CC BY
31
УДК 621.382
УМНОЖЕНИЕ ТОКА В ДВУХДОЛИННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ ТИПА GaAs. ОБСУЖДЕНИЕ ПРИМЕНИМОСТИ ПРИНЯТОЙ МОДЕЛИ
Г.М. Авакьянц , профессор, д. ф.-м. н., ИРФЭ, А.А. Степанов, доцент, к. ф.-м. н.,
Е.Ф. Ерёмина, доцент, к.т.н., ХНАДУ
Аннотация. Предлагается методика описания умножения в движущемся домене сильного поля и один из возможных механизмов формирования участков отрицательного сопротивления на вольтамперной характеристике диодов Ганна, в которой не используется однозонная модель умножения.
Ключевые слова: ударная ионизация, домен, умножение носителей, лёгкие электроны, быстрые электроны, скорость домена.
Введение
Перейдём к обоснованию принятой модели умножения, с учётом того, что в однозонной феноменологической теории домена при наличии умножения тока в нем, имеются сомнительные моменты, хотя все уравнения и вытекающие из них результаты, на первый взгляд, совместимы и непротиворечивы.
Анализ публикаций
До сих пор мы никак не затрагивали вопрос о том, как зависит дрейфовая скорость электронов от поля Е. Примем известную трёхпрямолинейную зависимость Vn (Е) от Е [1]. В этом случае насыщенная дрейфовая скорость электронов Vnн оказывается меньше, чем дрейфовая скорость электронов в относительно слабых полях. При умножении скорость домена растёт и, если вначале эта скорость была близка к УпБ , которая в
свою очередь в слабых полях близка к Упн, то затем с усилением умножения VД должна превзойти Уш .
Тогда, если принимаем известную зависимость Уп от Е . В то же время мы не можем допустить неравенства
Vд > Vш (1)
т.к. электроны в домене тогда будут отставать от домена и выходить из него, а, самое главное, не смогут накапливать энергию в домене для ионизации.
Следовательно, мы приходим к противоречию, состоящему в том, что, допуская умножение, мы получаем в конечном итоге неравенство (1), которое исключает это умножение.
Таким образом, либо однозонная модель оказывается недостаточной для описания умножения, либо нужен какой-то другой подход, исключающий указанные противоречия.
Таким образом, что здесь возникает положение довольно сложное, которое упрощается для некоторых случаев.
Нельзя в формулах (2) и (3) [2] считать Уп величиной Упн, которая фигурирует в трёхпрямолинейной зависимости Уп от Е. Тогда возникает вопрос, что такое Уп, которая не имеет смысла насыщенной дрейфовой скорости электронов.
Цель и постановка задачи
Выходом из всего создавшегося положения является отказ от однозонной модели описания умножения. Мы должны принять во внимание тот факт, что умножаются в основном лёгкие электроны с малой эффективной массой (имеется ввиду конкретный случай с GaAs), находящиейся в долине к = 0.
Возникающие при умножении электроны затем, в основном, движутся в домене с большой эффективной массой, но те быстрые электроны, которые создают электронно-дырочные пары, имеют скорость намного превосходящую скорость домена. Именно эта последняя скорость должна
войти в уравнение (2) [2] Укажем математический путь, который позволит нам получить уравнение задачи.
Расчёт уравнения вольтамперной характеристики (ВАХ)
Уравнения (8) и (9) позволяют описать умножение тока в двухдолинной модели лишь качественно и мы не ставим перед собой задачи извлечь из них какие-либо количественные соотношения. Подход к решению этих уравнений может быть различным.
Заметим сразу, что строгое обоснование феноменологических уравнений может быть получено лишь на пути изучения и решения кинетических уравнений для двухдолинных полупроводников в условиях умножения. Мы же остановимся на методике менее строгой, но наглядной.
Снабдим концентрацию электронов п индексами 1 и 2. Индекс 1 будет указывать на принадлежность электронов к лёгкой долине (это очень быстрые электроны), а индекс 2 будет относиться к электронам в верхней, тяжёлой подзоне. Тогда мы можем написать следующую систему из двух, связанных между собой уравнений:
Представим себе, что междолинными обменами внутри домена можно пренебречь. Тогда из (8) получаем
(1 - ^1 V, ёх
а1 1п
V,
а из (9)
1п2 = const.
(10)
(11)
Уравнение (10) совпадает с использованным нами уравнением (2) [2], но относится только к потоку быстрых электронов, а не к полному потоку 1п .
дп _ I
+ __п! = ал +р2п2 -р^, (2)
дt _х
_п2 _1п2
+---------------= Р1п1 _Р2 п2
_ _х 11 22
(3)
В этой системе отражено, что пары создаются только электронами легкой долины, а, кроме того, идёт постоянный обмен электронами между двумя долинами. Здесь Р1 и Р2 - коэффициенты, характеризующие интенсивность обмена электронами между двумя долинами; а1 характеризует величину умножения. Оба уравнения относятся к области домена и поэтому
_п1 = _У _п_
_t Д _х
_п2 V _п2
~_Г ~ д ~_х
Замечая, далее, что
(4)
(5)
Из (11) следует, что поток медленных электронов из «тяжёлой» долины в домене не претерпевает существенных изменений на протяжении послед-
В другом предельном случае можно считать, что междолинные переходы являются для электронов тяжёлой зоны наиболее интенсивными. Тогда из (9) получается
1п2 = Ыл, где к = ЪИ
А
Р2
(12)
а (8) принимает вид (10), если другие величины в этом уравнении больше тех из уравнения (9), которые там были малы. В (9) Уп2 уже может рассматриваться как насыщенная скорость в трехпрямолинейной зависимости Уп от Е. И если устойчивость домена имеет место при / Vд - Vn2/ < Vд (т.е., как и в случае отсутствия
умножения), то можно рассчитывать, что левая часть (9) действительно будет мала, а соотношение (12) справедливым по порядку величины.
1п1 = ^!1п1 ,
1п2 = Уп2 п2 :
получим вместо (2) и (3):
(1 _ Vд ) ё1п1 = а11п1 — в11п1 + в21п2
Vn1 ёх
V,
V,
(1 _ Уд ) ё1п2 = в21п2 , в11п1
Уп2 ёх Уп2
V,
(6)
(7)
(8) (9)
Итак, уравнение (10), несомненно, имеет область применимости, причём, как показало обсуждение, довольно широкую. Однако оно еще не эквивалентно использованному нами уравнению (2) [2]. Дело в том, что (2) относится к полному потоку электронов, а (10) только к потоку быстрых электронов.
В уравнение (10) входит Уп1, которое всегда
должно быть больше Уд, иначе умножение будет
невозможным. С этой точки зрения уравнение (10) не содержит тех противоречий, о которых говорилось выше. Однако, желательно было бы иметь все же уравнения для полного потока типа
(2) [2] или, во всяком случае, тот результат, вытекающий из него, который представлен решением
(3) [2]. Вот это последнее вполне достижимо. Действительно, решение (3) имеет вид
Jni( x) = J„i(0)exPi
a1dx
(13)
Теперь используем связь между 1п1 и 1п2 уже только в одной точке, в данном случае в точке х = 0 . Эта связь должна быть получена из изучения системы кинетических уравнений, описывающих умножение в двухдолинных полупроводниках. Но в одном случае можно утверждать, что
Jn1
другу.
Jn2 будут пропорциональны друг
Jnl(0) = J2(0) = KJn (0) = rJn
(14)
больше единицы, полученные нами формулы для ВАХ и скорости домена сохраняют свой вид. Следует только при этом считать экспоненту (17) включённой в величину а. Последняя сама, как это показало наше рассмотрение, представляет из себя произведение ка1.
Если подразумеваем под Уп, входящую в наши формулы величину Уп2 - насыщенную дрейфовую скорость электронов в тяжёлой долине, то под а надо понимать величину
V,
(18)
Изложенное не относится к а и Уп в экспоненте, где а = ар Уп = Уп1. А в том случае, когда в а включается и экспонента (17),
Такая связь (или близкая к ней) должна иметь место в том случае, когда функция распределения электронов резко спадает после энергии, равной энергии, необходимой для генерации электроннодырочной пары. Этот результат соответствует большому сечению создания пары, когда почти каждый электрон, набравший энергию, необходимую для рождения пары, тотчас же её теряет и перескакивает в К-пространстве в начало координат.
Итак, используя (14) мы вместо (3) [2] сможем написать
Vn2 x aidx а = а2 = ка1---------ехр]------1
V,
(19)
Эту величину, в отличие от а1 , можно обозначить через а2 .
Выводы
Таким образом, например, формула (26) [2] для ВАХ в развернутом виде теперь записывается так:
Jn1(x) = Kjn верехр j
а1 dx
0 Vn1 - ^
J =-
(15)
Как следует из расчётов, далее заменяем экспоненту на единицу. И поэтому нет необходимости вводить две различные величины а - одну в указанной экспоненте, а другую, входящую в правую часть (4) [2], и, как мы теперь видим, равную а = ка1 . Впрочем, там где экспонента должна быть сохранена, в её показателе стоит именно а1 .
В общем случае (14) может не иметь место. Поэтому представляет интерес рассмотреть более общие случаи, когда, например
Jn1 = Kß(V) Jß
(16)
Из изложенного видно, что в том случае, когда экспонента
L
V,
ехр
x a1dx
0 Vn1 - уд
(20)
dx
Можно не принимать во внимание все наши выкладки на случай, когда к или Kß являются функциями внешнего напряжения.
Литература
1. Кэрол Д. СВЧ-генераторы на гарячих электро-
нах. - М.: Мир, 1987.
2. Авакьянц Г.М., Степанов А.А. Умножение тока
в двухдолинных полупроводниках типа GaAs // Вестник ХНАДУ. - 2002. - Вып.17. - С. 49.
Рецензент: А.И. Пятак, профессор, д. ф.-м. н.. ХНАДУ.
x а1 dx ехр J 1
0 Vn1 -
(17) Статья поступила в редакцию 21 августа 2006 г.
УпЕ\ПД
0
