Тепловые колебания и волны в локально-неравновесной среде с нелинейным источником энергии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.2.01

ТЕПЛОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ЛОКАЛЬНО-НЕРАВНОВЕСНОЙ СРЕДЕ С НЕЛИНЕЙНЫМ ИСТОЧНИКОМ ЭНЕРГИИ

О. Н. ШАБЛОВСКИЙ

Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого»,

Республика Беларусь

М. Г. САЛЬНИКОВА

Южно-Российский государственный технический университет (НПИ), г. Новочеркасск, Российская Федерация

Введение

Математическая модель локально-неравновесного теплопереноса состоит из уравнения энергии и закона Максвелла, учитывающего релаксацию теплового потока:

c 1T + divq = q” ’ q + У°7 = -^§radr- (1)

ot ot

Здесь приняты обозначения: Т - температура; q(q1, q2) - вектор удельного теплового

потока; X - коэффициент теплопроводности; с - объемная теплоемкость; у - время

релаксации теплового потока; qu - мощность внутренних источников энергии;

t - время; х, у - прямоугольные декартовы координаты. Современные методы нелинейного анализа уравнений (1) и их разнообразные физические приложения изложены в [1].

Предлагаемая работа посвящена дальнейшему развитию аналитических подходов к решению двумерных уравнений локально-неравновесного теплопереноса в нелинейных средах. Наша цель состоит в следующем: 1) построить новое точное решение, которое характеризуется функциональной зависимостью между искомыми функциями (двойная волна); 2) показать возможность существования релаксирующих тепловых процессов, математическое описание которых аналогично квазичаплыгинским уравнениям идеального политропного газа, обладающего термодинамически аномальной сжимаемостью; 3) получить уравнения теплового маятника.

Двойная волна

Допустим, что теплофизические свойства среды описываются степенными функциями температуры:

X = X 0T\ с = c0T"2, у = const, qu = Q0T1+”2,

Xo,co,Qo - const.

Процесс происходит в плоской двумерной области (х, у). Температуру и тепловой поток представим в виде:

T = th 9(x, y, т), q1 = kxnr (x, y, t), q2 = kxnu(x, y, t), x = exp(-kt), m2U = c09m2, R = aJJp+1, P = (nl - n2)/m2,

ykn = 1, m2 = 1 + n2 >0, Q0 =-Hkc0, Hm2 +1 = n, Hm2P = 2,

a0 =-

лр

m.

an

V co J

a1 = -

P +1 ^0, m1 = 1 + n1.

y(P+1)*2

Тогда уравнения (1) можно записать в следующей форме:

dU = dr du dr = dR du = dR dx dx dy ’ dx dx ’ dx dy

Данные формулы показывают, что параметр нелинейности среды Р нужно брать по обе стороны значения Р = -1. Будем применять обозначения:

x = x a2

a2 =

V± a1 J

p+1

(+1) (p+1)

1/2

+ u = u1a2, + r = r'a2, + R ^R, U =

V + a1 j

Здесь берем знак «+» при Р +1 > 0, знак «-» при Р +1 < 0. В обоих случаях система уравнений (2) преобразуется в уравнения

R

дя =dr1 du! dri=dR duL=dR

dx1 dx dy’ dx1 dx ’ dx1 dy

(3)

которые содержат неизвестные функции ги1, R аргументов х, у, т1. Построим точное решение уравнений (3), взяв за основу алгоритм [2], который применялся в теории

околозвуковых течений идеального газа. В классе двойных волн переменные г1, и1

являются независимыми на некоторой поверхности Е: R = R(г1,и1). Уравнения для компонент вектора теплового потока становятся такими:

дг1 = дR ди1 дR дг1 ди1 = дR ди1 дR дг1

5т1 ди1 дх дг1 дх ’ дт1 ди1 ду дг1 ду

Применяем эти формулы и дифференциальное следствие ди1 /дх = дг1 /ду.

Уравнение энергии записываем в виде:

RP1 {Щ Г-1І dr1 0 пв dR dR du1 + 2RP1—-—: + RP1 '5R' Ї- 1І du1=о

_ Vdr J dx dr du dx .du1. J _ dy

Здесь P1 =-р/(Р +1). Выполняем преобразование годографа (х,у) о (г1,и1), учитывая,

что каждая плоскость т1 = const физического пространства отображается

в пространстве годографа на одну и ту же поверхность Z. Следовательно,

дг1 = 1 ду дг1 = 1 дх ди1 = 1 ду ди1 = 1 дх

дх J ди1, дУ J ди1, дх J дг1 ’ дУ J дг1 ’

J =

dx dy dx dy 1 _ dr1 du1 dr1 du1

dr du du dr J dx dy dy dx

1 R то .1° )2—'! dx - 2RPl dR dR dy + RPl 'dR )2—.I dy1 = 0

^du1 ) dr1 du1 dr1 dr vdr‘. du

На основе второго и третьего уравнений в (3) построим скалярный потенциал ф = ф( х, у, т1):

= rldx + u'dy + Rdх1,

Эф _ Эф . Эф

—V = R, — = r , —1- = і

Эх dx ду

Теперь введем в алгоритм функцию х = Ях + и У + г х-ф. После простых вычислений находим:

л Г іш Ъ і Г іш

Мх = I х + X ---т Мг +1 У + х —г \Ми ,

V дг1 ) V ди1)

дх +і дЯ дх , _г дЯ

. = Х + х—г, —г = у + х—г.

dr dr du du

(4)

Если эти формулы продифференцировать при х1 = const, то получим:

дх = д 2х 1 д 2R ду = 5 2х 1 д 2R

--х

-х

dr1 d(r')2 d(r')2’ dr1 du'dr1 du'dr1 ’

dy d x і d R

_ - — х

1 \2 •

ди1 0(^)2 д(^)

Итогом преобразований является запись уравнения энергии в плоскости годографа:

1) уравнение для функции R(r1, и1) получается после группировки членов,

і.

содержащих х :

1 R TO R -1 d2 R 2RPl dR dR d2 R . . + RPl 1 1

vdu ) d(r‘)2 du dr1 du dr vdr )

d2 R

d(u')2

= 0;

(5)

2) уравнение для функции х(г , и) получается после группировки членов,

содержащих х в нулевой степени:

1 R TO R -1 d 2X 2RPl dR dR d2X ! RPl ^ Ї—'1

^du1) d(r‘)2 du dr1 du'dr1 .dr1) J

d 2Х

= 0.

д(и Г

После решения этих уравнений переход к физической плоскости выполняется по формулам (4). Если процесс автомодельный, то х = 0, х/т1 = -ЙЯ/дт1, у/т1 = -ЙЯ/ди1.

Укажем несколько важных примеров, когда уравнение двойной волны удается преобразовать к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Уравнение (5) имеет частное решение:

£ = г1/и1, R = (иуда А = 2(Р + 1)/(р + 2).

Задача сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению:

-Pf

У

-1

d 2f

-Pf

dt2

- 2fP+1 Af-t4-

df 1 df d

dt)dt dt

Af-td-dt

+

+

f

-1

/л nL/ edf'1 t d f tdf 1 (A-1) Af-t^T -e— Af-t-^

V dt ) dt V dt

)

= 0.

Другая форма записи выглядит так:

d 2f

dt2

A2 f 2+pi + 2t2 fPl

-t2-1

+

+

A(1 - A) f + 2( A - 1)tf

dt

f \ [A(1 - A) f -Л]

= 0.

+

Допустим, что

R = R(q), ш = [(и1)2 + (г1)2 ]1/2.

Тогда из уравнения (5) выводим:

о Щ — & f dRY + dR=0.

da v do) do Применяя логарифмический аргумент z = lnо, получаем:

R = oaB(z), a = 2(P + 1)/(P + 2),

f „ dB^ d f „ dBЛ nP f n dB Y Л

al aB +----1+----1 aB +---I — B 11 aB +---I = 0.

V dz) dz V dz) V dz)

Это уравнение имеет простое частное решение B = B0 = const: B0 = a Понизив на единицу порядок уравнения, находим:

dB d2 B dD p

— = d(b) —у = D—; a*0, p+1*0;

dz dz dB

-a/2

.dD

(6)

D— = BP1 (aB + D)3 — a2 B — 2aD. dB ’

Если пользоваться вместо R = R(o) обратной функцией o=o(R), то (6) принимает

вид:

dR

1

CO

do do/dR cC do dRV CO )cC cC

oo = o2 — R p+1.

Применяя здесь логарифмический аргумент у = lnR, получаем: о = R”B1( у), n = 1/a = (p + 2)/[2(P +1)],

p

B

í

dB,

Л

(n -1) nBi + —— + -^ dy J dy

d

f

dB1

nB1 + - 1

V

dy

+1 =

nB1 +

dB1

dy

Данные примеры позволяют рассматривать существенно двумерные тепловые конфигурации для частных значений параметра нелинейности среды р.

Теперь возвратимся к уравнению (5). Для него дифференциальное уравнение характеристик такое:

'8R

dr1

-1

(dr1)2 + 2 RP1 -d^ Щт duldrl +

du1 dr1

Rp

dR

dU1

-1

(du1)2 = 0.

Вдоль поверхности Z имеем

дЯ 1 дЯ 1

= —- dr н---- du ,

дГ ди1

поэтому характеристические кривые на поверхности Е определяются уравнением

ЯР'^Я)2 = ^г1)2 + (du1)2.

Решение этого уравнения получаем в параметрической форме:

± R =

r =

J sin f (h)dh + const, u1 = J cos f (h)dh + const, a = 2(P + 1)/(P + 2),

где h > 0 - параметр; f (И) - произвольная функция. На плоскости (х,у) основная формула решения имеет вид:

xsin f (h) + y cos f (h) + (hi la I )a 1 x1 + F (h) = 0,

(7)

где F(h) - произвольная функция. Вычисление частных производных выполняется с помощью соотношений:

f Л“-1

dh _ sin f dh _ cos f dh _ 1 h

dx

S

dy

S

dx1

S IHj

S = F (h) + xf (h)cos f - yf (h)sin f +

/ \ a-2

(a - 1)x1 i h

dr1 = dr Y dh dR = dR/ dh

dx1 dx1/ dh dx dx/ dh

a

и т. п.

vFu

Здесь а>0 при Р + 1 >0 либо при Р + 2<0. Если Ре(-2, -1), то а<0. При работе с аргументом т = ехр(-^) нужно учитывать, что yk = Р/(Р + 2), поэтому:

1) при Р> 0 либо Р + 2 < 0 будет k > 0, т. е. те (0,1],

2) при Ре(-2,0) будет k <0, т. е. те[1,го).

Вместе с тем верна формула

k = — +

1 , Qom2

2

2

2

поэтому вариант к < 0 получается для стока энергии ^0 < 0) достаточно большой интенсивности; вариант к > 0 - для источника энергии ^0 > 0) либо для стока энергии с не слишком большим |Q0|.

Температура и компоненты вектора теплового потока определяются формулами:

m

Tm2 — 2

1

Vp+1 f h Vp+2

VI an J

viau

.2/ P.

(8)

q1 — kxn ± a2 J sin f (h)dh + r0 , q2 — kxn ± a2Jcos f (h)dh + u

(9)

Это решение содержит, учитывая (7), две произвольные функции f (h), F(h) и две произвольные постоянные r0, и0. Каждой изотерме T = const, h = h(T,т) соответствует пара прямых линий (7), расположенных симметрично относительно оси OY. Значит, можно рассматривать симметричное тепловое поле в двух областях: x < 0 и x > 0.

На оси симметрии x = 0 тепловое поле непрерывно.

Точное решение (7)-(9) дает возможность изучать некоторые нестационарные краевые задачи в плоской двумерной области клиновидной формы.

Квазичаплыгинская среда

Работаем с уравнениями (3). Возьмем для определенности Р е (-2,0), т. е. считаем, что в среде присутствует сток энергии достаточно большой интенсивности: Q0 < 0, к < 0, т е [1,ю), Р ф -1. Запишем уравнение энергии в виде нелинейного волнового уравнения:

А

Эх1

f dU V

Эх1

_dfdRl _dfdRV

Эх f Эх J Эу V Эу

U /(р +1) — R

- рр+1

Допустим, что функция R зависит только от двух аргументов у, где ^ — х - Ьх1, b = const - автомодельная переменная. Тогда имеем

Э Э 2 ~ —(b2U - R) — э f dR '1

Э^ _дС _ Эу Vdy J

Строим скалярный потенциал V(^, у):

dV

dV dV

dV — — d^ + — dy;

Э^ Эу

dR dV dP(R) г,ґт>\ n 72t~ ^

—,------------1-----— 0, P(R) — R - b U + const > 0.

