Знакопеременный источник энергии и генерация пространственно-временных колебаний температуры в материале с «Тепловой памятью» Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.2.01

ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЙ источник энергии И ГЕНЕРАЦИЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ТЕМПЕРАТУРЫ В МАТЕРИАЛЕ С «ТЕПЛОВОЙ ПАМЯТЬЮ»

О. Н. ШАБЛОВСКИЙ, Д. Г. КРОЛЬ

Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого»,

Республика Беларусь

Введение

Теплофизическая модель «среда - объемный источник энергии» имеет широкое распространение в теории горения, в газовой динамике, в физике твердого тела и др. В данной работе рассматривается воздействие объемного источника энергии на неподвижную сплошную среду, обладающую «тепловой памятью». Прикладные аспекты проведенного исследования связаны с проблемой возникновения нелинейных колебаний и периодических структур при взрывной кристаллизации аморфных пленок, напыленных на подложку [1]-[3].

Локально-неравновесная модель переноса тепла состоит из уравнения для теплового потока [4] и уравнения баланса энергии:

дq х дT дT дq

q + у^- = -Х^~, с— + ^- = qv, (1)

д1 дx дt дх

где Т - температура; q - удельный тепловой поток; с - объемная теплоемкость; X -коэффициент теплопроводности; у - время релаксации теплового потока; t - время, х -декартова координата, qv (Г, I) - мощность внутренних источников энергии. Явная зависимость функции источника от времени характерна для реономных

(параметрических) теплофизических систем. Современное состояние теории локально-

неравновесного теплопереноса в нелинейных средах и подробная библиография этой проблемы даны в [5].

Волновое уравнение теплопереноса с объемным источником энергии хорошо известно в математической физике. Оно описывает процессы, в которых волновой механизм переноса тепла преобладает над диффузионным (уд)д1 >> 1):

д2Г д Г

д1 да

= kv (Г, t), а = х / w, w =Х /(су) = сом^ kv = qv /(су), (2)

где w - скорость распространения тепловых возмущений. Среди уравнений вида (2) важное место занимает уравнение синус-Г ордона с постоянными коэффициентами, которое детально изучено в теории нелинейных эволюционных уравнений. Здесь мы рассматриваем уравнение синус-Гордона в условиях воздействия на систему внешнего нестационарного периодического во времени источника энергии. Все расчеты выполнены в безразмерных переменных. При обезразмеривании применяем масштабы величин, для которых размерные и безразмерные уравнения имеют одинаковую форму записи.

Цель работы: 1) изучить генерацию периодических локально-неравновесных тепловых полей объемным источником энергии; 2) выяснить характер воздействия возбуждающих колебаний внешнего источника на систему, поведение которой описывается реономным уравнением синус-Гордона.

Бегущие тепловые волны и динамический гистерезис на плоскости (T, qv)

Рассмотрим эволюционные процессы в классе решений «бегущая волна», когда T = T(z), q = q(z), z = x + bt, b = const. На основе системы уравнений (1) решаем обратную задачу, а именно: постулируем физически содержательную зависимость T(z) либо q(z) и вычисляем qv(z). Это дает возможность определить температурную зависимость источника энергии qv (T) и замкнуть задачу. Параметры среды: X, с, у - const. Характерные масштабы теплофизических параметров взяты такими, что в безразмерных переменных имеем Х= 1, с = 1, у = 1. Тогда w2 =X /(су) = 1. Параметр b представляет скорость бегущей волны, распространяющейся влево (b > 0) либо вправо (b < 0). Таким образом, имеем «дозвуковой» процесс, если |b| < 1; процесс «сверхзвуковой», если bl > 1. Функция qv (T) строится на основе ее параметрического представления T(z), qv (z) . В тех случаях, когда расчеты дают неоднозначную функцию qv (T), т. е. каждой температуре T соответствует не менее двух значений qv, применяется термин «динамический гистерезис».

Пример 1. T = T0 + A1 sin(ajz + Pj) + A2 sin(a2z + P2), A1, A2, a1, a2, Pj, P2 - const.

Три дозвуковых варианта даны на рис. 1, а-в; три сверхзвуковых варианта - на рис. 1, г-е. На плоскости (T, qv) наблюдаем гистерезисные кривые, причем имеются случаи самопересечения гистерезисной кривой. Отметим существование температурных интервалов, где гистерезис выражен очень слабо и зависимость qv (T) можно считать однозначной.

20

10 20 7

5

9 1 10 11 12 13

0 12 14

14

ж)

з)

и)

Рис. 1. Гистерезисные свойства объемного источника энергии qv(T)

8

10

q

4

4

4

Пример 2. T = T0 + A1 sin3(ajz + Pj) + A2 sin3(a2z + P2), Aj, A2, aj, a2, Pj, P2 - const. Дозвуковые варианты показаны на рис. 1, ж-и. Сравнение с примером 1 говорит о значительном влиянии характера аналитической зависимости T(z) на конфигурацию

петель динамического гистерезиса на плоскости (T, qv). Обращает на себя внимание рис. 1, и, где гистерезис практически отсутствует и функция источника qv (T) - монотонная и знакопеременная. В сверхзвуковых вариантах форма петель слабо реагирует на изменение поведения зависимостей T(z) и q(z).

Представленные примеры демонстрируют существование нетривиальных ситуаций при взаимодействии источника энергии со средой, а именно: монотонный источник (сток) qv (T) при определенных обстоятельствах инициирует формирование периодических по

z = x + bt тепловых полей. Теоретические аспекты этого явления и их приложения к задачам взрывной кристаллизации были обсуждены в работе [2]. Чтобы подчеркнуть принципиальную роль неравновесности, укажем на результаты работы [6], в которой была рассмотрена нелинейная среда с нулевым временем релаксации (закон теплопереноса Фурье): X = 'k 0 + Х1Т; с = const; у = 0, q = -X8T / 8x. Ни в одном из процессов,

рассчитанных в [6] на основе нелинейного параболического уравнения теплопроводности, не обнаружены ситуации, при которых петли гистерезиса на плоскости (T, qv)

вырождались бы в однозначные линии qv (T). Таким образом, объемный источник энергии qv = qv (T), возбуждающий одномерные автомодельные периодические по

z = x + bt тепловые поля, обладает следующими свойствами. В локально-неравновесной среде (у > 0) наблюдаются существенные различия между дозвуковыми и сверхзвуковыми тепловыми процессами. Генерация периодических полей может происходить под действием положительного, отрицательного или знакопеременного источника, не обладающего гистерезисной зависимостью qv (T): в этом случае на плоскости (T, qv) имеем монотонную либо немонотонную однозначную по отношению к аргументу T линию.

Реономное уравнение синус-Гордона

Если kv (T) = ± sin T, то (2) является уравнением синус-Гордона:

8 2T 8 2T ±

■ = ± sin T. (3)

8t2 8a2

Результаты исследования одного реономного варианта уравнения синус-Гордона в поле внешней периодической силы с затуханием представлены в [7]. Здесь мы рассматриваем два простых и наглядных примера реономных зависимостей kv (T, t), которые удается

преобразовать к известным решениям [8] уравнения синус-Гордона. Сначала обсудим теплофизическую интерпретацию источника энергии в уравнении (3). Ясно, что kv(T) = ± sin T = 0 при T1 = 0; T2 = ж, T1 = 0. Пусть kv = sin T. Тогда по отношению к

аргументу t состояние {т2- = ж, Tt = 0] является устойчивым, а оба состояния {т|+ = 0, Tt = 0] и {T3+ = 2ж, Tt = 0] - неустойчивые при эволюции во времени. По отношению к координате a состояние {t2- = ж, Ta = 0] неустойчивое, и система имеет два устойчивых положения теплового равновесия: {т1+ = 0, Ta= 0], {т3+ = 2ж, Ta = 0]. Здесь и далее верхние индексы ± указывают знак производной 8kv / 8T при соответствующей температуре. Приняты обозначения: Tt =8T/ 8t, Ta = 8T/ 8a. Пусть kv =- sin T. Тогда имеем одно устойчивое состояние {т2+ = ж, Ta= 0] по отношению к координате a. Вместе с тем два состояния {тр = 0, Ta= 0] и {т3- = 2ж, Ta= 0] - устойчивые при эволюции во времени.

