CC BY
53
УДК 517.9
ШАБЛОВСКИЙ Олег Никифорович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой технической механики Гомельского государственного технического университета имени П.О. Сухого. Автор более 250 научных работ, в т. ч. 3 монографий
КРОЛЬ Дмитрий Григорьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры технической механики Гомельского государственного технического университета имени П.О. Сухого. Автор более 50 научных публикаций
ГИСТЕРЕЗИС И ЭНТРОПИЯ ПРИ ВОЗБУЖДЕНИИ КОЛЕБАНИЙ
В СРЕДЕ С ИСТОЧНИКОМ СИНУС-ГОРДОНА
Представлены результаты исследования волнового теплопереноса на основе уравнения синус-Гордона в поле внешнего периодического источника. Выполнен анализ градиентных свойств температуры в зависимости от величины частотного параметра системы. Изучено влияние частоты возбуждающих колебаний на динамический гистерезис и производство энтропии за счет энергообмена с внешней средой. Получены трехмерные фазовые портреты колебаний в системе «среда - источник энергии». Проведено сравнение с обычным уравнением синус-Гордона.
Ключевые слова: теплоперенос; источник энергии; гистерезис; производство энтропии; нелинейные колебания.
Введение. Одной из эффективных моделей теплопереноса, учитывающей конечную скорость распространения тепла, является гиперболическое уравнение теплопроводности
с
Ґдг д2г Л . д2г
------+7------- =А---------
дt 1 дt2 , дх2
, (1)
где Т - температура; с - объемная теплоемкость; X - коэффициент теплопроводности; У - время релаксации теплового потока;
I - время; х - декартова координата; qv (Т, t)
- мощность внутренних источников энергии. Это уравнение выводится из вариационных принципов и имеет обоснование [1] с позиций теории переноса. Явная зависимость функ-
ции источника от времени характерна для ре-ономных (параметрических) теплофизических систем. Современное состояние теории локально-неравновесного теплопереноса в нелинейных средах и подробная библиография этой проблемы даны в [2, 3].
Волновое уравнение теплопереноса с объемным источником энергии хорошо известно в математической физике. Оно описывает процессы, в которых волновой механизм переноса тепла преобладает над диффузионным ( 'fд/дt >> 1):
д!т-^!т=ыт л
-1 2 -л 2 (Т,t)
дt да
© Шабловский О.Н, Кроль Д.Г., 2012
а = х / w, w = X / (су) = const, kv = qvl (су),
(2)
где w - скорость распространения тепловых возмущений. Среди уравнений вида (2) важное место занимает уравнение синус-Гор-дона с постоянными коэффициентами, которое детально изучено в теории нелинейных эволюционных уравнений. Если kv(Т) = ±sin Т , то (2) принимает вид:
д2Т д2Т
dt2 да2
= ±sin T
. (3)
Результаты исследования одного реоном-ного варианта уравнения синус-Гордона в поле внешней периодической силы с затуханием
д2Т д2Т . „ г , ч дТ ----------2 + sin T =rcos(rot) -£—
dt2 да2
dt
£, ю, Г - const
T - To = т(а, t) = 0(а, t) - f (t) ,
f (t) = fl sin^t) , To, fi, kx - const,
kv(T, t) = sin [t + f (t)] + ki2 f (t), (4)
где T0 > 0 ; ki - частота возбуждающих колебаний; функция 0(а, t) определяется извест-
ным решением
0 = -4 arctan
5]:
m
-Л-
m
sin (а Л - m2 + C2) ch(mt + Ci)
представлены в [4].
В данной работе мы изучаем два примера реономных зависимостей kv(т, (), которые позволяют преобразовать решения волнового уравнения (2) к известным решениям [5] уравнения синус-Гордона (3). Прикладные аспекты проведенного исследования связаны с проблемой возникновения нелинейных колебаний и периодических структур при взрывной кристаллизации аморфных пленок, напыленных на подложку [6-8]. Все расчеты выполнены в безразмерных переменных. При обезразмери-вании применяем масштабы величин, для которых размерные и безразмерные уравнения имеют одинаковую форму записи.
Целью работы является изучение градиентных, гистерезисных и энтропийных свойств теплового поля в среде, на которую действуют два источника энергии: 1) нелинейный по температуре источник типа синус-Гордона; 2) внешний периодический во времени источник вынужденных колебаний.