Эу Эу ЭЕ,

(10)

Система квазилинейных уравнений (10) содержит две искомые функции R(^, у), V(^,у) и является математическим аналогом уравнений одномерной газодинамики, записанных в лагранжевых координатах. В терминах газодинамики получаем: у - время; Е, - лагранжева координата; R - удельный объем; Р - давление; V - скорость. Аналогом эйлеровых координат служат переменные у,^, где dц = Vdy + Rd^. Зависимость Р = Р^) - политропная функция состояния изучаемой системы «среда - сток энергии». «Сжимаемость» определяется производной

2

с

0

0

dP U2 dU л N2 ..2

— — 1 - b ---— 1----- — 1 - M

dR dR w

2

где N = dx / dt - скорость распространения £ - линии; = (X / су)12 - скорость

распространения тепловых возмущений; М - тепловое число Маха. Если ёР /dR < 0, то тепловой процесс соответствует движению классического газа, для которого увеличение давления приводит к уменьшению объема. В этом случае тепловой процесс «сверхзвуковой», М2 > 1; система (10) имеет гиперболический тип. Если ёР/dR > 0, то имеем квазичаплыгинскую среду, обладающую аномальной сжимаемостью; тепловой процесс - «дозвуковой», М2 < 1; система (10) имеет эллиптический тип. Такие среды являются неустойчивыми, им присущи стоячие нарастающие во времени возмущения. Математические вопросы описания квазичаплыгинских сред даны в [3].

Тепловой маятник

Систему (1) нетрудно преобразовать к одному нелинейному уравнению для температуры:

(дТ д 2Т ^=д(, дТ ^ д(.дТ ^ дq,

— —I X—| + —

Эх V Эх J Эу V Эу

X—

+у^т+qu. (11)

dt

Здесь с,у-const. Далее считаем, что qv — qD + kuT; qD, kv-const. Для коэффициента теплопроводности рассмотрим монотонный и немонотонный варианты зависимости X(T).

Монотонный вариант: X — X0 + XT; X0, X1 - const. Нетрудно видеть, что существует точное локальное по координатам полиномиальное решение:

T (х, y,t) — T0(t) + xaJ (t) + х2 a2 (t) + yb1 (t) + у 2b2 (t).

Система определяющих уравнений для коэффициентов a2(t), b2(t) имеет вид:

с(а2 +yaf2) — 6X1a2 + 2X1a2b2 + kv (a2 +уа2), c(b2 +yb2) — 6X1b22 + 2X1a2b2 + kD (b2 +У^^2).

Точка над символом функции означает обыкновенное дифференцирование. Эта динамическая система описывает колебание теплового маятника с двумя степенями свободы.

Немонотонный вариант: X —X0 +X1T + X 2T2, X0, X1,X 2 - const. Уравнению (11)

удовлетворяет локальное по координатам точное решение:

T (х, у, t) — T (t) + xal (t) + yb (t).

Уравнения теплового маятника имеют вид:

c(a1 +yaf1) — 2X 2 af + 2X 2 a1b12 + kv (a1 +ya1), c(b1 +yb1) — 2X 2 a12b1 + 2X 2b13 + kv (b1 +yb1).

Автономные динамические системы (12) и (13) дают возможность изучать двумерные колебательно-релаксационные процессы в нелинейных средах. Вывод уравнений трехмерного теплового маятника затруднений не представляет.

Изложенный подход естественным образом распространяется на двухфазную систему, поведение которой определяется двумя уравнениями вида (11) для неизвестных

(13)

(12)

температур Т1,Т2. Источники энергии для первой и второй фаз, соответственно, равны

4!’ = q™+^'Т + %%; < = 1,2.

Заключение

В классе двойных волн получено новое точное решение, содержащее две произвольные функции одного аргумента. Установлено, что в локально-неравновесной системе «среда - сток энергии» могут возникать неустойчивые процессы, имеющие своим математическим аналогом квазичаплыгинские уравнения газодинамики для среды с аномальной сжимаемостью. Дан вывод уравнений теплового маятника с двумя и тремя степенями свободы.

Литература

1. Шабловский, О. Н. Релаксационный теплоперенос в нелинейных средах / О. Н. Шабловский. - Гомель : ГГТУ им. П. О. Сухого, 2003. - 382 с.

2. Рыжов, О. С. Некоторые вырожденные околозвуковые течения / О. С. Рыжов // Приклад. математика и механика. - 1958. - Т. 22, вып. 2. - С. 260-264.

3. Жданов, С. К. Квазигазовые неустойчивые среды / С. К. Жданов, Б. А. Трубников. - М. : Наука, 1991.- 176 с.

- Получено 06.10.2010 г.