Представленные далее два примера реономных систем имеют следующие отличительные признаки: 1) источник kv(T, t) содержит аддитивным образом

гармоническую по t функцию (аналог внешней периодической силы); 2) значения температур, при которых объемный источник энергии обращается в ноль,

[Г = Г, kv(Г, t) = 0, г = 1,2,3], являются нестационарными. Для этих температур по-прежнему важен знак производной д^ (Г, t) / дГ, но вопрос об

устойчивости/неустойчивости таких нестационарных состояний остается открытым. Изучаем здесь динамические гистерезисные свойства реономной системы.

Вариант I. Возбуждение колебаний и ширина гистерезисного интервала Поведение реономной системы описывается формулами:

T - T = x(a, t) = 0(a, t) - f (t), f (t) = /sin^t), T,, /, k - const,

kv(т, t) = sinb + f (t)]+k1f (t),

(4)

где Г0 > 0; ^ - частота возбуждающих колебаний; функция 0(а, t) определяется

известным решением [8]:

0 = -4 arctan

m

sin a

(aV 1 - m2 + C2)

V1 - m2 ch(mt + C1)

m.

C1, C2 - const ,0 < m < 1, t > 0.

Для дальнейшего важно, что здесь 0(a, t) - непериодическая функция аргумента t. Если C1 > 0, то ch(mt + C1) - монотонно возрастающая функция; если C1 < 0, то ch(mt + C1) немонотонная функция, она имеет минимум при mt1 + C1 = 0; при t > t1 > 0 эта функция

Имеем kv (T, t) = 0, если sin 0 = -k2 f (t),

монотонно

растет.

т = — f + лп0 + (-1)”0 аrcsin(-k12 f). Выбор целого числа п0 = 0,1,2, ... влияет на интервал температур, в котором изучается решение. В расчетах в качестве т— и т— берем два соседних корня, примыкающих слева и справа к т +, где т + - самый близкий к нулю корень уравнения kv (т+, t) = 0, для которого д^ (т, t)/ дт > 0, причем т— < т+ < т —. Вычислительная процедура состоит в следующем. Работаем на интервале времени, равном одному периоду колебаний функции f ^) : t е [0, 2л:/kl]. Для каждого фиксированного t строим изотермы т— и т— :

т— =01 — f; т — =03 — f ; ^(а, t) = tan(—01/4), 5'3(а, t) = tan(—0з/4). Из двух последних формул находим значения а1, а3, которым в изучаемый момент времени t соответствуют температуры т—, т — . Совокупность точек ^, х^)) и (^ х3^)) дает возможность построить вдоль каждой изотермы зависимости N2^), g2(t), а затем найти связь N2 = N2(g2), где N = (—дГ / дt У(дГ / сХ) - скорость перемещения изотермы; g = дГ / ох - градиент

температуры; S = tan(—0 / 4). В основной серии расчетов были зафиксированы величины т = 0,999 ; С2 = 2; варьируемые параметры: частота ^ и константа С1. Величина С1 влияет на амплитуду колебаний по а функции S(а, t = 0), характеризующей температурную неоднородность среды в начальный момент времени. В тех случаях когда на плоскости (g2, N2) динамический гистерезис отсутствует, функция N2 = N2(g2) - монотонно убывающая; график этой зависимости похож на обычную гиперболу. Наличие гистерезиса, наблюдаемого при сравнении двух нестационарных состояний т— и т—, для которых дkv (Га, t) / дГ < 0, связано в первую очередь с алгебраической величиной константы С1. В таблице представлены левая и правая границы интервала С1 е [С1(1), С1(2)], в котором динамический гистерезис на плоскости (g2, N2) существует. В этих случаях петли гистерезиса - незамкнутые линии, для которых отдельным значениям g2 могут

соответствовать два или три значения N2. Из числовых данных в таблице следует, что рост частоты возбуждающих колебаний в значительной степени увеличивает ширину

гистерезисного интервала АС1 = С1(2) - С1(1). Например (см. первую и последнюю строки в

■Ю)

таблице), при увеличении ^ в 3,89 раза АС1 увеличивается в 12,75 раз. Для обработки данных в таблице (всего было получено 16 строк) применяем относительные величины А^ = (^){ /(^, 5(АС1) = (АС1), /(АС1)1, где I = 1,2, .„,16 - номер строки. Первая и последняя строки в приведенной здесь таблице соответствуют номерам I = 1 и I = 16. В результате получили аппроксимирующий полином

5(АС1) = -21,63 + 32,58А^ - 11,015м2 + 1,264А£13. Таким образом, реономный источник энергии (4) обладает принципиальными отличиями от своего стационарного аналога (3), а именно: на изотермах т-, т-, д^ / дт < 0, наблюдается динамический гистерезис, который обладает сильной чувствительностью к частоте возбуждающих колебаний.

Влияние частоты возбуждающих колебаний на ширину гистерезисного интервала

k1 Ak; C™ с;2) AC.

1,8 1,000 -3,7 -3,3 0,4

3,0 1,667 -3,7 -0,5 3,2

3,8 2,111 -3,6 0,4 4,0

7,0 3,889 -3,5 1,6 5,1

Вариант II. Резонансные свойства реономной системы

Поведение реономной системы описывается формулами:

Т - Т0 = т(а, t) = 0(а, t) - f (t), f (t) = f sin(^1t), T0,f, kx - const,

К(T, t) = - sin[T + f (t)]+kU(t)-

(5)

(6)

Смысл обозначений такой же, как для варианта I. Функция 9(а, I) определяется известным решением [8]:

0 = -4 arctan

m

sin Itv 1 - m + C2

V1 - m2 ch(ma + C1)

m, C1, C2 - const ,0 < m2 < 1, t > 0. (7)

Отличия от варианта I следующие: 1) изменился знак перед sin0 [сравни (4) и (6)]; 2) функция 0(а, t) в (7) теперь является периодической по времени. Таким образом, формула (5) для температуры содержит своеобразную комбинацию колебаний с двумя частотами k1 и Vl - m2 . Здесь k1 - частота возбуждающих колебаний, -\/l - m2 - «собственная» частота. Результат взаимодействия этих двух колебательных процессов становится ясен при рассмотрении динамического гистерезиса в точке с фиксированной координатой а = а r. Для построения петли динамического гистерезиса на плоскости (Tr, Q) применяем функции Tr (t) = Т(аr, t), Q(t) = kv (Tr (t), t), t > 0 и получаем графики зависимостей Q = Q(Tr, аr), где аг - параметр. Сразу отметим, что все приведенные ниже результаты расчетов обладают хорошо выраженной периодичностью по координате а r.

Это объясняется структурой формул (5)-(7). В «резонансном» случае имеем k1 = л/1 - m2. В рамках этой связи получены следующие результаты. Если k1 находится в левой окрестности 1 (например, k1 = 0,99; С1 = -5; С2 = 2), то гистерезис отсутствует: линия Q = Q(Tr, аr) - прямая, и для нее dQ / дТг < 0, а функция Q(Tr, аr) - знакопеременная. Если k1 принадлежит правой конечной окрестности нуля (например, k1 = 0,4; C1 = -5; C2 = 0), то гистерезис тоже отсутствует, но зависимость Q(Tr, а r) периодически (по отношению к а,,) становится немонотонной по синусоидальному типу (рис. 2, а-в). Типичный для резонансной ситуации процесс, обладающий гистерезисной

)

нелинейностью, показан на рис. 2, г-е; здесь петля гистерезиса раздваивается на линии синусоидального типа. Если же рассматривать колебания в субрезонансном

