Прохождение тока через полупроводник с движущимся доменом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.382

ПРОХОЖДЕНИЕ ТОКА ЧЕРЕЗ ПОЛУПРОВОДНИК С ДВИЖУЩИМСЯ ДОМЕНОМ

А.А. Степанов, доцент, к. ф.-м. н., ХНАДУ

Аннотация. На основе методики описания умножения носителей заряда вследствие ударной ионизации в движущемся домене сильного электрического поля рассматривается обоснование некоторых предположений, которые были приняты в предшествующих расчетах. Анализируется основная система уравнений, описывающих прохождение тока через полупроводник с подвижным доменом.

Ключевые слова: ударная ионизация, домен, диод Ганна, коэффициент умножения, время жизни электронов и дырок, распределение носителей.

Введение

В данной работе рассматривается ситуация, характерная для пролётного режима диодов Ганна; тем не менее следует заметить, что ударная ионизация может иметь место и в других режимах их функционирования. Анализируется система уравнений для определения шести неизвестных величин, которые характеризуют диод Ганна в режиме умножения тока. Сравнение с опытом позволяет получить порядок величины для ряда введенных в наших расчетах параметров.

Анализ публикаций

Ранее [1] обсуждалась применимость общепринятой модели умножения в диодах Ганна. Был принят во внимание тот факт, что умножаются в основном лёгкие электроны с малой эффективной массой, находящиеся в домене к [6].

Цель и постановка задачи

Обоснуем теперь некоторые допущения, которые были приняты в опубликованных нами работах [2 - 4].

Основная система уравнений, описывающих прохождение тока через диод Ганна

В предыдущих наших расчётах в основу было положено предположение об однородно-

сти распределения дырок и электронов по образцу вне домена. Это предположение может быть выполнено, если только

тр >-

Л

(1)

т.е. время жизни дырок должно быть больше времени пролета домена через полупроводник. К тому же время пролета является наибольшим из времен: времени отсутствия домена в образце, времен возникновения и исчезновения домена. В противном случае, как нетрудно видеть, уже нельзя считать концентрации рвн и пвн одинаковыми по длине полупроводника, особенно в присутствии домена.

В связи с этим заметим, что нами ранее [1] было принято неравенство

у^

которое можно ещё переписать так:

Л

тр <

УУРЕ1

(2)

(3)

Сопоставляя (2) и (3), видим, что они совместимы (при у =1), если

Ь_

Л

о

Обычно Ь=Ь* , а у0 > упщ . Тогда принятые неравенства могут быть совместимы, если

Если сюда вместо т подставить правую часть (8), то получим

^ >> ^

(5)

что в ОаЛ8 выполняется. По порядку величины тр « хп > 10-8 (при высоком уровне ин-

жекции), тогда как Ь < 10-9 . Следовательно, неравенство (1) в ОаЛ8 также выполняется. Уравнение баланса частиц [1]

Р - Рп

Ьв

• (Ь - Ьв) = | а • п • ¿х

получено из

др

д; дх

Р - Рп

+ а • п

(6)

путем усреднения по периоду колебаний Т, а также за счёт последующего интегрирования уравнения по длине образца.

Уравнение баланса записано в таком виде, когда предполагается, что время пролета домена сравнимо с полным периодом колебаний, причем это уравнение можно переписать в несколько обобщенном виде

Р - Рп

в

(Ь - Ьв) - /инж = т | а • п • dx, (7)

отличающимся от уравнения баланса введением инжекционного тока 1инж (ранее он был учтен через коэффициент у) и величины т

т = —.

Т

(8)

ЬТр > ±Т .

(10)

И, наконец, в случае, когда Ь равно времени пролёта, имеем

Тр > Т.

Отметим, что при инжекции однородное распределение может нарушиться, но может, однако, и сохраниться. Полученные соотношения, естественно, относятся к последнему случаю.

Для того чтобы инжектированные носители были распределены по образцу достаточно однородно, необходимо, чтобы их дрейфовая длина была сравнима с длиной образца полупроводника.

Если мы рассматриваем случай тф1, то в формулах следует Тр заменить на тТ Р , а

т 1 1

вместо Тинж написать — • 1инж .

т

В конечном итоге, система уравнений для определения шести неизвестных, характеризующих диод Ганна в режиме умножения тока, а именно:

т Е Е V V I

(11)

имеет следующий вид 4пе 0

Ет - Е =-

|[р(х) - п(х) + пв ]• .(12)

Здесь - время, в течение которого в домене имеет место ударная ионизация. Если это происходит в течение времени пролёта, то и - время пролёта.

Вместо неравенства (1), гарантирующего однородное распределение носителей вне домена, теперь будем иметь

ттр > -

Ь

(9)

4пе о I х I

Vg =- N |[р(х) - п(х) + пв ]• ¿х !>• dx . (13)

(14)

I =

^ Ьв [Ьв

V = V + V =

Г

•пВУпЕ1 +

|_ т V

1+а-

т

РпЬ_ + 4

тх.

т

1 + _я£1

V

РЕ1

упЕ1

УРЩ.

(15)

*

х

р

X

р

Ь

в

в

[ (Е) - ^ ]• йЕ = А

«вер - Пвн -пп 1п~

уф уф уф уф

Е1 Л2 • к3 - кх • к4

кф- к1

кф — кф

"-4 "-2

ПеиУпЕ1 + РенУрЕ1 , * , «

К3

(16)

(17)

Здесь Ет - напряженность поля на вершине домена, - напряжение на домене,

а, =ае

к

(20)

Причем т.к. к <<1, а уп1 и уп2 не сильно отличаются, то а! >> а2.

Известно, что ударная ионизация начинается в диодах Ганна при £к1,5-2-105 В/см [6]. Для этого случая из (18) имеем по порядку величины (£й!,72-105 В/см)

а„

ао1,7 см-1

(21)

Ф Ет йЕ

кф = |

е1 п1

к2 =7Р^(уо + УпЕ)+А I П1

р1йп1

Е "1

Таким образом,

а1 = 101,7 • 1 к '

а2 = 10м • V « 108 / с-1.

2 П2

(22)

(23)

, ф ^йЕ

кф = I — >

Е1 П2

, ф т р2йЕ Р7 р2йп2

к4 = (Уэ + VnE) + Э1 |

Е1 П2

Рвн П2

В приведенных выше рассуждениях было принято равенство времен тр «тп, т.е. мы

приняли для дырок время жизни электронов. Для времени жизни дырок тр имеем

1 4п п'

тр =■

(Р + Р1) • тЩ +(п + п1) •т0

(24)

причем Эп - коэффициент диффузии электронов.

Записанная в (15) величина в является функцией коэффициента умножения а. Но, как отмечалось ранее, теория на самом деле содержит две величины а: а1 и а2. Важно теперь установить связь этих величин с уже имеющимися экспериментальными данными по ударной ионизации в диодах Ганна.

Как показывает анализ, экспериментальное значение этого коэффициента аекс, имеющего значение [5]

10б ( 1,72 •106)

аекс = 10 еХр(----)■-

Е

(18)

связано с упомянутыми а1 и а2 следующим образом

где р1 и п1 - постоянные [7]. Нас интересует случай, когда концентрации электронов и дырок примерно равны, т.е. р « п . Тогда из (24) можно получить

тр =11 + Р4т0„ +(1 + п1

т0р.

(25)

Из-за выполнения условия р « п получается п>пэ, и если пэ«1015 см-3, то для уровней рекомбинации, лежащих ниже дна зоны проводимости на более чем 0,2 эВ и выше потолка валентной зоны примерно на ту же величину, можно слагаемые с р1 и п1 в (25) отбросить. В этом случае

т «т

р п'

т.к. т0 обычно значительно больше тр. Здесь

а = а • V

2 екс п2

т Р - время жизни дырок, когда все уровни рекомбинации заполнены электронами, а

вн

п

э

п

- время жизни электронов, когда те же уровни полностью свободны от них.

Время жизни для электронов

= -

(P + Pi)-Т„ + (n + К)

(26)

При выполнении условия р «п времена т и тп становятся одинаковыми. При этом использованное нами условие нейтральности

п = р + п0 (27)

предполагает, что концентрации рекомбина-ционных центров значительно меньше каждой из величин, входящих в (27).

Таким образом, если имеют место перечисленные выше условия, то к моменту, когда выполняется соотношение между р и п , времена жизни электронов и дырок уже сравниваются и становятся равными времени жизни электронов тП в дырочном полупроводнике, т.е. имеют порядок 10-6 10-8 с.

Уточним важный момент принятой нами модели. Дырки, которые генерируются полем домена, остаются при его движении позади него и, как при инжекции из р - п -перехода, нейтрализуются электронами, притекающими из контакта. Электрон же, рожденный в домене, отстает от него лишь тогда, когда оказывается в долине, где его масса становится большей. В нашей модели порожденные в домене электроны, в основном, немедленно принимают участие в ударной ионизации, т.е. время нарастания их энергии до критической 4 принято нами меньшим, чем время Ь0 / ув пребывания нового электрона в домене

ts<-

Lr

аг1„ с.

(28)

Время же нарастания энергии значительно меньше, т.е. 10-11 ^ 10-12 с.

Выводы

Можно поставить вопрос об определении параметров домена в моменты времени, ко-

гда ударная ионизация отсутствует в нем, причем концентрация дырок в образце не только не равна нулю, а имеет практически ту же величину, что и в случае умножения. Если только эта стадия процесса может быть четко выделена, т.е. остается квазистационарной, то поставленную задачу можно решить на основе метода описания домена в полупроводнике в случае наличия как дырок, так и электронов, который приведен в [8].

Литература

1. Авакьянц Г.М., Степанов А.А. Умножение

тока в двухдолинных полупроводниках типа GaAs // Вестник ХНАДУ. - Харьков: ХНАДУ. - 2„„2. - Вып. 17. -С.113 -115.

2. Авакьянц Г.М., Степанов А.А., Ереми-

на Е.Ф. Умножение тока в двухдолинных полупроводниках типа GaAs. Механизмы формирования S-образной неустойчивости // Вестник ХНАДУ. -Харьков: ХНАДУ. - 2„„3. - Вып. 2„. -С.96 - 98.

3. Авакьянц Г.М., Степанов А.А., Ереми-

на Е.Ф. Умножение тока в двухдолин-ных полупроводниках типа GaAs. Обсуждение применимости принятой модели // Вестник ХНАДУ. - Харьков: ХНАДУ. - 2„„7. - Вып. 39. - С.24 - 28.

4. Авакьянц Г.М., Степанов А.А. Умножение

тока в двухдолинных полупроводниках типа GaAs. Перегрев кристаллической решётки // Вестник ХНАДУ. - Харьков: ХНАДУ. - 2„„8. - Вып. 41. - С. 36 - 38.

5. Bohn P., Horskowitz G. Non-linear space

charge domain dynamics in a semiconductor with negative differential mobility, // IEEE Trans. ED-19, 14, 1972.

6. Шур М.С. Эффект Ганна. - М.: Энергия,

1991

7. Ridley B., Watkins T. The possibility nega-

tive resistance in semiconductors, // Proc. Phys. Soc., 78, №8, 1961.

8. Гельмонт Б.Л., Шур М.С., Диод Ганна с

ударной ионизацией доменами сильного поля // ЖЭТФ, 6„, 2296, 1991.

Рецензент: А.И. Пятак, профессор, д. ф.-м. н., ХНАДУ.

Статья поступила в редакцию 10 февраля 2009 г.

D