Динамический гистерезис. Поведение ре-ономной системы «среда - источник энергии» описывается формулами:
m, Cl, C2 - const 0 < m < 1, t > 0
Для дальнейшего важно, что здесь 0(а , t) -непериодическая функция аргумента t . Если Ci > 0 , то ch(mt + Ci ) - монотонно возрастающая функция; если Ci < 0 , то ch(mt + Ci) немонотонная функция, она имеет минимум при mti + Ci = 0 ; при t > ti > 0 эта функция монотонно растет. Имеем kv(T, t) = 0 , если sin 0 = -k2 f (t), t = -f + nn0 + (-1)”° arcsin(-ki2 f). Выбор целого числа ”0 = 0,i,2,... влияет на интервал температур, в котором изучается решение. Для определенности работаем с тремя корнями t- , t + , т- уравнения kv(T, t) = 0 . Здесь верхние индексы ± указывают знак производной dkv / дт при соответствующей температуре. В расчетах в качестве ti и т- берем два соседних корня, примыкающих слева и справа к т+ , где т+ - самый близкий к нулю корень уравнения kv(т+ , t) = 0 , для которого dkv(т, t) / дт > 0, причем т- < т+ < т-. Вычислительная процедура состоит в следующем. Работаем на интервале времени, равном одному периоду колебаний функции f (t): t е [0, 2п / ki ] . Для каждого фиксированного t строим изотермы т- и тт- = 0i -f; т- = 0з - f . Si (а, t) = tan(-0i / 4),
S3 (а, t) = tan(-03 / 4) . Из двух последних формул находим значения а^ аз , т. е. координаты Xi, Х3 которым в изучаемый момент времени
t соответствуют температуры Ti , тз . Совокупность точек (t, xi(t)) и (t, х3 ( t)) дает возможность построить вдоль каждой изотермы
2 2
зависимости N (V), g (V), а затем найти связь N2 = N2 (g2), где N = ( -дТ / д1 )/(дТ / Эх) - скорость перемещения изотермы; g = ЭТ / Эх - градиент температуры; £ = tan( -0 / 4). В основной серии расчетов были зафиксированы величины т = 0,999 ; С2 = 2 ; варьируемые параметры: частота ку и константа С. Величина С влияет на амплитуду колебаний по а функции £ (а, V = 0 ), характеризующей температурную неоднородность среды в начальный момент времени. В тех случаях, когда на плоскости (g2,N2) динамический гистерезис отсутствует, функция N2 = N2 (g2) - монотонно убывающая; график этой зависимости похож на обычную гиперболу. Наличие гистерезиса, наблюдаемого при сравнении двух нестационарных состояний Т и т3 , для которых дkv (Т ,) /ЭТ < 0, связано в первую очередь с алгебраической величиной константы Су . В таблице представлены левая
и правая границы интервала Су е [ СС(1) , Су2) ], в котором динамический гистерезис на плоскости (g2, N2) существует. В этих случаях петли гистерезиса - незамкнутые линии, для которых
2
отдельным значениям g могут соответствовать два или три значения N .
Из числовых данных в таблице следует, что рост частоты возбуждающих колебаний в значительной степени увеличивает ширину гистерезисного интервала А Су = Су2) - (Ср . Например (см. первую и последнюю строки в таблице), при увеличении ку в 3,89 раза А Су увеличивается в 12,75 раз. Для обработки данных в таблице (всего было получено 16 строк) применяем относительные величины 5ку = (ку)у / (ку)у, 5(АСу) = (АС),/(А Су)у где
1 = у 2, ...Д6 - номер строки. Первая и последняя строки в приведенной здесь таблице соответствуют номерам 1 =у и 1 = Ш резуль-
ВЛИЯНИЕ ЧАСТОТЫ ВОЗБУЖДАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ НА ШИРИНУ ГИСТЕРЕЗИСНОГО ИНТЕРВАЛА
ку 5ку С(1) С<2) АСУ
г ,80 у,00 -3,7 -3,3 0,40
2,00 -3,7 -2,6 и0
2,25 у,25 -3,7 -1,9 у,80
2,50 у,39 -3,7 -1,4 2,30
2,75 у,53 -3,7 -0,85 2,85
3,00 у,67 -3,7 -0,5 3,20
3,25 -3,6 -0,1 3,50
3,50 у,94 -3,6 0Д 3,70
3,60 2,00 -3,6 0,2 3,80
3,70 2,06 -3,6 0,3 3,90
3,80 2,П -3,6 0,4 4,00
3,80 2,П -3,6 0,4 4,00
4,00 2,22 -3,6 0,5 4Д0
5,00 2,78 -3,5 0,8 4,30
6,00 3,33 -3,5 и 4,70
7,00 3,89 -3,5 !,6 5Д0
тате получили аппроксимирующим полином 5(Дф = -21,63 + 32,58 -5*! -11,015 -(Ц)2 +
+1,264 - (5*! )3.
Таким образом, реономный источник энергии
(4) обладает принципиальными отличиями от своего стационарного аналога (3), а именно:
на изотермах Т , т- , д*¥ / Эт < 0 , наблюдается динамический гистерезис, который обладает сильной чувствительностью к частоте возбуждающих колебаний.
Производство энтропии. Поведение рео-номной системы «среда - источник энергии» описывается формулами:
T-То = т(а,t) = 0(а,t)- f (t),
f (t) = fi sin(k1t) , To > fi, ki - const ,
kv (T, t) = - sin [ т + f (t)] + ki2 f (t)
Функция 0(а , t) определяется известным решением [5]:
(5)
(6)
О = —4 arctan
m
л/ъ—
m
sin (t л/l — m2 + Сг) ch(ma+ C1)
qv
1 + у-
с J
а = q 2l(kT2),
вого теплопереноса удельный тепловой поток Ч подсчитываем двумя способами:
1) численное интегрирование закона Максвелла [2]
дч . дТ а + у — = -X—
дґ дх • (8)
2) аналитическое решение уравнения да= X дТ
У"д7_ Эх’ которое следует из (8) при уд/дґ >> 1.
В результате имеем:
Ч(а, ґ) = -4 Хт8Ь(та + 51ч) ^(а, ґ) + д(а, ґ = 0) ;(9)
yw ch(ma + Cl )
J =
—m
(І — m )2 ABch(ma+C1 )
ln
(A + Bz)( A — Bz0 )
(A — Bz)( A + Bz0)
J (a, t = G) = G.
A = (І +
?2 )І/2> G,
І/2
(І — m )ch (ma+ Cl)
> G,
• = cos(t Vi — m2 + C2), z0 = cos C2
,(7)
m, Ci, C2 - const 0 < m2 < 1, t > 0
Отличия от источника (4) следующие: 1) изменился знак перед sin 0 [сравни (4) и (6)]; 2) функция 0(а, t) в (7) теперь является периодической по времени. Таким образом, формула
(5) для температуры содержит своеобразную комбинацию колебаний с двумя частотами *1 и
ю = fi - m2 . Здесь *i - частота возбуждающих колебаний, ю - «собственная» частота.
Производство энтропии подсчитываем по формуле [2]
где ое - производство энтропии за счет энергообмена с внешней средой; о1 - производство энтропии за счет внутренних необратимых процессов. В рамках модели (2) волно-
Расчет разнообразных вариантов показал, что в установившемся по времени режиме колебаний формула (9) дает результаты, качественно полностью соответствующие закону Максвелла релаксационного теплопереноса. Количественные различия совсем небольшие и не имеют принципиального значения.
Градиентные свойства теплового поля изучаем в трехмерном пространстве (Т, Та,Т), где каждая из трех функций подсчитывается при фиксированном а и при t > 0. Приняты
обозначения: Т(=дг / дt, Та =дТ / Эа • В структуре решения (5), (7) важная роль принадлежит точке нулевого градиента температуры (НГТ): а = а* =-Сх / т, Та= 0. Фазовые портреты в точках а* ± а, равноудаленных от точки НГТ, одинаковы. Основным параметром задачи является отношение частот h = ю / кх .
Пусть h - целое число. Фазовые портреты при h = 1; 2; 3 даны на рисунке 1. Для каждого варианта траектория есть замкнутая линия.
2
m
в
И=1 И=
Рис. 1.
Случай И = 1 - самый простой (рис. 1а). Важно то, что при равенстве частот (ю = ^1) качественное поведение системы с возбуждающим источником [^ Ф 0] ничем не отличается от ситуации, которая описывается обычным уравнением синус-Гордона [^ = 0]. Для других целых И траектория по-прежнему замкнутая, но число витков увеличивается (рис. 1б, 1в). Такое же поведение траекторий наблюдается для рацио-
а)
а = 12,й=2,3=0°
h=3
нальных нецелых к ; расчеты были выполнены при к = 1/ 3; 1/ 2; 5 / 2.
Во всех изученных вариантах траектории располагаются на цилиндрической поверхности, прямолинейная образующая которой перпендикулярна оси Та, т. е. параллельна плоскости (Т, Т). Ориентация образующей цилиндра в пространстве (Т, Та, Т) зависит от входных параметров. На рис. 2а, 2б показаны примеры %
’ а=15,к = 3,3 = 341,05°
а=5,к = -УЗ/20,3 = 300°
Г )
1 = 12, к = 73/20,р = 3450
Рис. 2.
h = ч/э / 20, а = 5
Рис. 3.
поперечных сечений (направляющих линий) таких цилиндров, где в - угол, измеренный в плоскости (Т, Т) между образующей цилиндра и осью Т . Во всех точках НГТ цилиндры
вырождаются в плоскость
на которой
располагаются фазовые траектории.
Пусть к - иррациональное число. В этом случае траектории по-прежнему располагаются на цилиндрической поверхности, но линии эти незамкнутые и занимают на цилиндре конечную область ленточного вида (рис. 3). При нелинейной суперпозиции двух колебательных процессов (5), (7) на фазовом портрете появляются резкие изгибы (повороты) траектории. Такие повороты типичны для областей с сильной пространственно-временной неоднородностью поля и связаны с переменой знаков производных Т, Та . Изгибы «ленты» зрительно воспринимаются как острые кромки рис. 3б. Два «иррациональных» примера поперечных
б)
сечений цилиндра даны на рис. 2в, 2г. Гистере-зисная зависимость между температурой Т (I) и производством энтропии ) при фиксированном а показана на рис. 4. Для h целого зависимость а = а(Т) образует одну или несколько замкнутых петель динамического гистерезиса (рис. 4а). Для h - иррационального с течением времени формируется характерная «сетка», которая занимает конечную область на плоскости (Т, а) , рис. 4б. Процессы возбуждения колебаний, для которых частотный параметр h = ю / ^ - трансцендентное число [были
рассмотрены значения h = П; е;1П2;2^ и др.] не содержат принципиально новых конфигураций (Тг, Та, Т) и (Т,а).
Заключение. Анализ двух простых точных решений позволил обнаружить существенные различия между реономным и склерономным (обычным) уравнениями синус-Гордона. Взаимодействие нелинейного по температуре ис-
- 0.1
- 0.2
к = 1
к = л/3
Рис. 4.
)
точника типа синус-Гордона и нестационарного периодического по времени источника энергии существенным образом зависит от отношения «собственной» и возбуждающей частот колебаний. Установлено, что фазовые траектории располагаются на цилиндрической поверхности, поперечное сечение которой может иметь нетривиальную геометрическую
форму. Зависимость производства энтропии от температуры имеет гистерезисный характер и обладает сильной чувствительностью к отношению частот. Детально изучена трехмерная конфигурация фазовых траекторий для целой, дробной, рациональной, иррациональной и трансцендентной величин частотного параметра системы.
Список литературы
1. Никитенко Н.И. Проблемы радиационной теории тепло- и массопереноса в твердых и жидких средах // ИФЖ. 2000. Т. 73. № 4. С. 851-859.
2. ЖоуД., Касас-БаскесХ., Лебон Дж. Расширенная необратимая термодинамика. М.; Ижевск, 2006.
3. Шабловский О.Н. Релаксационный теплоперенос в нелинейных средах. Гомель, 2003.
4. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М., 2001.
5. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. М., 1983.
6. Grigoropoulos C. Explosive Crystallization in the Presence of Melting / C. Grigoropoulos et. al. // Physical Review B. 2006. Vol. 73. P. 184125-1-184125-15.
7. Shablovsky O.N. A Thermal Model of Periodic Crystallization // Crystallography Reports. 2005. Vol. 50. № 1. P 62-67.
8. Шабловский О.Н., Кроль Д.Г. Феноменологическая оценка времени тепловой релаксации при взрывной кристаллизации аморфных пленок германия // Тепловые процессы в технике. 2010. № 5. С. 203-208.
Shablovsky Oleg Nikiforovich
P. O. Sukhoi State Technical University of Gomel,
Krol Dmitry Grigoryevich P. O. Sukhoi State Technical University of Gomel
HYSTERESIS AND ENTROPY OF OSCILLATIONS INDUCED IN A MEDIUM wITH SINE-GORDON SOURCE
The article presents the results of the study of sine-Gordon equation in the field of external periodic source. The influence of the frequency of inducing oscillations on the dynamical hysteresis and entropy production has been studied. Three-dimensional phase portraits of oscillations in the system “medium
- energy source” have been obtained.
Key words: heat transfer, energy source, hysteresis, entropy production, nonlinear oscillations.
Контактная информация: Шабловский Олег Никифорович: e mail: [email protected], [email protected] Кроль Дмитрий Григорьевич e mail: [email protected], [email protected]
Рецензент - Андреев П.Д., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информационной безопасности института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова
