CC BY
33
ЭНЕРГЕТИКА И ТЕПЛОЭНЕРГЕТИКА
УДК 536.2.01
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ НА ФАЗОВОЙ ГРАНИЦЕ ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ
Д. Г. КРОЛЬ
Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого, Республика Беларусь
Введение. Одним из перспективных способов формирования микроструктуры материала является процесс высокоскоростной кристаллизации (ВК). Это связано, прежде всего, с применением металлических и аморфных материалов в приборах микроэлектроники, в недорогих солнечных элементах. Знание кинетических параметров кристаллизации позволяет обеспечивать необходимую стабильность таких материалов и возможность управления изменениями структуры посредством внешних воздействий. Исследование этих процессов началось сравнительно недавно [1-3]. Имеющиеся аналитические решения релаксационных задач ВК получены для автомодельных уравнений в рамках допущения о постоянной скорости фазовой границы (ФГ).
В работах [4-6] была предложена локально-неравновесная модель теплопереноса при высокоскоростной кристаллизации материалов. Численно-аналитическая реализация этого подхода представлена в [7, 8]. Данная работа является продолжением исследований [7, 8] и посвящена численному моделированию локально-неравновесного теплопереноса в процессах направленного затвердевания. Нашей целью является решение задач о колебательном и апериодическом затухающих во времени тепловых режимах за ФГ высокоскоростной кристаллизации.
Постановка задачи. Математическая модель локально-неравновесной тепловой системы с памятью имеет вид [4-6]:
~ дТ + дд + дq ~х дТ
сс----1—- = 0; д + у —- = -XX—;
дг д х дг д х
х ^\хМ!, х]- ], г > 0;
х = х^ (г) : qj - д* = сЫ(и^ - и* )- Ь(Ы + уйЫ / йг);
(qj - д*) = Х(^] - V*); N = йх^йг; #2 = с/X;
н2 < N2Ы1 < (V* - Vj)/(и* - и] )< н2;
2 < N1 Ы2 < (V* - Vj )/(и* - uj ) < м>1;
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
X/ у = dV / йТ; с = йи / йТ; н2 = Х/(с у );
х = (хьТь)/(хьдь); ~ = (сьТьхь)/(гьдь); 1 = 1ьхь /(Ыь);
х = хН : Т = ТН либо д = дН.
Основные обозначения: T - температура; q - удельный тепловой поток; 2 - коэффициент теплопроводности; c = pcp - удельная объемная теплоемкость; у - время релаксации теплового потока; t - время; х - декартова координата; w - скорость распространения тепловых возмущений; Lb - теплота фазового перехода единицы объема вещества; индексами *, j отмечены значения функций, соответственно, справа и слева от ФГ х = хj (t) , xw - левая неподвижная граница.
Система (1) составлена из уравнения энергии и уравнения для теплового потока; соотношения (2), (3) - условия динамической совместности на ФГ; цепочка неравенств (4) либо (5) характеризует устойчивость сильного разрыва теплового поля при знакопостоянной (либо знакопеременной) выпуклости функции V(T) по обе
стороны ФГ. Безразмерные комплексы Я, c, L составлены из масштабов (они отмечены нижним индексом b ) величин, применяемых для обезразмеривания уравнений (1) и граничных условий (2) - (6). В последующих аналитических выкладках и численных расчетах все величины - безразмерные.
Конкретизируя запись условий (2)-(5), выделяем температурные интервалы [Tj, Tc ] и [Tc, T*] слева и справа от точки фазового перехода Tc = const. Теплофизические параметры среды для каждого интервала свои и описываются функциями вида Я = Я0 + Я 1T, у = const, а также c = cq /(Tc - T )a, a e (0,1) и
c = cq /(T - Tc )a, a e (0,1).
Основные формулы и результаты расчетов. Решение уравнений (1) строим в зоне кристаллизации, рассматривая физически допустимые варианты установления ква-зистационарного режима движения ФГ: а) затухающий колебательный режим теплового поля; б) затухающий апериодический режим теплового поля.
