CC BY
13
МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ
УДК 548.232.4
ЛОКАЛЬНО-НЕРАВНОВЕСНЫЕ СВОЙСТВА ФАЗОВОЙ ГРАНИЦЫ ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ ПЕРЕОХЛАЖДЕННОГО РАСПЛАВА
ЧАСТЬ 3. КОРРЕЛЯЦИЯ «КРИВИЗНА-СКОРОСТЬ» НА НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЛИНИИ РОСТА
О. Н. ШАБЛОВСКИЙ, Д. Г. КРОЛЬ, И. А. КОНЦЕВОЙ
Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого», Республика Беларусь
Ключевые слова: переохлажденный расплав; рост кристалла; предвестник боковой ветви дендрита; неравновесный теплоперенос.
Введение
Нестационарные свойства фронта кристаллизации в значительной степени обусловлены корреляцией между кривизной поверхности роста и скоростью ее перемещения. Этому вопросу и посвящена третья, заключительная часть выполненного нами цикла работ. Продолжим исследование [1], [2] пространственной структуры теплового поля на фазовой границе (ФГ) высокоскоростной кристаллизации одно-компонентного чистого переохлажденного расплава. Данная работа развивает наши результаты [3]-[5] и имеет целью изучить эволюционные свойства фазовой границы кристаллизации, обусловленные отчетливо выраженной нестационарностью скорости и кривизны вершины дендрита.
Нестационарная кривизна линии роста
Рассмотрим ФГ (двумерную плоскую либо осесимметричную), обладающую нестационарной кривизной линии роста. Правую систему координат с ортами ж, п, Ь строим так же, как в задаче о ФГ стационарной формы [1]. Уравнение ФГ постулируем в следующем виде:
/ = х + А($) -[В( у)]р() = 0.
Эта априорная зависимость основана на экспериментальных сведениях [6] о существовании нестационарных (например, периодических по времени) возмущений скорости и кривизны линии роста. В плоском случае V = 0, и х, у - прямоугольные декартовы координаты; в случае осевой симметрии V = 1, координата х соответствует оси симметрии, у - радиальная координата. Здесь В = В(у) - непрерывная функция;
В( у) > 1, В (у) = йВ / йу > 0 при у > 0, причем В( у = 0) = 1. Закон движения вершины дендрита (у = 0 ): х}.(¿,у = 0) = х0(^) = 1 - А(1), I > 0. Фазовая граница движется влево,
йх0 / й = - А (^) < 0. Геометрические свойства ФГ представляются формулами:
О = |вгаё/|, О = [1 + р2В2(р-1)В2 }/2,
р = р(0 > 1; Бт р = 1/О, соб р = В1/ О, Д = рВр-1В.
Выбор криволинейных ортогональных осей на ФГ иллюстрируется рис. 1 из работы [1]. Алгоритм построения этих осей изложен в [1], [2] и дает следующие результаты:
= х + А - Вр, Ъъ=1Ю; ^ = х + А + Г ^ , И1= В1/О.
J В1( г)
Здесь учтено, что
5х = 1 ду = 1 5х = в ду = В1
=-в~1~д^ = О2, ¿^ = 1 = О2.
Очевидно, что выполнено равенство • = 0. Фазовая граница
х}. = Вр - А перемещается со скоростью N = (рВр 1пВ - А)/О и обладает средней кривизной:
к = к + к2, к = Оз, к2 (1)
В 2 = В2 (у, г) = рВр-1В + р(р -1) Вр-2 В2.
В случае р(г) = 1 получаем ранее изученные зависимости для ФГ стационарной формы. Работаем с двумерными уравнениями теплопереноса:
дТ дд, дд2 V _ _ ,
с— + — + -12 + — д2 = 0, V = 0,1; дг дх ду у
дч1 Л дТ дд2 . дТ
д - = -Х—; д2 +у—- = -Х—. дг дх дг ду
Все основные обозначения такие же, как в [1], [2]. Переход от аргументов (х, у, г) к £3, г) и далее к переменным (э, п, г) выполняем по формулам:
А = = Вк_д+.1А •
дх дЪ11 д^3 О дэ О дп '
= _д__= ВК^;
ду В1 д^ 1 д^3 О дэ О дп'
д д д д е д В1 й д 1 е д — = — +-+-=—+ — — +——.
дг дг' д^ д^3 дг' О 1 дэ О 3г дп
Здесь координаты э , п естественным образом связаны с касательным и нормальным к ФГ направлениями; приняты обозначения: г ' = г, д^1 / дг = £1г,
дЪ,3 / дг = ^3г. Еще нам потребуются функции чп, вместо д1, д2:
ч = Ч1 + Ч2 = Чп + ч*; ч = чп ^ р+с°8 р, ч = -чп с°8 р+ч^ р,
а также выражения, определяющие нестационарность движения ФГ:
^ = A , ^ = A - рВр 1п В;
Вх(у,г)
дО В дВ дВ1 р-ил , „ . йр(г)
"77 = О 17, 17 = рВВ 1(1 + р 1пВ) Р= ^• дг О дг дг йг
Градиентные свойства температуры и теплового потока
Запишем уравнения для функций Т, qn, qs аргументов s, п, г:
- уравнение энергии:
Г £к 1дТ=п„
V О ) дп дп
тг V / _ . _ч дТ еВх дТ д / . _ч д ( п\ дqs
п1 = -^п со§ р-qs 81п ^г-— q*-г СБ1п р)+qn—М р)-—;
у дг О дs ду ду дs
- уравнение теплового потока вдоль оси ОХ:
+ fy sin P^ Ж + Iy cos P^ Ш = П
G 8n | G J 8n | G J 8n
B 8T B2 dqs dqs B dqn dqn
П 2 =--1A--y—2 -У cos р^^— y—2 Pu^t" "У sin р
G 8s G2 Jt 8s 8t G2 as at
Г 8 sin P 8 cos B^ . _
-yi qn-af-+qs —at— J—qnsin P— qscos р;
- уравнение теплового потока вдоль оси OY:
ABi 8T fycosB^3tl8q„ +fyR^3tl8qs =
(2)
— I y cosP-^ I—^ + 1 y sin р-^ I—^ = П3
G 8n | G J 8n | G J 8n A8T ly Bi2 p 8q„ У Bi p 8qs______ P8q„ У
П3 =---+ y^- — y^ + y cos P— y sin P
G 8s G2 Jt 8s G2 Jt 8s 8t 8t
f 8 sin P 8 cos P^ _ . _
—yi qs—8t— J+q"cos P—qssin P
(3)
Данные три уравнения образуют по отношению к дТ / дп, дqn / дп, дqs / дп систему линейных неоднородных уравнений. Определитель этой системы равен:
Д = МЦм2 — л m2 = tf-, tf = —^, w2 =А. (4)
G х ' w2 G cy
Нормальные производные подсчитываем по формулам:
T = Д .
8n " cyG(tf2 — w2);
(5)
8qn = Д12 . (6)
8n cyG 2(tf2 — w2)'
dqs +
(7)
дп y^3t
Л н ВД-П 2; А!2 _ c^t (П 2 - ВД)-Ш^2.
Теперь нам потребуются динамические условия совместности на ФГ:
qs] = q} cos(p, -p j) _ q* cos p*; (8)
f dN}
qnj = qj sin(P* -pj) _ q* sin p* + N(uj - u*) - L\ N + ; (9)
TUK J.
L д
Tj _ Tc —c—K -^Л; q} _ \q\, q,_ |q.|; U, д-const. (10)
Здесь допускается случай одномерного нестационарного теплового поля расплава: = q„(х, t), T,= T(х, t). Наиболее простой случай такой: q„ = 0, T„ = const. Для определенности анализируем вариант N = Nn, q„ = qjx, принимая N < 0, q„> 0. Ясно, что
Tj = T^ = 0, t), q. = qn^ = 0, t), qs] = qs^ = 0, t).
Поэтому
(5T ^ dT} dTj p 5T]
\-I =—- = —- + L, cos В—- и т. п.
V dt). dt dt' 1 5s
Итак, функции T., qnj, q. определяем с помощью (8)-(10) через параметры расплава q„, T. Продифференцировав по касательной координате 5 / 5s формулы (8)-(10), находим:
'ST] = T , = dq., ГЗцЛ = dqjL.
6s ). 5s \5s ). 5s v 5s ). 5s
Для подсчета производных
dq„ дТ„ д д
—, —, ^(cos P^ ^(sin P)
дя дя дя дя
применяем следующие операторы:
д д д . д д д — _— cos рн--sin P; —_— sin p--cos p.
дя дх ду дп дх ду
Следовательно, нормальные производные на ФГ:
(дГ\ , (üqA ,
) / I дп ) / I дп ) j
(11)
подсчитываем на основе (8)-(10) и их дифференциальных следствий, получаемых воздействием операторов 8 / 8n и 8 / 8s.
Обсуждение результатов
Математической моделью появления боковой ветви дендрита на ФГ служит градиентная катастрофа, с наступлением которой производные (11) становятся неограниченно большими. Анализ полученных выражений позволяет утверждать, что существуют три причины разрушения теплового поля на линии роста.
I. Из (5), (6) ясно, что разрушение происходит в «звуковой» точке (xj, y1, t1),
когда tf 2(y1, t1) = w2; здесь xj = xj (y1, t1) .
II. Согласно (4), (7) градиентная катастрофа наступает в точке остановки (Xjr, yr, tr) ФГ, когда tf(yr, tr) = 0, т. е. (pBp lnB)r = (A)r.
Этот вариант возможен только при нестационарной кривизне ФГ, когда функция p(t) не является тождественной константой. В частном случае, когда p(t) = const, кривизна стационарна (8K / 8t = 0, см. (1)), и градиентная катастрофа может появиться только в «звуковой» точке.
Отметим еще, что в кинематическом отношении A(t) характеризует скорость, отвечающую поступательной компоненте движения ФГ; p (t) характеризует угловую скорость касательной к ФГ в каждой ее точке. В физическом отношении A(t) характеризует скорость движения вершины дендрита; p(t) определяет кривизну на вершине дендрита: K (y = 0, t) = p(t) B(y = 0).
III. При подсчете производной (8qn / 8t)j появляется 82tf / 8t2, т. е. формулы (11)
содержат производные третьего порядка: d3 A(t)/dt3, d3 p(t)/ dt3.
Градиентная катастрофа появляется, когда p(t) и (или) A(t) содержат входящую аддитивно степенную либо логарифмическую особенности:
(t3 — t)3—а, t3 >0, 0<а< 1; (t3 — t)3ln(t3 — t), t3 >0.
Из рассмотрения аналитических выражений (2) и (3) ясно, что локальная неравновесность проявляет себя не только по отношению к тепловому потоку (см. слагаемые, содержащие множители y8qn / 8t, y8qs / 8t), но и по отношению к углу P , характеризующему двумерные геометрические свойства ФГ (см. слагаемые, содержащие множители y8 sin P / 8t, y8 cos P / 8t). Таким образом, нормальные про-
д д
изводные (5)-(7) содержат слагаемые вида y—(qn cos P) , y—(qs cosP), а это значит,
8t 8t
что на фоне локальной неравновесности процесса роста наблюдается нелинейное (мультипликативное) взаимодействие тепловых и морфологических свойств ФГ.
Приведем здесь примеры расчета высокоскоростного затвердевания переохлажденного расплава никеля. Вычисления выполняем в безразмерных переменных. Берем следующие масштабы величин: cb = c* = cj, Ab = A* = A, Tb = Тс, yb = 10—6 м,
Kb = 106м, tfb = 3 м/с, xb =Ab /(cbtfb) = 4-10—6 м, tb = xb /tfb = (4/3)-10—6с,
qb = cbTbtfb, Lb = L /(cbTb), b = tfb / Tb. Теплофизические свойства никеля:
c = 5,62-106, Дж/(м3 • град); A = 69, Вт/(м3 • град); L = 2,14-109, Дж/м3; Тс = 1728, °К;
и = 1,81, Дж/м2; де [1544; 2594], м/(с • град); у = 1,38-10-7, с; Т* = 1562, °К; у1 = 4•Ю-6 м. Интервал числовых значений д указан на основе формул, полученных в [4]. Тепловое поле расплава создается источником q* (х) :
dT*(x) dq* (x) *
q* = -А*-, -= qD (x), x e[xj,0], x1 < 0.
dx dx
Рассматриваем физически содержательный вариант незатухающего теплового потока:
q*( x) = qj sin2(k* x); qj, k* - const, qj > 0;
T* (x) — T*
x —— sin(2k* x) 2 4k*
, — < (-xj), T*(x = 0) = T0 > 0. k*
В частном случае qj = 0, т. е. при q*(x) = 0 имеем однородное тепловое поле T* = T0 = const, xе(-да, 0]. Кроме того, был рассмотрен затухающий по координате тепловой поток вида q*(x) = qje"*x sin2(k*x) ; qj, k*, n* - положительные величины. Сразу отметим, что результаты расчетов для n* = 0 и n* > 0 не содержат существенных качественных различий.
