Научная статья на тему 'Конкуренция источника и стока импульса в потоке вязкой несжимаемой жидкости'

Конкуренция источника и стока импульса в потоке вязкой несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
77
11
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
СИЛА ТРЕНИЯ РЕЛЕЯ / ЗАВИХРЕННОСТЬ / НЕЛИНЕЙНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ СОПРОТИВЛЕНИЯ / ИСТОЧНИК ИМПУЛЬСА / СТОК ИМПУЛЬСА / ОБЪЕМНЫЙ ИСТОЧНИК ЭНЕРГИИ

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Шабловский О. Н., Кроль Д. Г., Концевой И. А., Хорт А. А.

Изучен класс неизотермических плоских течений вязкой несжимаемой жидкости при конкурентном взаимодействии двух массовых сил. Внешняя сила трения (сток импульса) и источник импульса, нелинейно зависящий от температуры, генерирует пространственно-периодическое движение. Рассмотрены две реологические модели жидкости: вязкая ньютоновская и вязкоупругая жидкость Максвелла. Обнаружены нетривиальные свойства этого течения, проявляющиеся на линиях неподвижности и линиях нулевой завихренности. Представлены результаты численных расчетов, позволившие выполнить сравнение свойств вязкоупругого и ньютоновского течений. Изучены качественные и количественные свойства скорости, температуры, давления, вязких напряжений, вихря скорости и производства энтропии. Определена роль релаксации вязких напряжений в формировании поля давления

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Шабловский О. Н., Кроль Д. Г., Концевой И. А., Хорт А. А.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Конкуренция источника и стока импульса в потоке вязкой несжимаемой жидкости»

УДК 532.516

КОНКУРЕНЦИЯ ИСТОЧНИКА И СТОКА ИМПУЛЬСА В ПОТОКЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

О. Н. ШАБЛОВСКИЙ, Д. Г. КРОЛЬ, И. А. КОНЦЕВОЙ, А. А. ХОРТ

Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого», Республика Беларусь

Ключевые слова: сила трения Релея, завихренность, нелинейный коэффициент сопротивления, источник импульса, сток импульса, объемный источник энергии.

Введение

Изучение воздействия массовых сил на течение несжимаемой жидкости - актуальная задача гидродинамики. Прикладные аспекты этой проблемы связаны с природными и технологическими процессами, в которых пространственно-периодическая неоднородность гидродинамических и тепловых полей приводит к интенсификации переноса импульса и энергии. Весьма распространенный является ситуация, когда в потоке жидкости наблюдается взаимодействие двух конкурирующих друг с другом массовых сил, а результатом конкуренции является формирование периодических структур. В данной работе мы рассматриваем эту задачу с учетом следующих физических явлений: нелинейные свойства силы сопротивления, неизотермичность течения, вязкоупругость жидкости. Плоское двумерное стационарное течение несжимаемой сплошной среды определяется уравнениями [1]:

du. dp drik „ puk —L = —— + —k + pFt,

dx,k

dx, dx,

_du

dx,,

= 0;

(1)

Pcp uk

dT dq, , л dT

— = —— + ф + qu, q< = -A—;

dx, dx, dx,

(2)

Ф = тп

du1 dx.

• + x2

du2 dx2

'du2 du, ^

dx1 dx

2 J

v = д / p, i, к = 1, 2; p, cp, A, д - const.

Реологическое уравнение состояния вязкоупругой жидкости Максвелла [2] возьмем в следующей форме записи:

1, +г

uk

dx,

■ + m(4 © к« ©,k 4)

= 2Де,,;

(3)

2e.,. =

du. du,

2©« =

du,. du,

u dx,. dx ' u dx,. dx,

J . J .