Применяя численно-аналитический подход [4], переходим в (1) от независимых переменных х, t к аргументам z,a, в:
2 2 3 2
z = х — NQt + la + + ha + ^в + haP + l6a + l^a в +
23
+ lga^ + ltyв + ...; li — const, i ^ 1;
а) затухающий колебательный режим теплового поля:
a = ex p(— nt )sin(kt + b), в = ex p(— nt) cos(kt + b); к > n > 0; b > 0;
б) затухающий апериодический режим теплового поля:
a = aQ exp(k — n) t, в = во exp(— к — n)t; 0 < к < n, Oq^q e (0,1).
Линия z j = 0 является образом ФГ. Уравнения теплопереноса (1) и граничные условия (2) - (5) удовлетворяются функциональными степенными разложениями:
T = T0 (z) + aT1(z) + a2 T2 (z) + в©1( z) + P1 ©2 (z) + 0^2 (z) + (7)
+ a3T3( z) + в3 © 3( z) + a2 в¥ъ (z) + aв 2Щ3 (z) +...;
22 q = qo(z) + aq1(z) + a q2(z) + ^i(z) + в ^2(z) + ссв%2(z) + (8)
+ a3q3( z) + в3^з( z) + з(z) + сс^Ы.z) +...;
N = N0 + aNY + a1 N3 + вN2 + в1 N4 + aвN5 + a3N6 + a2 вN7 + aв2 N8 + в3N9 + ....
Рекуррентные формулы для коэффициентов рядов (7), (8) приведены в [7,8]. Результаты расчетов типичных вариантов для железа, никеля и алюминия представле-
ны на рисунках 1-6. Варианты для железа (рис. 2, 5) и никеля (рис. 1, 4) отвечают знакопостоянной выпуклости функции V (Т) по обе стороны ФГ. Для алюминия выпуклость знакопеременная (рис 3, 6). Все рисунки размещены в столбцах, причем номер рисунка соответствует номеру варианта. На рисунках, отмеченных буквами а,
б, в, г и д изображены, соответственно, ц(), Т^(ї), N(ї), (ї) и Тм,(ґ). Теплофизи-
ческие параметры материалов приведены в табл. 1.
Таблица 1
Теплофизические параметры материалов
* кгК/Дж * Л), Вт/мК * Л*, Вт/мК2 Р*, кг/м3 СІ Ср0’ кгК/Дж Л, Вт/мК Л, Вт/мК2 Рз, кг/м3 гі, с у*, с
Бе 825 39 0,001 7040 762 35,0 0,001 7590 4*10-8 1*10-5
N1 735 69 0,001 7850 625 78,5 0,0055 8100 1*10-7 2*10-5
А1 1176 98,1 0,037 2360 1255 217,7 -0,02 2550 5*10-6 1*10-8
Масштабы величин зависят от материала и принимались: Т, = Тс; с, = с0 * р ^ ;
х, = 1 • 10-4 м; = 1 • 10-5 с; Я, = Я ; qb = 1 • 109 Вт/м2. ( Тс - температура кристал-
лизации материала). Остальные входные параметры задачи представлены в таблице 2.
Таблица 2
Т* Т0 (0) N1 N 2 N3 N4 N 5 к п х№
Вар. 1 1,001 0,999 1*10-3 1*10-3 1*10-6 -1*10-6 1*10-6 1,5 9,0 -0,01
Вар. 2 1,001 0,995 0,5*10-3 0,5*10-3 -1*10-6 1*10-6 1*10-6 2,0 1,0 -0,01
Вар. 3 1,01 0,999 1*10-3 1*10-3 0,5* 10-6 -1*10-6 0,5 * 10-6 1,5 8,5 -0,01
Вар. 4 1,001 0,996 1*10-3 -1*10-3 -1*10-6 1*10-6 1*10-6 2,0 1,0 -0,01
Вар. 5 1,001 0,999 1,5*10-3 1,5*10-3 1*10-6 -1*10-6 1*10-6 1,6 9,5 -0,01
Вар. 6 1,01 0,998 1*10-3 1*10-3 -5*10-7 -5*10-7 5*10-7 2,0 8,0 -0,01
Расчеты были проведены с помощью отрезков рядов (7), (8), включающих члены разложений третьего порядка. Наблюдается хорошая практическая сходимость рядов. Различие в результатах расчета Т, q с учетом членов 2-го и 3-го порядков по
а, в не превышает 0,08 %.
