Безусловные n-мерные вероятностные характеристики случайного процесса Заико Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.9

ШАБЛОВСКИЙ Олег Никифорович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой технической механики Гомельского государственного технического университета имени П.О. Сухого. Автор более 250 научных работ, в т. ч. 3 монографий

КРОЛЬ Дмитрий Григорьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры технической механики Гомельского государственного технического университета имени П.О. Сухого. Автор более 50 научных публикаций

ГИСТЕРЕЗИС И ЭНТРОПИЯ ПРИ ВОЗБУЖДЕНИИ КОЛЕБАНИЙ

В СРЕДЕ С ИСТОЧНИКОМ СИНУС-ГОРДОНА

Представлены результаты исследования волнового теплопереноса на основе уравнения синус-Гордона в поле внешнего периодического источника. Выполнен анализ градиентных свойств температуры в зависимости от величины частотного параметра системы. Изучено влияние частоты возбуждающих колебаний на динамический гистерезис и производство энтропии за счет энергообмена с внешней средой. Получены трехмерные фазовые портреты колебаний в системе «среда - источник энергии». Проведено сравнение с обычным уравнением синус-Гордона.

Ключевые слова: теплоперенос; источник энергии; гистерезис; производство энтропии; нелинейные колебания.

Введение. Одной из эффективных моделей теплопереноса, учитывающей конечную скорость распространения тепла, является гиперболическое уравнение теплопроводности

с

Ґдг д2г Л . д2г

------+7------- =А---------

дt 1 дt2 , дх2

, (1)

где Т - температура; с - объемная теплоемкость; X - коэффициент теплопроводности; У - время релаксации теплового потока;

I - время; х - декартова координата; qv (Т, t)

- мощность внутренних источников энергии. Это уравнение выводится из вариационных принципов и имеет обоснование [1] с позиций теории переноса. Явная зависимость функ-

ции источника от времени характерна для ре-ономных (параметрических) теплофизических систем. Современное состояние теории локально-неравновесного теплопереноса в нелинейных средах и подробная библиография этой проблемы даны в [2, 3].

Волновое уравнение теплопереноса с объемным источником энергии хорошо известно в математической физике. Оно описывает процессы, в которых волновой механизм переноса тепла преобладает над диффузионным ( 'fд/дt >> 1):

д!т-^!т=ыт л

-1 2 -л 2 (Т,t)

дt да

© Шабловский О.Н, Кроль Д.Г., 2012

а = х / w, w = X / (су) = const, kv = qvl (су),

(2)

где w - скорость распространения тепловых возмущений. Среди уравнений вида (2) важное место занимает уравнение синус-Гор-дона с постоянными коэффициентами, которое детально изучено в теории нелинейных эволюционных уравнений. Если kv(Т) = ±sin Т , то (2) принимает вид:

д2Т д2Т

dt2 да2

= ±sin T

. (3)

Результаты исследования одного реоном-ного варианта уравнения синус-Гордона в поле внешней периодической силы с затуханием

д2Т д2Т . „ г , ч дТ ----------2 + sin T =rcos(rot) -£—

dt2 да2

dt

£, ю, Г - const

T - To = т(а, t) = 0(а, t) - f (t) ,

f (t) = fl sin^t) , To, fi, kx - const,

kv(T, t) = sin [t + f (t)] + ki2 f (t), (4)

где T0 > 0 ; ki - частота возбуждающих колебаний; функция 0(а, t) определяется извест-

ным решением

0 = -4 arctan

5]:

m

-Л-

m

sin (а Л - m2 + C2) ch(mt + Ci)

представлены в [4].

В данной работе мы изучаем два примера реономных зависимостей kv(т, (), которые позволяют преобразовать решения волнового уравнения (2) к известным решениям [5] уравнения синус-Гордона (3). Прикладные аспекты проведенного исследования связаны с проблемой возникновения нелинейных колебаний и периодических структур при взрывной кристаллизации аморфных пленок, напыленных на подложку [6-8]. Все расчеты выполнены в безразмерных переменных. При обезразмери-вании применяем масштабы величин, для которых размерные и безразмерные уравнения имеют одинаковую форму записи.

Целью работы является изучение градиентных, гистерезисных и энтропийных свойств теплового поля в среде, на которую действуют два источника энергии: 1) нелинейный по температуре источник типа синус-Гордона; 2) внешний периодический во времени источник вынужденных колебаний.

Динамический гистерезис. Поведение ре-ономной системы «среда - источник энергии» описывается формулами:

m, Cl, C2 - const 0 < m < 1, t > 0

Для дальнейшего важно, что здесь 0(а , t) -непериодическая функция аргумента t . Если Ci > 0 , то ch(mt + Ci ) - монотонно возрастающая функция; если Ci < 0 , то ch(mt + Ci) немонотонная функция, она имеет минимум при mti + Ci = 0 ; при t > ti > 0 эта функция монотонно растет. Имеем kv(T, t) = 0 , если sin 0 = -k2 f (t), t = -f + nn0 + (-1)”° arcsin(-ki2 f). Выбор целого числа ”0 = 0,i,2,... влияет на интервал температур, в котором изучается решение. Для определенности работаем с тремя корнями t- , t + , т- уравнения kv(T, t) = 0 . Здесь верхние индексы ± указывают знак производной dkv / дт при соответствующей температуре. В расчетах в качестве ti и т- берем два соседних корня, примыкающих слева и справа к т+ , где т+ - самый близкий к нулю корень уравнения kv(т+ , t) = 0 , для которого dkv(т, t) / дт > 0, причем т- < т+ < т-. Вычислительная процедура состоит в следующем. Работаем на интервале времени, равном одному периоду колебаний функции f (t): t е [0, 2п / ki ] . Для каждого фиксированного t строим изотермы т- и тт- = 0i -f; т- = 0з - f . Si (а, t) = tan(-0i / 4),

S3 (а, t) = tan(-03 / 4) . Из двух последних формул находим значения а^ аз , т. е. координаты Xi, Х3 которым в изучаемый момент времени

t соответствуют температуры Ti , тз . Совокупность точек (t, xi(t)) и (t, х3 ( t)) дает возможность построить вдоль каждой изотермы

2 2

зависимости N (V), g (V), а затем найти связь N2 = N2 (g2), где N = ( -дТ / д1 )/(дТ / Эх) - скорость перемещения изотермы; g = ЭТ / Эх - градиент температуры; £ = tan( -0 / 4). В основной серии расчетов были зафиксированы величины т = 0,999 ; С2 = 2 ; варьируемые параметры: частота ку и константа С. Величина С влияет на амплитуду колебаний по а функции £ (а, V = 0 ), характеризующей температурную неоднородность среды в начальный момент времени. В тех случаях, когда на плоскости (g2,N2) динамический гистерезис отсутствует, функция N2 = N2 (g2) - монотонно убывающая; график этой зависимости похож на обычную гиперболу. Наличие гистерезиса, наблюдаемого при сравнении двух нестационарных состояний Т и т3 , для которых дkv (Т ,) /ЭТ < 0, связано в первую очередь с алгебраической величиной константы Су . В таблице представлены левая

и правая границы интервала Су е [ СС(1) , Су2) ], в котором динамический гистерезис на плоскости (g2, N2) существует. В этих случаях петли гистерезиса - незамкнутые линии, для которых

2

отдельным значениям g могут соответствовать два или три значения N .

Из числовых данных в таблице следует, что рост частоты возбуждающих колебаний в значительной степени увеличивает ширину гистерезисного интервала А Су = Су2) - (Ср . Например (см. первую и последнюю строки в таблице), при увеличении ку в 3,89 раза А Су увеличивается в 12,75 раз. Для обработки данных в таблице (всего было получено 16 строк) применяем относительные величины 5ку = (ку)у / (ку)у, 5(АСу) = (АС),/(А Су)у где

1 = у 2, ...Д6 - номер строки. Первая и последняя строки в приведенной здесь таблице соответствуют номерам 1 =у и 1 = Ш резуль-

ВЛИЯНИЕ ЧАСТОТЫ ВОЗБУЖДАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ НА ШИРИНУ ГИСТЕРЕЗИСНОГО ИНТЕРВАЛА

ку 5ку С(1) С<2) АСУ

г ,80 у,00 -3,7 -3,3 0,40

2,00 -3,7 -2,6 и0

2,25 у,25 -3,7 -1,9 у,80

2,50 у,39 -3,7 -1,4 2,30

2,75 у,53 -3,7 -0,85 2,85

3,00 у,67 -3,7 -0,5 3,20

3,25 -3,6 -0,1 3,50

3,50 у,94 -3,6 0Д 3,70

3,60 2,00 -3,6 0,2 3,80

3,70 2,06 -3,6 0,3 3,90

3,80 2,П -3,6 0,4 4,00

3,80 2,П -3,6 0,4 4,00

4,00 2,22 -3,6 0,5 4Д0

5,00 2,78 -3,5 0,8 4,30

6,00 3,33 -3,5 и 4,70

7,00 3,89 -3,5 !,6 5Д0

тате получили аппроксимирующим полином 5(Дф = -21,63 + 32,58 -5*! -11,015 -(Ц)2 +

+1,264 - (5*! )3.

Таким образом, реономный источник энергии

(4) обладает принципиальными отличиями от своего стационарного аналога (3), а именно:

на изотермах Т , т- , д*¥ / Эт < 0 , наблюдается динамический гистерезис, который обладает сильной чувствительностью к частоте возбуждающих колебаний.

Производство энтропии. Поведение рео-номной системы «среда - источник энергии» описывается формулами:

T-То = т(а,t) = 0(а,t)- f (t),

f (t) = fi sin(k1t) , To > fi, ki - const ,

kv (T, t) = - sin [ т + f (t)] + ki2 f (t)

Функция 0(а , t) определяется известным решением [5]:

(5)

(6)

О = —4 arctan

m

л/ъ—

m

sin (t л/l — m2 + Сг) ch(ma+ C1)

qv

1 + у-

с J

а = q 2l(kT2),

вого теплопереноса удельный тепловой поток Ч подсчитываем двумя способами:

1) численное интегрирование закона Максвелла [2]

дч . дТ а + у — = -X—

дґ дх • (8)

2) аналитическое решение уравнения да= X дТ

У"д7_ Эх’ которое следует из (8) при уд/дґ >> 1.

В результате имеем:

Ч(а, ґ) = -4 Хт8Ь(та + 51ч) ^(а, ґ) + д(а, ґ = 0) ;(9)

yw ch(ma + Cl )

J =

—m

(І — m )2 ABch(ma+C1 )

ln

(A + Bz)( A — Bz0 )

(A — Bz)( A + Bz0)

J (a, t = G) = G.

A = (І +

?2 )І/2> G,

І/2

(І — m )ch (ma+ Cl)

> G,

• = cos(t Vi — m2 + C2), z0 = cos C2

,(7)

m, Ci, C2 - const 0 < m2 < 1, t > 0

Отличия от источника (4) следующие: 1) изменился знак перед sin 0 [сравни (4) и (6)]; 2) функция 0(а, t) в (7) теперь является периодической по времени. Таким образом, формула

(5) для температуры содержит своеобразную комбинацию колебаний с двумя частотами *1 и

ю = fi - m2 . Здесь *i - частота возбуждающих колебаний, ю - «собственная» частота.

Производство энтропии подсчитываем по формуле [2]

где ое - производство энтропии за счет энергообмена с внешней средой; о1 - производство энтропии за счет внутренних необратимых процессов. В рамках модели (2) волно-

Расчет разнообразных вариантов показал, что в установившемся по времени режиме колебаний формула (9) дает результаты, качественно полностью соответствующие закону Максвелла релаксационного теплопереноса. Количественные различия совсем небольшие и не имеют принципиального значения.

Градиентные свойства теплового поля изучаем в трехмерном пространстве (Т, Та,Т), где каждая из трех функций подсчитывается при фиксированном а и при t > 0. Приняты

обозначения: Т(=дг / дt, Та =дТ / Эа • В структуре решения (5), (7) важная роль принадлежит точке нулевого градиента температуры (НГТ): а = а* =-Сх / т, Та= 0. Фазовые портреты в точках а* ± а, равноудаленных от точки НГТ, одинаковы. Основным параметром задачи является отношение частот h = ю / кх .

Пусть h - целое число. Фазовые портреты при h = 1; 2; 3 даны на рисунке 1. Для каждого варианта траектория есть замкнутая линия.

2

m

в

И=1 И=

Рис. 1.

Случай И = 1 - самый простой (рис. 1а). Важно то, что при равенстве частот (ю = ^1) качественное поведение системы с возбуждающим источником [^ Ф 0] ничем не отличается от ситуации, которая описывается обычным уравнением синус-Гордона [^ = 0]. Для других целых И траектория по-прежнему замкнутая, но число витков увеличивается (рис. 1б, 1в). Такое же поведение траекторий наблюдается для рацио-

а)

а = 12,й=2,3=0°

h=3

нальных нецелых к ; расчеты были выполнены при к = 1/ 3; 1/ 2; 5 / 2.

Во всех изученных вариантах траектории располагаются на цилиндрической поверхности, прямолинейная образующая которой перпендикулярна оси Та, т. е. параллельна плоскости (Т, Т). Ориентация образующей цилиндра в пространстве (Т, Та, Т) зависит от входных параметров. На рис. 2а, 2б показаны примеры %

’ а=15,к = 3,3 = 341,05°

а=5,к = -УЗ/20,3 = 300°

Г )

1 = 12, к = 73/20,р = 3450

Рис. 2.

h = ч/э / 20, а = 5

Рис. 3.