Порядок вычислений состоит в следующем. Указываем тип симметрии фазовой границы, т. е. фиксируем параметр v = 0;1. Задаем с, А, у, U, L, д и тепловое состояние расплава q*(xj), T*(xj), где xj = xj (t) = -A + Bp . Зависимость B = B(y) определяет двумерные геометрические свойства линии роста x. = x. (y, t) на плоскости (x, y). Далее, последовательно вычисляем B1, B2, G , K1, K2, £3t, N, £1t, h1, h3, xj (y, t), q*, T*, П1, П2, П3, A11, A12. Цель расчетов: найти Tj, qn, qs, dT. / dn, dqn / dn, dqs / dn как функции аргументов y, t. Графики этих зависимостей строим при фиксированном y при t > 0 . Здесь y = 0 - вершина дендрита; чем больше поперечная / радиальная координата y, тем дальше находится изучаемая точка линии роста от оси дендрита. Вычисление производных выполнялось с помощью программы МаШсаё.
Таким образом, мы решаем полуобратную задачу: задаем из физических соображений вид фазовой границы; указываем температурное поле расплава T*( x), q*( x) и вычисляем в твердой фазе T, qn, qs, а также их производные d / dn по нормали к линии роста. Данный подход позволяет найти: связь скорости N и кривизны K; закономерности влияния колебаний функций A(t), p(t) на поведение теплового поля; условия появления неустойчивостей в системе «расплав-кристалл» под воздействием периодической неоднородности теплового потока q* (x) .
Уравнение линии роста записываем в следующей форме:
x. (y, t) = -A(t) + [B(y)]p(t); A(t) = 1 - N0t - A1(t); A1(t = 0) = 0; B(y = 0) = 1; N0 < 0.
При t = 0 вершина дендрита находится в начале координат, x j ( y = 0, t = 0) = 0.
Вариант 1 содержит следующие функции:
B(y) _ 1 + n,y; (12)
a,
A1(t) _—(1 - cos ©jt), t > 0. (13)
Qj
Это значит, что скорость ФГ испытывает периодическое возмущение a1 sin Q1t. Для p(t) допускается два случая:
p(t) _ 1 + (a2 sin ©2t)2; (14)
p(t) _ 1 + a2(1 - sinQ2t), a2 > 0. (15)
Здесь a1, a2, n1, q1, q2 - постоянные величины. Для зависимости (14) имеем неотрицательное отклонение от единицы; зависимость (15) дает знакопеременное отклонение a2 sin ©2t от 1 + a2. Функция (12) - линейная по координате y, поэтому далее для краткости называем семейство таких линий роста клиновидными. Вариант 2 содержит функцию
B(y) _ exP(n2уХ n2 > 0. (16)
Далее называем такую форму ФГ экспоненциальной. Для этого варианта нестационарные свойства определяются функциями (13), (14). Зависимости (12) и (16) применяем в конечной окрестности вершины дендрита.
Обсудим результаты расчетов, полученные при v_ 0, - N0 _ 3,07 м/с,
д _ 1600 м/(с • град), k* _ 1, T0 _ 0,962. Рис. 1-4 относятся к клиновидному варианту (12). Отметим нетривиальное свойство корреляции «кривизна-скорость»: вблизи вершины (рис. 1, а) зависимость |N| _ Nm (K) двузначная; по мере удаления от вершины
число ветвей функции Nm (K) удваивается, одно и то же значение кривизны наблюдается при четырех разных скоростях вершины (рис. 1, б).
а) б)
Рис. 1. Влияние кривизны вершины дендрита на теплообмен: а, б - д = 0,5 ; в, г - д! = 0.
Параметры линии роста: а1 = 0,1; а2 = 0,1; ю1 = 0,5; ю2 = 0,5; п1 = 1,0; п* = 0
На рис. 2 показаны типичные примеры колебаний на клиновидной ФГ при малых периодических возмущениях кривизны.
Информация, представленная на рис. 3-5, позволяет судить об интервалах, в которых меняются основные параметры теплового поля на линии роста. Расчеты показали, что характер колебаний функции р(г) не влияет принципиальным образом на свойства данной теплофизической системы. Меняются отдельные фрагменты фазовых портретов, но основные закономерности эволюции линии роста сохраняются. Рис. 5 содержит сведения о свойствах ФГ для экспоненциального варианта (16). Здесь нужно обратить внимание на конечное значение кривизны, значительно отличающееся от клиновидных вариантов на рис. 3 и 4.
Анализ проведенных серий расчетов (рис. 3-5) говорит о том, что внутри каждой серии фазовые портреты в различных трехмерных пространствах: (Мт, к, чп),
(Nm, к, дчп / дп) и т. д. - имеют похожую друг на друга структуру. Визуально эти структуры воспринимаются следующим образом: на рис. 3 - кусок ленты, края которой соединены между собой; на рис. 4 - две цилиндрические поверхности, образующие «восьмерку»; на рис. 5 - волнистая пластинка, стоящая на ребре. Отметим также, что этот вывод справедлив и для фазовых портретов в пространствах (Nm, к, Т\) и (Nт, к, дТ}. / дп) - здесь эти рисунки не приводятся.
0 10 N.
0,75 0,7-
20
10
20
0,99994
0,999935
0,99993
Т / дп
10
20
0
10
20
-0,16-0,18' -0,2' -0,22'
0,99994
0,999935
0
дЧп/ дп 0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
Ч* 0,003
0,002
0,001
10
20
10
20
0,0005
0,0015 К
0,0005
0,0015 К
Рис. 2. Нестационарные свойства ФГ на конечном удалении от вершины дендрита:
V = 0, д = 20 м/(с • град); п* = 0; пх = 1; ч! = 0,005; ю1 = 0,5; ю2 = 1; у = 1
0
I
г
г
0
г
0
г
Рис. 3. Тепловые процессы на периферии дендрита (у = 1) для режима колебаний (15); клиновидная линия роста: V = 0, ц = 1600 м/(с • град);
п* = 0; п1 = 1; д1 = 0,01; ю1 = 0,5; ю2 = 1; а1 = 0,1; а2 = 0,4
Рис. 4. Тепловые процессы в конечной окрестности вершины дендрита (у для режима колебаний (15); клиновидная линия роста. Входные параметры такие же, как на рис. 3
= 0,01)
Рис. 5. Экспоненциальная форма (16) ФГ: V = 0, ц = 1600 м/(с • град); п* = 0; п1 = 1; д*, = 0,005; ю1 = ю2 = 0,5; у = 0,01. Фазовые портреты системы «расплав-кристалл» в конечной окрестности вершины дендрита для режима колебаний (14)
Заключение
Получены аналитические выражения (5)-(7) для нормальных производных температуры и теплового потока на нестационарной ФГ. Предвестниками появления боковой ветви дендрита служат следующие условия разрушения теплового поля: появление «звуковой» точки; остановка ФГ; наличие особенности в ускорении второго порядка. Установлено, что на фоне локальной неравновесности процесса роста наблюдается нелинейное взаимодействие тепловых и морфологических свойств ФГ. Представлены результаты численных расчетов тепловых свойств двумерных линий роста, обладающих плоской и осевой симметриями. Анализ выполнен для случаев периодических по времени возмущений скорости и кривизны ФГ. Обнаружены существенные количественные различия между режимами колебаний вблизи вершины дендрита и на конечном удалении от нее. Показано, что основными параметрами влияния на тепловое состояние линии роста являются частота и фаза колебаний. Установлено, что система «расплав-кристалл» проявляет определенную стабильность по отношению к изменению режимов колебаний кривизны.
Литература
1. Шабловский, О. Н. Локально-неравновесные свойства фазовой границы высокоскоростной кристаллизации переохлажденного расплава. Ч. 1. Трансзвуковой переход на линии роста / О. Н. Шабловский, Д. Г. Кроль, И. А. Концевой // Вестн. Гомел. гос. техн. ун-та им. П. О. Сухого. - 2017. - № 2. - С. 71-79.
2. Шабловский, О. Н. Локально-неравновесные свойства фазовой границы высокоскоростной кристаллизации переохлажденного расплава. Часть 2. Формирование теплового потока на поверхности дендрита / О. Н. Шабловский, Д. Г. Кроль, И. А. Концевой // Вестн. Гомел. гос. техн. ун-та им. П. О. Сухого. - 2017. - № 4. -С. 75-83.
3. Шабловский, О. Н. Тепловые свойства фронта кристаллизации однокомпонентно-го чистого переохлажденного расплава / О. Н. Шабловский, Д. Г. Кроль // Расплавы. - 2005. - № 4. - C. 69-81.
4. Шабловский, О. Н. Расчет кинетических параметров фронта кристаллизации глубоко переохлажденного расплава / О. Н. Шабловский, Д. Г. Кроль // Материалы, технологии, инструменты. - 2007. - Т. 12, № 1. - С. 5-10.
5. Шабловский, О. Н. Тепловая градиентная катастрофа и рост двумерного свободного дендрита в переохлажденном расплаве / О. Н. Шабловский // Приклад. физика. - 2007. - № 3. - С. 29-37.
6. Evidence fon tip velocity oscillations in dendritic solidification / La Combe J. C. [et al.] // Phys. Rev. E : 2002. - Vol. 65, No. 3. - P. 031604-1-031604-6.
Получено 24.01.2018 г.
