Локально-неравновесные свойства фазовой границы высокоскоростной кристаллизации переохлажденного расплава часть 1. Трансзвуковой переход на линии роста Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 548.232.4

ЛОКАЛЬНО-НЕРАВНОВЕСНЫЕ СВОЙСТВА ФАЗОВОЙ ГРАНИЦЫ ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ ПЕРЕОХЛАЖДЕННОГО РАСПЛАВА

ЧАСТЬ 1. ТРАНСЗВУКОВОЙ ПЕРЕХОД НА ЛИНИИ РОСТА

О. Н. ШАБЛОВСКИЙ, Д. Г. КРОЛЬ, И. А. КОНЦЕВОЙ

Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого», Республика Беларусь

Ключевые слова: переохлажденный расплав; рост кристалла; предвестник боковой ветви дендрита; неравновесный теплоперенос.

Введение

Процессы высокоскоростной кристаллизации глубоко переохлажденного расплава служат основой перспективных способов получения материалов с новыми функциональными свойствами. В настоящее время в экспериментальных условиях достигнуты скорости роста 20-70 м/с при глубине переохлаждения расплава до 300 °С. История данного вопроса и библиография проблемы изложены в [1].

Важным аспектом проблемы роста является дендритное ветвление и анализ морфологической неустойчивости фазовой границы (ФГ). В данной работе рассматривается рост кристалла из однокомпонентного переохлажденного расплава с позиций теории локально-неравновесного теплопереноса. Трудности теоретического исследования этой задачи обусловливают следующие обстоятельства: 1) термодинамически неравновесное состояние расплава; 2) высокая степень нестационарности процессов, происходящих на фазовой границе; 3) трехмерность поверхности дендрита. В общей постановке трехмерная нестационарная задача очень сложна. Здесь мы применяем более простой (полуобратный) подход к проблеме, позволяющий выяснить многие существенные детали процесса формирования теплового поля на поверхности роста кристалла, а именно: рассматриваем ФГ стационарной геометрической формы, перемещающуюся с постоянной скоростью. Этот случай характерен для стадии установившегося во времени режима роста. Данная работа продолжает исследования [2]-[5] и имеет следующие цели: 1) изучить градиентные свойства теплового поля на линии роста; 2) проанализировать качественные и количественные различия между тепловыми процессами на двухмерных плоской и осесимметричной ФГ.

Кинетические соотношения на фазовой границе

Релаксационная модель Максвелла переноса тепла в неподвижной среде состоит из уравнения для теплового потока и уравнения баланса энергии [6]:

д + = -^гаёТ; (1)

--+ ё1уд = qu, ) / ёТ = с,

дХ

где Т - температура; Я2,Я3) - вектор удельного теплового потока; X - коэффициент теплопроводности; с - объемная теплоемкость; у - время релаксации теплового потока; я - мощность внутренних источников энергии; и - плотность энергии. В трехмерном пространстве (х, у, 2) ФГ кристаллизации моделируем поверхностью сильного разрыва теплового поля. На поверхности сильного разрыва / (х, у, г, ¿) = 0 условия динамической совместности получаем обычным образом [7]:

Здесь (3) - баланс энергии на ФГ; (4) - условия непрерывности касательных и бинормальных к ФГ компонент вектора теплового потока; Ь - теплота фазового перехода единицы объема вещества; N = Ып - скорость перемещения ФГ. Звездочкой отмечены параметры расплава; индекс ] указывает, что значение функции определено на правой стороне разрыва, в твердой фазе. Подробности вывода и обсуждение соотношений (3), (4) даны в [5]. Отметим, что при записи формул (3), (4) используется ортогональный базис ж, п, Ь, соответствующий касательной, главной нормали и бинормали к поверхности ФГ. Алгоритм построения такого базиса аналогичен тому, что применялся в газодинамической теории ударных волн [8].

Рассмотрим формальным образом трехмерное пространство х1 = х + Ъ^, х2 = у, х3 = г с ортонормированным базисом ¡а, а = 1, 2, 3. Уравнение ФГ имеет вид / (х1, х2, х3) = 0. Единичный вектор нормали к ФГ равен:

Координатная ось х1 направлена вдоль вектора теплового потока q„ (рис. 1).

N(и} - и.) - Q = (q • п) j - (q • и).; (q • s) j = (q •, (q • b) f = (q • b).;

(3)

(4)

y

N

0

Рис. 1. Основные геометрические параметры ФГ кристаллизации

Вектор n направлен в сторону кристаллической фазы: q, • grad/ > 0. Единичный

вектор касательной s лежит в плоскости (n, q,) . Вектор b бинормали перпендикулярен

плоскости (x1, x2) и вместе с s, n образует правую систему векторов s, n, b: s = n x b,

b = s x n. Вектор q, очевидно, лежит в плоскости (x1, x2), т. е. в плоскости (n, q,).

На плоскости (s, n) расположение векторов q,, qj характеризуется углами в,, вj,

которые отсчитываются от оси x1 так, как показано на рис. 1. Это означает, что в

есть угол поворота вектора теплового потока за ФГ. Теперь можем записать вектор бинормали в виде:

f q,x n , _ . _ . . _ q, • grad/

b = r-¡-—, q, = q, (s cos в,+ n sin в,), sin в, =—¡--j-,

|q,| cos в, q, |grad/|

где q, = |q,| > 0. В случае нормального механизма роста известное кинетическое условие для температуры на ФГ имеет вид:

UK ^

N = M(Te - Tj), Te = Til--

L

где - кинетический коэффициент роста; Те - температура равновесия между твердой и жидкой фазами; Тс - равновесная температура кристаллизации; и - поверхностная энергия границы раздела фаз; К - средняя кривизна ФГ. Считается, что К > 0, если ФГ вогнута в сторону кристалла.

Разрушение теплового поля

Рассмотрим двумерный тепловой процесс, когда ФГ имеет вид: / = х + Ъ^ - В(у) = 0; х1 = х + Ъ^, х2 = у, х3 = 0.

Применяем уравнения теплопереноса (1), записанные в плоскости (х1, у) :

, дТ дq1 дq2 V _ , дq1 „ дТ дq2 „ дТ

сЪ — + —- + —— + — q2 = 0, q1 + УК —- = -Х—, q2 = -Х—,

1 л. 2 ' л. 1 I 1 . у. ' ±2 ' 1 '

дх1 дх1 ду у дх1 дх1 дх1 ду

где V = 0 для плоского случая; V = 1 - для осесимметричного процесса (у = 0 - ось симметрии). Координатные линии £2, £3, соответствующие осям ж, п, Ь, имеют вид:

Я Г аУ е > 2 ' £ D, ч

L = x1 + , =\ = X -B(y);

^ 1 Jfí(v)' ф- h = r при v = 1- 1

B(y) [ф; h2 = r при v = 1;

B (y) = dB( y)/ dy, h = BB(v), h3 = —, G = (1 + B2)1/2, \ = cos в*, h3 = sin в*,

G G

где r = y и ф - соответственно, радиальная и угловая координаты при v = 1. Процедура построения этих координатных линий будет изложена во второй части данной работы. Компоненты векторов теплового потока для жидкой и твердой фаз:

(q*). = q, cos в*, (q*)n = q* sin в*; q* =

(qjX = qjcos(p*-pjX (qj)„ = qfsin(p*-pi). (qj\ =0; q, = qi■

j/n 4] VP* Vjji \4jJb

Компоненты градиента температуры:

(gradr)s = -1 д-, (gradr)ъ = -1 д-, (gradT)„ = -1 d- ■

h dc,j h2 h3

Скорость перемещения ФГ есть N = -Ъ / G. Динамические условия совместности на ФГ:

- непрерывность касательных компонент теплового потока:

qS] = q] cos(p* - p j) = q* cos p*; (5)

- баланс энергии:

qnj = q¡sin(p*- p j) = q*sin p*+S; (6)

Qj = N(uj - u*) - LN, dN/dt = 0; uj - u* = c— - c*T* + Tc(c* - cj); c*,cj - const;

- кинетическое условие:

- = -c - ^K - — sin p*; (7)

L д

Kj(y) = ; U, bj, д-const; K = Kj + K2; K2(y) = VB(y) ■ G (y) yG(y)

Операторы дифференцирования преобразуются следующим образом:

д д д д д _ д 1 — =-+-, — =-tgp*---; (8)

dxj c^j д^з dy c^j д^з tgp*

д д д д д д — = \ — = —cosp^ — = h3— = — sinp*, (9)

dc,j ds ds dc,3 dn dn

где д / ds ид / dn - операторы дифференцирования вдоль касательной и вдоль нормали к линии ФГ. Компоненты вектора q(qj, q2) на плоскости (x, y) и этого же вектора q(qs, qn) на плоскости (s, n) связаны между собой так: qj = qn sin p* + qs cosp*, q2 =-qn cos p* + qs sin p*. Отсюда ясно, что qjj, q2j определяются через qsj, qnj, которые известны из условий на ФГ. Выполняя по формулам (8), (9) преобразования независимых переменных (xj,y) ^ £3) ^ (s,n), получаем вместо исходных уравнений теплопереноса:

- уравнение энергии:

cbj sinp*^ + ^ = nj, (j0)

dn dn

dT dqs v( ) ( q ^|3p*

nj =-cbjcos p*------(qs sin p* - qn cos p*—^ + qn — ;

ds ds y I tgp* J ds

- уравнение теплового потока в проекции на ось х:

dT dq dq

X sin в* — + Yb sin2 в*—— + Yb sin в* cos в*—— = П 2, (11)

dn dn дп

дТ dq dq

П2 = ^^в*--yb1 cos2 в* —- - Yb1 sin в* cos в* —- - qn sin в* - qs cos в*;

ds ds ds

- уравнение теплового потока в проекции на ось y:

- X cos в* — - Yb sin в* cos в* — + Yb sin2 в* d^ = П 3, (12)

dn dn dn

dT dq dq

П3 = -X sin в* — + qn cos в* - qs sin в* + Yb cos2 в* —— - Yb1 sin в* cos в* ——.

ds ds ds

Уравнения (10)-(12) представляют собой систему трех линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно производных dT / dn, dqn / dn , dqs / dn . Определитель этой системы равен:

Д = b1XYsinв*(М2 -1), (13)

M2 = N2 / w2, N2 = b2 sin2 в*, w2 = X /(cy ),

где M - тепловое число Маха; c = cj, X = Xj, y = Y ¡.

В данном случае ФГ перемещается со скоростью, не зависящей от времени, поэтому естественно допустить, что тепловое поле расплава находится в отрелаксиро-вавшем состоянии: q* = 0, T* = const. Тогда qsj = 0, dqsj / ds = 0. После дифференцирования по s динамических условий (5)-(7) находим:

dN

q- = N(uj - u* - L), -= ЬК^в*,

ds

dq dT

= (u ■ - u* - L)b1Kcosв* + Nc^, N =-b1sinв*, (14)

ds 1 ds

dT T IT b

1 = Ulc-K sin в* + -^К^в*, К = ак / dy.

д1 Ь д

Нормальные производные от температуры и компонент вектора теплового потока определяются такими выражениями:

дТ _ дЧп _ А2 ^ _ X дТ (15)

dn X(M2 -1)' dn A dn b1Y sin в* ds A1 = Yb1 sin в* • A1,

~ 2 V 2 "'Í

A1 = (u1 - u* - L)(Yb К cos2в* - b1 sin в*) + — Ybqn sln2в* -Yb1 c.—-sln2в*;

2y ds

A2 = XYcb12 sin в* cos в* —T - Y2cb13 sin2 в* cos в* - Ycb12 sin2 в*^.

ds ds

dT,

В этих формулах 0 <в* <п/2. Чтобы определить значения нормальных производных на ФГ в твердой фазе, нужно воспользоваться выражениями qsj, qnj, Т. из (5)-(7) и выражениями дqnj / дя, дТ. / дя, дЫ/ дя из (14).

