Производство энтропии на неравновесном фронте фазовых превращений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.162:548.51

Введение. Ряд современных способов получения твердых материалов характеризуется большими скоростями кристаллизации [1]. Это относится, в частности, к металлическим системам при кристаллизации из глубоко переохлажденного расплава, а также к новым способам получения тонких пленок. Математическое моделирование таких процессов требует учета неравновесных явлений теплопереноса на фронте фазовых превращений (ФФП). В работах [2, 3] представлены новые постановки релаксационных тепловых задач направленного затвердевания и указаны условия выбора термодинамически допустимых фазовых границ. Данная работа является продолжением [2, 3] и содержит вывод формулы для производства энтропии на ФФП.

Динамические условия совместности на ФФП.

Исходные уравнения теплопереноса имеют вид:

дТ дq vq дq . дТ

с — + ^- + ^- = 0; q + у — = -Л— . (1)

дt дх х дt дх

Здесь приняты обозначения: Т - температура; q - удельный тепловой поток; Л -коэффициент теплопроводности; с = р Ср - объемная теплоемкость; у - время релаксации

теплового потока; t - время; х - декартова либо радиальная координата; L - теплота фазового перехода единицы объема вещества; N - скорость перемещения ФФП; V = 0, 1, 2 - параметр, характеризующий тип симметрии (плоский, цилиндрический, сферический).

Условия динамической совместности на ФФП:

Индексами * и . отмечены значения функций, соответственно, справа (жидкая либо аморфная фаза) и слева (кристаллическая фаза) от ФФП х = х. (7). Термодинамически

допустимые сильные разрывы теплового поля налагают ограничения на уравнение состояния среды V = V(и). Эти ограничения даны в [2, 3] для знакопостоянной и знакопеременной выпуклостей функции V(и) .

В локально-неравновесном случае плотность энтропии S(и, q) подсчитывается по формуле

qj - q* = N(uj - и*) - Q , Q = Ь(N + у dN /dt); N(^. - q*.) = V, - V*,

где

132

ЭНЕРГЕТИКА И ТЕПЛОЭНЕРГЕТИКА

где Seq - локально-равновесная энтропия, см. обзор [4]. Полагаем далее, что локальноравновесная и локально-неравновесная температуры одинаковые: Т = в. Уравнение

энергии в (1) преобразуем, применяя формулы:

Я = д^ди д^дд = д^дд ;

дt ди дt дq дt Т дt дq дt ’

д ( q ) = 1 дq q дТ

~дх (ТТ ~дх Т ~дх '

Тогда получаем уравнение, описывающее изменение энтропии: дS + д ( q ^ = q2 vq

д дх V Т) ЛТ2 хТ Отсюда выводим условие динамической совместности:

N (я,- ы=( Т),-(Т )*+о

где о - производство энтропии на ФФП.

В предельном случае у ^ 0 имеем равновесный фазовый переход, для которого

Т* = Т,, о = 0 .

Таким образом, итоговые формулы имеют вид:

-^ЧтШ/

АЯ = Я, - Я* = (М)„ -

+

у q2 Л

V2ЛТ )*

При кристаллизации переохлажденного расплава изменение равновесной энтропии равно

(АЯ)„ = dT -ЫdT -±,

где Тс - температура кристаллизации. В первом из этих интегралов содержится теплоемкость с(Т) жидкой фазы, во втором интеграле - теплоемкость с(Т) кристаллической фазы.

Вывод: условие необратимости теплового процесса на неравновесном фронте фазовых превращений состоит в том, что о > 0, см. формулу (2).

Литература

1. Васильев В.А., Митин Б.С., Пашков И.Н. и др. Высокоскоростное затвердевание расплава. - М.: «СП ИНТЕРМЕТ ИНЖИНИРИНГ», 1998. - 400 с.

2. Шабловский О.Н. //Труды четвертой междунар. конф. по матем. моделированию. Т.1. -М.: Изд-во «Станкин», 2001. - С. 99-107.

3. Шабловский О.Н. //Поверхность. - 2002. - № 2. - С. 49-54.

4. Соболев С.Л. //Успехи физических наук. - 1997. - Т. 167. - № 10. - С. 1095-1106. Получено 11.10.2002 г.