(к^4~1 - т2 < 1) либо в сверхрезонансном /\А - т2 > 1) интервалах частот, то гистерезисная зависимость локализована в конечной области (рис. 2, ж-и), которая сплошным образом заполнена линией Q(Tr, аг). Таким образом, для системы, поведение которой описывается реономным уравнением синус-Г ордона с периодическим по времени внешним источником (6), принципиальное значение имеет факт существования связи £2 + т2 = 1 резонансного типа. Если £2 + т2 ^ 1, то участки линии, образующей петлю динамического гистерезиса на плоскости (Тг, Q), сгущаются с течением времени и образуют пятно.

14

а r = 8

0004

0002

«00(}1

1

0,5

б)

8,2

8L

8,6

9 9,4 9,8

6,5

5

9 11,5 14

= 9

9,5 10

10

т1' -21" 2 6 ?

1

6

-V

-2"

7.5 9

7.5 9 в)

7,5

9

10,5 12

10,5 12

10,5 12

8,5 9 9,5 1 0

‘0,5?,5 8,25 ^) 9 9,75 1 0,5

«055

¥

-1

1

-Ч

-0,4

0,48,4

002^

-0,4.

8

-0,2-

-0,4-

10,75 10,5

9,3 9,6

-0,5

0,5

-1

7

-0,5-

2 5,5 /Г 9 а r = 1'2,5 fT 16

2 Jf m,5 16

2 5,5 9 1 2,5 16

5 7 e) 9 11 13

f 7 9 а = 12,5 13

9,75 10,5

13

ж)

з)

и)

Рис. 2. Резонансные свойства динамического гистерезиса на плоскости (Тг, Q)

Заключение

Установлено, что в классе периодических решений «бегущая волна» существуют тепловые поля, для которых корреляция «объемный поток - температура» не является необходимым образом многозначной. Следовательно, для таких тепловых режимов колебания по аргументу г = х + Ы обусловлены монотонным знакопеременным источником (Т), который моделирует конкуренцию между тепловыделением и

теплоотводом в системе «среда - источник энергии».

Обнаружены принципиальные отличия реономного источника типа синус-Г ордона от его стационарного (классического) аналога. Эти различия наблюдаются при возбуждении колебаний внешним периодическим по времени тепловым полем. Представлены результаты численных расчетов резонансных и гистерезисных параметров системы.

Литература

2

1. Grigoropoulos, C. Explosive crystallization in the presence of melting / C. Grigoropoulos [et al.] // Physical Review B. - 2006. - Vol. 73. - P. 184125-1-184125-15.

2. Shablovsky, O. N. A Thermal Model of Periodic Crystallization / O. N. Shablovsky // Crystallography Reports. - 2005. - Vol. 50, № 1. - P. 62-67.

3. Шабловский, О. Н. Феноменологическая оценка времени тепловой релаксации при взрывной кристаллизации аморфных пленок германия / О. Н. Шабловский, Д. Г. Кроль // Тепловые процессы в технике. - 2010. - № 5. - С. 203-208.

4. Жоу, Д. Расширенная необратимая термодинамика / Д. Жоу, Х. Касас-Баскес, Дж. Лебон. - М. ; Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. - 528 с.

5. Шабловский, О. Н. Релаксационный теплоперенос в нелинейных средах / О. Н. Шабловский. - Гомель : ГГТУ им. П. О. Сухого, 2003. - 382 с.

6. Шабловский, О. Н. К вопросу о генерации периодических температурных полей объемными источниками энергии / О. Н. Шабловский, Д. Г. Кроль, И. А. Концевой // Вестн. Гомел. гос. техн. ун-та им. П. О. Сухого. - 2006. - № 2. - С. 73-81.

7. Табор, М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике / М. Табор. - М. : Эдиториал УРСС, 2001. - 320 с.

8. Лэм, Дж. Л. Введение в теорию солитонов / Дж. Л. Лэм. - М. : Мир, 1983. - 294 с.

Получено 22.02.2012 г.