Проанализируем полученные формулы. Из (13) ясно, что в звуковой точке (М2 = 1) возникает градиентная катастрофа теплового поля: М2 ^ 1, дТ/ дп ^ го. Другими словами, происходит разрушение теплового поля на линии роста кристалла. Этот математический признак служит моделью предвестника боковой ветви дендрита на ФГ кристаллизации [5].

Отметим еще, что при дТ. / дя = 0 формула (15) дает дqs / дп = 0. Для искривленной ФГ, когда К1 Ф 0, К Ф 0, т. е. дТ. / дя Ф 0, имеем сильную зависимость дqs /дп от времени релаксации у и от скорости перемещения вершины дендрита (- Ь1). В самом деле, при у ^ 0 будет дqs / дп ^ го . Значит, у > 0 является параметром регуляризации поведения касательной компоненты теплового потока на криволинейной ФГ. Если К (у) Ф 0, то дqs / дп ~ (-Ь^)-1, т. е. эта производная существенно зависит от скорости движения ФГ. Из формул (15) следует, что для дозвукового (М2 < 1) и сверхзвукового (М2 > 1) режимов движения ФГ такие важные факторы, как кривизна и осесимметричность проявляют себя по-разному и в количественном, и в качественном отношениях. Если во всех точках ФГ имеем N2 > м2 либо N2 < м2, то градиентная катастрофа не возникает; ее появление связано именно с существованием звуковой точки на ФГ.

Результаты расчетов: кристаллизация никеля

На рис. 2-5 приведены результаты расчетов тепловых свойств ФГ кристаллизации никеля; черным кружком отмечена звуковая точка. Были приняты следующие значения теплофизических параметров: Тс = 1728 °К, Т* = 1562 °К,

Ь = 2,14-109 Дж/м3, с = 5,62• 106 Дж/(м3 • К), и = 1,81Дж/м2, Х = 69Вт/(м• К), у = 1,38 •Ю-7 с, д = 9,53м/(с • К), изменяется от 5,3 м/с до 29,35 м/с. Числовое значение д выбрано на основе формул, полученных в [4]. Напомним, что здесь у -расстояние от оси дендрита до линии роста; вычисления выполнены для случаев плоской (V = 0) и осевой (V = 1) симметрий.

10'

5' 1

а) б)

Рис. 2. Корреляция «кривизна - квадрат теплового числа Маха»: а - зависимость этих величин от поперечной координаты; б - различия между плоской и осесимметричной ФГ

qnj • 10-10, Вт/м2

(дЫ / дs )10 -7, с-1

4"

2"

0 12 3

а)

0 12 3 К-10-6, м-1

б)

Рис. 3. Влияние кривизны и типа симметрии на свойства ФГ: а - нормальный к ФГ тепловой поток; б - производная от скорости роста по дуговой координате

(дqnj / д$)10-16, Вт/м'

-2-■

-4 -

-6 х

^ / дп )10 -14, Вт/м3

-1--

-2--

~3

Рис. 4. Влияние типа симметрии на двухмерную структуру теплового потока: а - касательная производная от q ; б - нормальная производная от qs

В данном классе решений [см. формулы (14), (15)] зависимость М 2(у) одна и та же для обеих симметрий. Для никеля в конечной окрестности вершины (рис. 2) существует звуковая точка М2 _ 1, в которой скорость роста равна скорости распространения тепловых возмущений. Согласно (13) и (15), это является предвестником боковой ветви дендрита. Из рис. 3 ясно, что qnj монотонно убывает по мере удаления от вершины. Касательная производная дЫ/ дs ведет себя немонотонно по отношению к координате у или, что то же самое, по отношению к кривизне К: в правой конечной окрестности у _ 0 эта зависимость имеет максимум. Градиентные свойства температуры и теплового потока показаны на рис. 4 и 5.