Приведенная табличная и графическая информация дает возможность судить о воздействии на процесс таких важных параметров, как у ., у*, Т0(0), Т*, к, п . Данные примеры демонстрируют многовариантный характер установления квазиста-ционарного теплового режима за ФГ.
q (t)
qw (t)
Tw (t)
t
а)
t
б)
t
в)
t
г)
t
д)
q (t)
T (t)
N (t)
qw(t)
а)
б)
t
в)
2
t
г)
д)
а)
t
б)
t
в)
t
г)
Tw (t)
д)
0
4
0
4
(1(1)
а)
0 2 а)
а)
1
б)
1
в)
1
б)
1
б)
в)
1
в)
1
г)
г)
1
г)
1
д)
0 0.5 1 1.5
1
д)
д)
4
Заключение. Представлены результаты численного моделирования тепловых процессов высокоскоростной кристаллизации для трех металлов: Fe, Ni, Al. Даны примеры, иллюстрирующие качественные и количественные свойства теплового поля за ФГ высокоскоростной кристаллизации. Учет нелинейных свойств среды позволяет получить содержательную физическую информацию об условии реализации процесса и его устойчивости, о колебательно-релаксационных свойствах ФГ.
Работа выполнена под научным руководством профессора Шабловского О.Н.
Литература
1. Полеся А.Ф., Гудзенко В.Н., Бродский В.М. Температурные условия кристаллизации алюминиевых сплавов при скоростях охлаждения 104-106 град/с. В кн. Рост и дефекты металлических кристаллов.- Киев: Наукова думка, 1972.- С. 421-427.
2. Александров Л.Н. Кинетика кристаллизации и перекристаллизации полупроводниковых пленок. - Новосибирск: Наука, 1985.- С. 135.
3. Galenko P., Sobolev S. Local nonequilibrium effect on undercooling in rapid solidification of alloys //Physical Review E. 1997. Vol. 55. №1. P. 343-352.
4. Шабловский О.Н. Релаксационные тепловые структуры и фазовые границы в нелинейных средах //Труды 2-й Российской национальной конференции по теплообмену.- М.: МЭИ, 1998.- Т. 7: Теплопроводность, теплоизоляция.- С. 251-254.
5. Шабловский О. Н. Некоторые задачи нелинейной динамики локально-неравновесных тепловых полей //Первый междисциплинарный семинар «Фракталы и прикладная синергетика»: Сб. тезисов.- М.: Изд-во РАН, 1999.- С. 54-56.
6. Shablovsky O.N. Non-linear thermal processes of high-speed crystallization. //Single crystal growth, strength problems and heat mass transfer. Third Intern. Conference. Russia, Obninsk. 1999. P. 240-241.
7. Шабловский О.Н., Кроль Д.Г. Эволюционные свойства фазовой границы высокоскоростной кристаллизации //Математическое моделирование в образовании, науке и промышленности: Сб. науч. тр. - СПб.: Санкт-Петербургское отделение МАН ВШ, 2000. - С. 198-201.
8. Шабловский О.Н., Кроль Д. Г. Затухающий апериодический режим на фазовой границе высокоскоростной кристаллизации //Материалы МНТК «Современные проблемы машиноведения».- Гомель: ГГТУ им. П.О. Сухого, 2000. - С. 82-85.
Получено 29.09.2000 г.