поперечных сечений (направляющих линий) таких цилиндров, где в - угол, измеренный в плоскости (Т, Т) между образующей цилиндра и осью Т . Во всех точках НГТ цилиндры

вырождаются в плоскость

на которой

располагаются фазовые траектории.

Пусть к - иррациональное число. В этом случае траектории по-прежнему располагаются на цилиндрической поверхности, но линии эти незамкнутые и занимают на цилиндре конечную область ленточного вида (рис. 3). При нелинейной суперпозиции двух колебательных процессов (5), (7) на фазовом портрете появляются резкие изгибы (повороты) траектории. Такие повороты типичны для областей с сильной пространственно-временной неоднородностью поля и связаны с переменой знаков производных Т, Та . Изгибы «ленты» зрительно воспринимаются как острые кромки рис. 3б. Два «иррациональных» примера поперечных

б)

сечений цилиндра даны на рис. 2в, 2г. Гистере-зисная зависимость между температурой Т (I) и производством энтропии ) при фиксированном а показана на рис. 4. Для h целого зависимость а = а(Т) образует одну или несколько замкнутых петель динамического гистерезиса (рис. 4а). Для h - иррационального с течением времени формируется характерная «сетка», которая занимает конечную область на плоскости (Т, а) , рис. 4б. Процессы возбуждения колебаний, для которых частотный параметр h = ю / ^ - трансцендентное число [были

рассмотрены значения h = П; е;1П2;2^ и др.] не содержат принципиально новых конфигураций (Тг, Та, Т) и (Т,а).

Заключение. Анализ двух простых точных решений позволил обнаружить существенные различия между реономным и склерономным (обычным) уравнениями синус-Гордона. Взаимодействие нелинейного по температуре ис-

- 0.1

- 0.2

к = 1

к = л/3

Рис. 4.

)

точника типа синус-Гордона и нестационарного периодического по времени источника энергии существенным образом зависит от отношения «собственной» и возбуждающей частот колебаний. Установлено, что фазовые траектории располагаются на цилиндрической поверхности, поперечное сечение которой может иметь нетривиальную геометрическую

форму. Зависимость производства энтропии от температуры имеет гистерезисный характер и обладает сильной чувствительностью к отношению частот. Детально изучена трехмерная конфигурация фазовых траекторий для целой, дробной, рациональной, иррациональной и трансцендентной величин частотного параметра системы.

Список литературы

1. Никитенко Н.И. Проблемы радиационной теории тепло- и массопереноса в твердых и жидких средах // ИФЖ. 2000. Т. 73. № 4. С. 851-859.

2. ЖоуД., Касас-БаскесХ., Лебон Дж. Расширенная необратимая термодинамика. М.; Ижевск, 2006.

3. Шабловский О.Н. Релаксационный теплоперенос в нелинейных средах. Гомель, 2003.

4. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М., 2001.

5. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. М., 1983.

6. Grigoropoulos C. Explosive Crystallization in the Presence of Melting / C. Grigoropoulos et. al. // Physical Review B. 2006. Vol. 73. P. 184125-1-184125-15.

7. Shablovsky O.N. A Thermal Model of Periodic Crystallization // Crystallography Reports. 2005. Vol. 50. № 1. P 62-67.

8. Шабловский О.Н., Кроль Д.Г. Феноменологическая оценка времени тепловой релаксации при взрывной кристаллизации аморфных пленок германия // Тепловые процессы в технике. 2010. № 5. С. 203-208.

Shablovsky Oleg Nikiforovich

P. O. Sukhoi State Technical University of Gomel,

Krol Dmitry Grigoryevich P. O. Sukhoi State Technical University of Gomel

HYSTERESIS AND ENTROPY OF OSCILLATIONS INDUCED IN A MEDIUM wITH SINE-GORDON SOURCE

The article presents the results of the study of sine-Gordon equation in the field of external periodic source. The influence of the frequency of inducing oscillations on the dynamical hysteresis and entropy production has been studied. Three-dimensional phase portraits of oscillations in the system “medium

- energy source” have been obtained.

Key words: heat transfer, energy source, hysteresis, entropy production, nonlinear oscillations.

Контактная информация: Шабловский Олег Никифорович: e mail: [email protected], [email protected] Кроль Дмитрий Григорьевич e mail: [email protected], [email protected]

Рецензент - Андреев П.Д., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информационной безопасности института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова