode R(0 Pruoena metode Monte Karlo R(0
100 0,990426 0,9905
250 0,945292 0,9487
500 0,818600 0,8193
1000 0,527829 0*5310
2000 0,175627 0,1760
primcna računara. Za zadate podatke, koristed prcthodno navedene izraze za pouzdanost mosne veze elemenata, po-moću računarskog programa uradenog spedjalno za ovu svrhu, dobijene su vrednosti za pouzdanost mosne veze elemenata (slika 3) koje su prikazane u tabeli 2.
Zakljucak
Kada se uporede vrednosti pouzdanosti mosne veze elemenata tehničkog sistema, određene analitičkom metodom i metodom Monte Karlo, koje su prika-zane u tabeli 2, možc sc primetiti da su one veoma približne. To je potvrda valja-nosti metode Monte Karlo, a i velikog broja proba N = 10 000. Zadovoljava-juća tačnost mogla bi se dobiti i $a manjim brojem proba (N > 100). Zbog spore statističke konvergeneije, preterano po-većanje broja proba (N » 10 000) ne dovodi do značajnijih približavanja rezul-tata dobijenih primenom ove dve metode. Primenom metode Monte Karlo možc se odrediti pouzdanost i složenijih sistema veze elemenata, nego što je sistem mosne veze. Bitno je istaći da se primenom prikazane metode Monte Karlo, možc odrediti pouzdanost nekog sistema veza, a da se pri tome ne mora izvesti analitički izraz za tu pouzdanost. To je naročito važno kada je sistem veze složen, pa je izvodenje analitičkog izraza za njegovu pouzdanost veoma teško izvodljtvo, jer, kao što se može videti u ovom radu, ono je teško izvodljivo i za jednostavnu mosnu vezu elemenata.
Lueramro:
[1] P. Owpouille el R. De Pazzis: Fi*bibW dcs SyKimcs, Masson. Pam. 1966.
[2] B, L. Van Der Waerden: Matfaematische Stamtik. Springer-Verlag. Berlin. 196S.
[3] H. O. Schneider: ZuverUssigkeil elektronischcr Bauclemen-te. VEB Deutscher Verlag Mr GruftdstoHuxiustie. Leipztg 1974.
VOJNOTEHNIĆKl GLASNHC U2OO0.
15