0

0

(Эдп / дп) -10-16, Вт/м

4"

2"

-2 --

-4

0,2 К -10-6 --1

м

(дТ / дп) -10°К/м

1 --

-0,5 --

-1-1-

К -10-6, м-1

а)

б)

(ддп / дп) -10-18, Вт/м

"0,5 -1

1,5 К -10-6 ---1

м

(дТ / сп) -10-10, °К/м

1

-1"

К -10-6, м-1

б)

г)

Рис. 5. Трансзвуковой переход на линии роста: разрыв нормальных производных для плоской (а, б) и осесимметричной (в, г) фазовых границ

На всех представленных здесь рисунках хорошо видны существенные количественные различия в тепловых свойствах плоской и осесимметричной ФГ. Главной причиной этих различий является большая кривизна вершины дендрита при V _ 1. Вместе с тем рис. 5 демонстрирует важное качественное различие между плоской и осевой симметриями: на периферии дендрита, т. е. в дозвуковой области, при малой кривизне К наблюдается инверсия знака производной дТ / дп при переходе от

V _ 0, дТ/ дп < 0 к V _ 1, дТ/ дп > 0 (рис. 5, б, г). В сверхзвуковой области имеем:

V _ 0, дТ/ дп < 0; V _ 1, дТ/ дп > 0. Для нормальной производной дqn / дп в окрестности звуковой точки тоже имеем инверсию знака при переходе от плоской к осевой симметрии (рис. 5, а, в).

Заключение

Для ФГ стационарной формы получены аналитические выражения, позволяющие определить производные от температуры и компонент вектора теплового потока в касательном и нормальном к ФГ направлениях. Установлено, что аналитическая структура формул для нормальных производных в твердой фазе существенным образом зависит от отношения скорости роста к скорости распространения тепловых возмущений. Математической моделью предвестника боковой ветви дендрита на ФГ служит появление звуковой точки: именно в этом состоянии начинается разрушение теплового поля. Показано, что время тепловой релаксации является параметром ре-

гуляризации поведения касательной компоненты теплового потока на криволинейной ФГ. Установлено, что при кристаллизации никеля из переохлажденного расплава на линии роста наблюдается переход через звуковую точку. Приведена подробная графическая информация о градиентных свойствах температуры и тепловых потоков на плоских и осесимметричных ФГ.

Во второй части данной работы будут представлены результаты расчетов кристаллизации меди и германия. В третьей части будут изучены эволюционные свойства ФГ кристаллизации, обусловленные отчетливо выраженной нестационарностью скорости и кривизны вершины дендрита.

Литература

1. Herlach, D. M. Metastable Solids from Undercooled Melts / D. M. Herlach, P. Galenko, D. Holland-Moritz. - Oxford : Pergamon, 2007. - 448 p.

2. Шабловский, О. Н. Релаксационный теплоперенос в нелинейных средах / О. Н. Шабловский. - Гомель : ГГТУ им. П. О. Сухого, 2003. - 382 с.

3. Шабловский, О. Н. Тепловые свойства фронта кристаллизации однокомпонентно-го чистого переохлажденного расплава / О. Н. Шабловский, Д. Г. Кроль // Расплавы. - 2005. - № 4. - C. 69-81.

4. Шабловский, О. Н. Расчет кинетических параметров фронта кристаллизации глубоко переохлажденного расплава / О. Н. Шабловский, Д. Г. Кроль // Материалы, технологии, инструменты. - 2007. - Т. 12, № 1. - С. 5-10.

5. Шабловский, О. Н. Тепловая градиентная катастрофа и рост двумерного свободного дендрита в переохлажденном расплаве / О. Н. Шабловский // Приклад. физика. - 2007. - № 3. - С. 29-37.

6. Жоу, Д. Расширенная необратимая термодинамика / Д. Жоу, Х. Касас-Баскес, Дж. Лебон. - Москва-Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. - 528 с.

7. Седов, Л. И. Механика сплошной среды / Л. И. Седов. - М. : Наука, 1973. - Т. 1. -536 с.

8. Emanuel, G. Shock wave derivatives / G. Emanuel, Min-Shan Lin // Phys. Fluids. -1998. - Vol. 31, № 12. - P. 3625-3633.

Получено 04.04.2017 г.