где x1 = x, x2 = y - декартовы прямоугольные координаты; и(ц,и2)- вектор скорости; р - плотность; p - давление; F(F1,F2) - вектор массовой силы; T - температура; q(q1, q2) - вектор удельного теплового потока; cp - удельная теплоемкость; X -коэффициент теплопроводности; qu - объемная мощность внутренних источников энергии; х1}- - компоненты девиатора тензора напряжений; etj - компоненты тензора скоростей деформации; д - коэффициент динамической вязкости; у - время релаксации вязких напряжений; Ф - диссипативная функция. Дважды повторяющийся индекс к означает суммирование. Дифференциальный оператор в (3) при m = 1 есть конвективная производная Яуманна, при m = 0 - обычная субстанциональная производная. При у = 0 формула (3) описывает свойства вязкой ньютоновской жидкости.

Производство энтропии подсчитываем по формулам [1], [3]:

0 = 0e + 01, 0e = qu / T, о = q7(XT2)

где о e - производство энтропии за счет энергообмена с внешней средой; о 1 - производство энтропии за счет внутренних необратимых процессов.

Объемный источник энергии qv(и2, T) моделирует воздействие внутренних источников тепла и теплообмен жидкости с внешней средой. Для представленной здесь задачи вид функции источника детерминирован структурой применяемого аналитического решения. Для диссипативной функции Ф принимаем оценку Ф << |qu|, т. е. рассматриваем процессы, для которых можно пренебречь выделением тепла за счет вязкой диссипации энергии.

Сила трения Рэлея F = FR = -Си дает возможность моделировать широкий круг термогидродинамических явлений, представляющих практический интерес: периодические течения в тонких слоях жидкости [4], вихревые структуры в задачах промышленной экологии и прикладной геофизики [5]. Кроме того, такой подход позволяет учитывать наличие кластерных образований в полупроводниковых расплавах [6]. В работах [5], [6] применялся линейный вариант силы трения: С = const. В рамках

приближения С ~ U в [4] построены гидродинамические системы, описывающие

каскадный процесс преобразования энергии в турбулентном потоке.

Далее полагаем, что коэффициент сопротивления зависит от температуры T ,

монотонно растет при увеличении |и| и является четной функцией скорости:

С = С(и2, t), ас/а(и2) > о.

Здесь мы рассматриваем случай, когда в потоке жидкости присутствует источник импульса, конкурирующий с внешней силой трения Рэлея. Данная работа продолжает исследования [7]-[10] и имеет следующие цели: 1) проанализировать закономерности формирования периодических полей скорости и температуры в условиях конкурентного взаимодействия источника и стока импульса; 2) сравнить друг с другом свойства течений вязкоупругой и ньютоновской жидкостей.

Периодическое течение. Будем изучать течение вида

ц = и = u(yX U2 = a p = p(y\ T = T(y). (4)

Вихрь скорости w = (1/2) rot и имеет одну нетривиальную составляющую юг -ю = (-1/2)(du/dy), направленную перпендикулярно плоскости (x,y). Обозначим т = (c1 / u1 )(T - T0), T0 - const, где T0 - отсчетное значение температуры; c1 -произвольная положительная постоянная, имеющая размерность удельной теплоемкости, Дж/(кг • град); y1, u1- положительные константы, имеющие размерности длины и скорости, соответственно; линейный масштаб релаксации равен L1 = yu1. Безразмерные величины будем отмечать чертой сверху. Для коэффициента сопротивления и для объемного источника энергии возьмем следующие физически содержательные зависимости:

С - Су 2 / v = DD; (5)

D1 = (1 - 4Г) /(1 + 4Г)2, Г = (утю )2; (6)

D2 = 2(1 - 3Т2 + u2); (7)

qu - q^Ayf /(Xu?) = 2т(т2 - 3u2 -1); (8)

у = yu1 / y1, Ю = ray1 / u1, du / dy = -2Ю.

Функция Г(y) характеризует неравновесные свойства вихревого поля. В классе движений (4)-(8) уравнения (1)-(3) имеют, согласно [8], точное решение:

u -u/u1 = 2s[sin(2y)]/5, т-т/u1 = (1 -s2)/5; (9)

5 = 1 + s2 + 2s cos(2y), y = y /y1, y1 > 0, u1 > 0.

du /dy = -2Ю = 2т(т1 - т), v = v /(u1 y1);

p = -ут12du / dy, т12 = v(du / ^)[1 + (ydu / dy)2 ; qD = 4т(-3т1т + 2т2 +1), т1 = (1 + s 2)/(1 -s2);

°e = qu / T , О =(u11q / T)2, °=°e .

Тепловой поток подсчитывается по формуле

q = -XdT/dy, q - qc1 y1 /(Xu2) = -2ux .

Температурное поле характеризуется следующими индикаторными функциями:

_dx ^ y dT Ф1 = y—, Ф2 —. dy т dy

Ясно, что 5 > 0 при s2 -ф-1; s - параметр решения. Если s2 < 1, то т> 0, течение происходит в горячей области, T > T0. Если s2 > 1, то т< 0, имеем холодную область, 0 < T < T0.

Решение (9) определяет течение вязкоупругой жидкости с объемным источником энергии (8) и с двумя конкурирующими источниками импульса:

F11 = -U Сг, сr = 2 А(1 + u2), F12 = 6Д т 2U, (10)

где Cr - коэффициент сопротивления; Fn- внешняя сила трения (сток импульса); F12 - источник импульса, конкурирующий с силой сопротивления. Оба эти источника мультипликативным образом зависят от D1 = D,(r), (см. (6)), результирующая массовая сила F1 = F11 + F12 действует в продольном (вдоль оси OX) направлении. Условие Сr - 0 выполнено при Г(y) < 1/4, а это приводит к неравенству у2m2 ©L < 1/4, которое справедливо при подходящем выборе у. В случае (10) наблюдается периодическое течение при y е (-да, да), 82 * 1.

Результаты расчетов. На рис. 1 представлены зависимости физических параметров течения от безразмерной координаты y / л. На каждом периоде колебаний наблюдается перемена знака скорости и теплового потока. Немонотонное поведение завихренности © соответствует немонотонному поведению коэффициента сопротивления Сr. Например, при y/ле (0, 1) минимальное значение |©| . достигается

при (С r )min . Графики зависимостей индикаторных функций Ф1 и Ф2 демонстрируют отличие температурного профиля от степенного ( Ф1 = const) и логарифмического (Ф2 = const) вариантов. Результирующая массовая сила F11 + F12 является знакопеременной и немонотонной: на каждом периоде колебаний эта сила имеет один максимум и один минимум. Вместе с тем источник энергии qu при y/ле (0, 1) имеет

два минимума и один максимум. Сравнение свойств вязкоупругого и ньютоновского течений дано на рис. 2 (горячая область) и рис. 3 (холодная область). Видим, что различия между горячей и холодной областями при у - 0 имеют количественный характер, а в качественном отношении эти процессы одинаковые. В каждый из температурных областей качественные различия между течениями (у > 0) и (у = 0) обусловлены, прежде всего, релаксацией вязких напряжений в жидкости Максвелла: на рис. 2 и 3 зависимость т12 от т обладает отчетливо выраженной немонотонностью, и при этом наблюдаются два экстремума: максимум и минимум.

Это обстоятельство оказывает значительное влияние на поведение источника импульса F12 как функции температуры т . Отметим еще, что в данном случае течение ньютоновской жидкости - изобарическое. Влияние конечного времени релаксации у > 0 на поведение давления и производства энтропии показано на рис. 4. Здесь

следует отметить, что модуль |ое| (воздействие энергообмена с внешней средой) в количественном отношении значительно превосходит о, (влияние внутренних необратимых процессов).

Вихрь скорости © = т(т - т1) нелинейно зависит от температуры жидкости и существенно влияет на сток и источник импульса посредством Dx: Сr = 2D1(2t1 т-т2) , D1 > 0, dD1 /dr< 0, Г = у2m2(т1 т-т2)2.

и

-1 -2

С,

4 2 у

У / л

6 "

2 ■

-2-1 0 1 2 у / л

ю 2

-2

У / л

4

-2

-5 -10

1

2 у / л

^11 + ^12 20

1

пег

-40-1-

2 У / Л

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

| 40-20- •

-ГТ1

-20-1-

Шпл

2 у / Л

Ф

-2 \-1

1

20"

-20-1-

1

Ц 2 у / л

Ф

2 у / л

-10

Рис. 7. Конкуренция источника и стока импульса. Зависимость безразмерных параметров течения от безразмерной координаты. Горячая область. Входные параметры: е = -0,5; у = 0,12; т = 1; V = 1; и11 = 0,5; у е [-2л; 2л]

5

Рис. 2. Функциональные связи между безразмерными параметрами течения. Левый столбец - вязкоупругая жидкость, у = 0,12. Правый столбец - ньютоновская

жидкость, у = 0. Горячая область. Входные параметры: е = -0,5; m = 1; V = 1; u11 = 0,5;

у е [-2л; 2л]

Рис. 3. Функциональные связи между безразмерными параметрами течения. Левый столбец - вязкоупругая жидкость, у = 0,12. Правый столбец - ньютоновская жидкость, у = 0. Холодная область. Входные параметры: е = -1,7; m = 1; V = 1;

= 0,5; у е [-2л; 2л]

20"

10- ■

лтшпл

-10

У / л

2 У / л

Рис. 4. Давление, завихренность и производство энтропии в неизотермическом потоке вязкоупругой жидкости. Горячая область. Входные параметры:

е = -0,5; у = 0,12; m = 1; V = 1; u11 = 0,5; у е [-2л; 2л]

Обсудим вихревые и энтропийные свойства линий неподвижности течения й = 0, 2у/у1 = лп0, где п0 = 0, ± 1, ± 2, ..., любое целое число. Параметр е > 0 характеризует |Ш| на линиях неподвижности: Ш = -2е < 0 при четном п0 (далее для

краткости - линия ш- ), Ш = 2е > 0 при нечетном п0 (далее - линия ш+ ). На этих линиях йш / йу = 0, поэтому знакопеременная функция Ш(у) имеет точку перегиба (й2 Ш / йу2 = 0), расположенную между двумя соседними линиями неподвижности. Точки перегиба профиля температуры т(у) также находятся между теплоизолированными (^ = 0) линиями й = 0. Точка экстремума йш / йх = 0) существует при х = х* = х1 / 2 . Следовательно, максимум (Ш2)тах достигается на той изотерме х = х*, на которой уравновешиваются сток и источник импульса, + ¥12 = 0. Линия равновесия импульсов существует в холодной области при 2 < е < 3, в горячей области при 0,3 < е < 0,6. Линиям неподвижности ш- и ш+ соответствуют температуры

е

То = (1 -б)/(1 + в) и Тд = (1 + в)/(1 -в), которые будем рассматривать как аргументы производства энтропии а = ае, а = 0.

Холодная область: на линиях ш- происходит сток энергии < 0, и отсутствует экстремум функции а(т0). На линиях ш+ имеем > 0, и существует ат1п при 1 < в < (2 + л/3); справа от порогового значения в = 2 + >/3 существует атах при (2 + л/3) < в < (5 + 2>/б) ; дальнейший рост в = Ш/2 приводит к исчезновению экстремума функции а(Тд).

Горячая область: на линиях ш+ происходит сток энергии, < 0, и существует ат1п при (5 - 276) < в < (2 - л/3); справа от порогового значения в = 2 - у[3 существует атах при (2 - >/3) < в < 1. На линиях ш- при всех в е (0, 1) имеем ат1п и > 0 . Значит, в горячей области при (5 - 2л/6) < в < (2 - -\/3) на всех линиях неподвижности имеем ат1п; по мере роста в получаем для (2 — л/3) < в < 1 перемежаемость типов экстремума ат1п и атах на линиях неподвижности с разными знаками Ш. В холодной области нет перемежаемости типов экстремума. Общее свойство для холодной и горячей областей: на линиях ш+ в соответствующих интервалах в при возрастании в происходит смена типа экстремума ат1п на атах.

Теперь рассмотрим линии нулевой завихренности ш = 0:

2у/у = 2лп0 ±агссов[-2в/(1 + в2)], т = т1, (й2)тах = 4в2/(1 -в2)2.

Ясно, что г /= 0, /$Т= 0 именно на линиях ш = 0. Следовательно, знак производной г / меняется при переходе через линию ш = 0.

Заключение

В результате приведенных исследований изучен класс неизотермических плоских течений вязкой несжимаемой жидкости при конкурентном взаимодействии двух массовых сил. Внешняя сила трения (сток импульса) и источник импульса, нелинейно зависящий от температуры, генерируют пространственно-периодическое движение. Подробно рассмотрены две реологические модели жидкости: вязкая ньютоновская и вязкоупругая жидкость Максвелла. Обнаружены нетривиальные свойства этого течения, проявляющиеся на линиях неподвижности и линиях нулевой завихренности, а также представлены результаты численных расчетов, позволившие выполнить сравнение свойств вязкоупругого и ньютоновского течений. Изучены качественные и количественные свойства скорости, температуры, давления, вязких напряжений, вихря скорости и производства энтропии, определена роль релаксации вязких напряжений в формировании поля давления.

Литература

1. Седов, Л. И. Механика сплошной среды / Л. И. Седов. - М. : Наука, 1973. - Т. 1. -536 с.

2. Астарита, Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей / Дж. Астарита, Дж. Марруччи. - М. : Мир, 1978. - 309 с.

3. Жоу, Д. Расширенная необратимая термодинамика / Д. Жоу, Х. Касас-Баскес, Дж. Лебон. - М. - Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2006. - 528 с.

4. Гледзер, Е. Б. Системы гидродинамического типа и их применение / Е. Б. Гледзер, Ф. В. Должанский, А. М. Обухов. - М. : Наука, 1981. - 368 с.

5. Должанский, Ф. В. О механических прообразах фундаментальных гидродинамических инвариантов и медленных многообразий / Ф. В. Должанский // Успехи физ. наук. - 2005. - Т. 175, № 12. - С. 1257-1288.

6. Кластерная модель структуры расплавов в погранслое и ее гидродинамическое описание при моделировании процессов кристаллизации полупроводников в космосе / А. В. Картавых [и др.] // Поверхность. Рентген., синхротрон. и нейтрон. ис-след. - 2004. - № 6. - С. 91-98.

7. Шабловский, О. Н. Тригонометрический профиль скорости сдвигового течения вязкой жидкости / О. Н. Шабловский // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Серия «Математика. Механика. Физика». - 2011. - Вып. 5, № 32 (249). - С. 77-82.

8. Шабловский, О. Н. Вихрь скорости и производство энтропии в релаксирующем потоке вязкой жидкости с внутренними источниками / О. Н. Шабловский // Энергетика. Изв. высш. учеб. заведений и энергет. об-ний СНГ. - 2011. - № 5. -С. 55-65.

9. Шабловский, О. Н. Инвариантная завихренность и тепловое состояние ползущего течения жидкости сквозь проницаемую мембрану / О. Н. Шабловский // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Серия «Математика. Механика. Физика». - 2014. - Т. 6, № 1. - С. 59-66.

10. Шабловский, О. Н. Гидродинамические и тепловые аспекты кластерной модели структуры расплава. Часть 2. Два типа температурной зависимости силы сопротивления кластерных образований / О. Н. Шабловский, Д. Г. Кроль, И. А. Концевой // Вестн. Гомел. гос. техн. ун-та им. П. О. Сухого. - 2016. - № 2. - С. 65-73.

Получено 28.05.2019 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.