CC BY
9
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА Том 89 1957 г.
ПРОГРЕВ ТЕЛ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЛУЧИСТОГО ТЕПЛА
(Сообщение первое)
Г. П. БОЙКОВ
В работе рассматривается прогрев тел классической формы при граничном условии типа 2-го рода, когда теплообмен происходит по закону Стефана-Больцмана и лучистый поток симметричен.
Излагается метод зонального (во времени) расчета температурного поля при распространении тепла в одном измерении в предположении, что термические характеристики вещества неизменны.
Даются расчетные зависимости и соотношения, а также методика выбора расчетного интервала времени.
Известно, что при больших температурах источника тепла (приблизительно выше 800°С) передача тепла к нагреваемому телу происходит в основном лучистой энергией по закону Стефана-Больцмана.
Для того, чтобы определить температурное поле в теле при таком теплообмене, необходимо решить систему уравнений:
дТ(вл
дх
дТ(
а
д~Т{
(х-)
д- дх2
Т(х,0) = То
.с,
'П •
т \ < 1 с
Л IV 100
дТ(ОГ~)
Т,
100
дх
= 0.
\ 4
О) (2)
(3)
(4)
Получить решение непосредственно из системы (1) — (4) затруднительно, так как пока еще не найдено пути, который позволил бы удовлетворительно согласовать решение дифференциального уравнения (1) с граничным условием вида (3). В связи с тем, что определение температурного поля, описанного условиями (1)—(4), имеет большой практический и принципиальный интерес, приходится прибегать к искусственным приемам, которые в некотором приближении дают возможность рассчитать прогрев тел под действием лучистого тепла.
Одним из наиболее распространенных приемов решения рассматриваемого вопроса является способ сведения граничных условий типа втефого рода (3) к граничным условиям типа третьего рода путем введения условного коэффициента теплоотдачи излучением. Граничное условие, выраженное законом
Х ^Т =«иал\Тс-Т(ы), (3')
дх
С. Изв. ТП И. т.
33
позволяет получить решение системы (1), (2), (3'), (4) в виде:
со
Т(х-) - Т0 1 V4 2sin р.п
Те - Т0
1
S
п=1
^-f-sin^.cos^
eos ^ >
здесь ctg ^ =
Bi
Bi =
, см. [5], [6]
которое в некотором приближении дает возможность вести практические расчеты.
Предлагаемая методика исследования позволяет иначе подойти к рассматриваемому вопросу и дает возможность несколько более приблизить расчетные данные к практическим. Согласно этой методике, температурное поле в пространстве рассматривается в виде непрерывной функциональной зависимости, дающей плавное изменение функции в зависимости от аргумента. Расчет же температурного поля во времени производится зонально с использованием принципа конечных разностей (см. [9], [10], [12]). Исходными данными при получении распределения температуры служат решения А. В. Лыкова для пластины, цилиндра и шара при постоянном лучистом потоке (см. [6]). Решение, например, для пластины им дано в виде:
(хг-)
Т0 +
gCi
ах
L R
R2 - Зхs 6R
R
со
S
п-1
(-1)
я+1
"я
. COS IХп
R
2 az
(6)
(здесь sin jx — 0).
Взяв выражение (6) за исходное, полагаем, что постоянный лучистый
поток gCl определяется по закону:
Sci —^П'^О
( Тг
100
1 о
100
41
(7)
и действует не на протяжении всего процесса прогрева, а лишь на протяжении малого конечного отрезка времени, равного *с1в Подставив в выражение (6) вместо т, получим распределение температуры по истечении первого отрезка времени от начала прогрева. Здесь же, заменив X на R, получим значение температуры на поверхности пластины, (К).
Имея эти данные, получаем распределение температуры по истечении второго такого же интервала времени путем решения системы:
(х,0)
= То+
дТм
дх
gCi
2
a ti
R
eos \in
дЧ(хг,
дх2 R2 - 3jcs
6R
со
s
+ R >'.(-1)
n+1
R
.e
(8)
(9)
_ еп . С0 дх \
тс \4 (Ш)У-> \ 100 /
100
дТ(0Л) дх
ёс,
= 0
(10) (И)
и подстановкой в полученное решение
т(хл) = г0 4-
ах.
п—1
6/?
2 а~к 2 а-
2 / X \ Ж
соэ! \ьп —г—\.е
ч У-п
Я
<&Сг - ёс)
ах
Л
Л=1
6/?
2 / х
2 •СОБ[
Рп
'е
2 а-
(12)
вместо х значения ^ (см. [1], [2], [6], [12]).
Продолжая аналогичные рассуждения, можно убедиться, что распреде ление температуры в пластине по истечении тп-то момента времени от начала прогрева имеет вид:
• (я2 -3*2)
тт(х)= т0
ат]
ёс, + ёс, + • • -ёс,
61Я
+
п г-1
Рп
2 а'1 ёс, # е~т^
/ 1\ 2 ят,
(вс, - ёс) «=
х
- ёс) _ ^
2 ат1
1> — я7
или в сокращенной записи:
(13)
Тт{х)
ёс-К I
л-1
Тс \-тс
я+1 2
I ат1 У^ ёа
1 К1 ' ёс
ё<
¡=1
- 3x2 6Я2
+
2 1*11
соэ
л;
Я
2 от«
. е
1=т—1 §
ёс
/ -ч 2
-(«-'К
Последнее в критериях подобия1) запишется в форме
ет(Х)=e0 + Ki
i==m ¿'=1
Qc - Q,
m
(1 - ЗА'2)
+
п=1
¡—m —I
£
i=1
n + 1
(-1)
Qc; - Q
2 H-rt
соэ \ьпХ
.«a; Fc
C(i+V
■(яг-Ои-я -Fo
. e
(15)
Для случая „тонких"2) тел (Я/<0,12) вести расчет по выражениям (14) и (15) будет нерационально. В этом случае удобнее пользоваться поня тием средней температуры всей массы тела, которая, например, для пластины определится из соотношения:
и
Т СР
* m
H-f
Tm (х) Т.
. dx =
+
gc.R
ах,
к. Тс
или в критериальном виде:
е^ = в0 + я", •
Ох
t =m
(16)
(17)
Выражения [16] и [17] получены как среднее интегральное от распределений соответственно (14) и (15).
Как видно из зависимостей (14) и (16), при расчете распределения температуры требуется задаваться расчетным интервалом времени Несомненно, что увеличение численного значения расчетного интервала времени может значительно сократить объем вычислений. С другой стороны, увеличение расчетного интервала времени влечет за собой увеличение погрешности, превышение которой сверх допустимой величины снижает ценность расчета.
Предлагаемый способ выбора расчетного интервала времени включает в себя три шага. Первый шаг заключаемся в предварительном определении расчетного интервала времени по приближенной зависимости
РЛ.ТС.Я
gc-a
(18)
где Р — постоянное число, различное для пластины, цилиндра и шара (например, для пластины и цилиндра равное соответственно 0,03 и 0,025).
Второй шаг заключается в проверке полученного из формулы (18) расчетного интервала времени путем оценки приближения с использованием неравенства
1) см. [3], [4], [11], [12].
2) О „тонких" телах см. [7], [8]
где — действительная погрешность расчета, выраженная через лучис-
тые потоки = 8сист__?
8сг
Л/ч) — некоторая функция, обладающая следующими особенностями:
во-первых, эта функция до некоторой степени отражает действительную погрешность расчета приближаясь к ней по своей численной величине;
во-вторых, действительная погрешность расчета всегда меньше или равна этой функции.
Функция / (т^ находится из анализа изменения температур и лучистых потоков на поверхности тела. Найдем эту функцию и докажем, что действительная погрешность (tm^f('z\)•
Рис. 1
Пусть имеем некоторую ломаную кривую У1 = (х) (см. рис. 1), которая обладает следующими свойствами:
1) Перелом кривой происходит через одинаковые интервалы аргумента, имеющие какое-то значение Ах^.
2) При уменьшении численной величины интервала Ах/' до Ах/, &хг и далее в сторону нуля и, таким образом, при увеличении числа этих интервалов в сторону бесконечности, кривая уг = f\ (х) через ряд промежуточных ломаных кривых у2 = /2(-*0; Уз = /з(-*0 и т* Д- стремится к некоторому пределу, который является „истиным" и представляет уже плавную кривую зависимости у = /(х).
3) Каждая последующая ломаная кривая у2 =/г (х); = /¿(х) и т. д. является более близкой к „истинной" кривой у г=/(х) по сравнению с предыдущей и имеет более плавный ход.
4) Образование плавного перехода на месте перелома в любой произвольной точке говорит о том, что и точка с наибольшим ^переломом неда-
лека от состояния плавности, а значит и рассматриваемая кривая недалека от наложения на истинную кривую.
Учитывая все сказанное в пунктах 1—4, рассмотрим отдельно участок рисунка 1, обозначаемый точками:
1'-2'
0-1
/ \
2 (см. рис. 1а).
Из рис. 1а видно, что кривая 0—1—2 является более близкой к истинной кривой, чем кривая 0—V—2', так как о.х стоит по своей величине значительно ближе к а, чем сс^, о чем говорит более плавный ход кривой. 0-1-2.
X
Рис. 1
Очевидно, что степень несовпадения кривой 0—1—2 и истинной кривой может быть оценена из соотношения
tg « — tg а]
Чем меньшее значение имеет это отношение, тем кривая 0—1—2 ближе подходит к истинной и наоборот. Если ломаная кривая состоит из отдельных плавных кривых (см. рис. 16), функциональная зависимость которых известна в первых двух интервалах [у = ср(х); у~ то выражение (V)
может быть представлено через угловые коэффициенты:
их
йх
(Ю
(I <?(Х)Х=АХ1
(1х
Значит, для нашего случая при расчетах изменения температуры, например, на поверхности пластины, зависимость, аналогичная (И^), примет вид:
О)
с1 х
й X
ат
-О
йх
Здесь, согласно выражений (6) и (12),
Тикл) — Т()Л-
оо 2
I & + з
п=1
2Г/?Л)
То+
ах1 1 ах
Т
п — 1
2 Ря
. е
2
. е
ах__.1
/?2 +
со
X
п = 1
"71 /?»
2
поэтому
/ы =
)
ёс>
ОО О ДТ;
2
1 + 2 > <?
п -1
Сравнивая теперь
(?т =
з - ёсг )
2
2
М),
1 + 2 > <?
П = 1
заключаем, что для пластины всегда существует неравенство
3(£с. )
<Р/и <
[1+2£
2 о-
(20)
потому что
ёа — £п Со
100
100
^ ёсист - гп •
Т \ 4 1 С
100
ист 100
(так как Т0—начальная температура тела, а Тистъ—температура на поверхности по истечении некоторого отрезка времени от начала прогрева).
Следует отметить, что ряд от 1 до со в выражениях (14) и (15! (третий член в фигурных скобках) быстро сходится, его значение с увеличением времени становится очень малым по сравнению с двумя первыми слагаемыми в фигурных скобках. Поэтому, начиная с некоторого момента времени (гп > I), им можно пренебречь. Тогда дальнейший расчет, связанный с учетом лишь первых* двух слагаемых в фигурных скобках, значительно упрощается.
Удельный расход тепла для пластины может быть определен по формуле-
Выражения, аналогичные (14)—(21), для цилиндра имеют вид:
(21)
Тт{г) _ Т0 gc.Il ( ах,
1—111
И
х- т.
. 12.
с I
Я2
■2
ёа 1
2 / -ЛЛЫ °\ " я
л о-
^ ъс
о гг:,
.е
^ 1 — 2
г
п 1
1
ь ёс
2
I = 1
ёС; - ёс
(М)
(т - /) \}1п ^
. е
I — тп
еи(/?) = е0 + к11 2Г01 ^ - А- цСт (1 _ 21г-)
I = 1
5
п - 1 1-—т— 1
/ — 1
У-п • ]о О п)
сЬп
т Iх п
- <Эси + п)- е
—(/и—/) [А„ .¿V
(14')
(15')
7" СР лт
К'
! г ■ . а,- =
о
/ == т
г
Тг
О ±_2ёсМ
>■ • Т.. .
втср -= + . ;
г = 1
и ^_ 2
Т/И ^
2
1+2^ *
п — 1
я
г — т /=1
(20')
(21')
Подобные соотношения могут быть написаны и для шара.
На рис. 2 показана кривая безразмерной температуры центра цилиндра
Т(о,яг)
Тс Рис. 2. Безразмерные кривые для расчета прогрева цилиндра.
........— кривая изменения безразмер-
уГ"Г~т~* ной температуры центра цилиндра в с зависимости от критерия Фурье, по-строенная по формуле (15') при кри-терии Кирпичева, равном 0,206 и Ге критерии начальной температуры 0,214;
.— расчетные данные для таких же условий по графикам Шака.
0 6'3$ 107 1,60$ ¿/4 2,67$ 3,21 374$ * ц
(пунктирная линия), построенная по формуле (15') для критериев Кь — 0,206; в 0 = 0,214.
М Для сравнения сплошной линией показана безразмерная расчетная кривая, построенная по графикам Шака для тех же условий.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дидкин В. А. и Кузнецов Н. И.,—Справочник по операционному исчислению,
М.—Л., 1951.
2. КарслоуХ. С. и Эгер Д. Т.—Операционные методы в прикладной математике, ГИТТЛ, М.. 1948.
3. Иванцов Г. П. —Анализ подобия нагрева металла в муфельной печи, Сборник „Промышленные печи", Металлургиздат, 1953.
4. Кирпнчев М. В., Михеев М. А., Эйгенсон Л. С.—Теплопередача, ГЭИ, М., 1940.
5. Лыков А. В.—Теплопроводность нестационарных процессов, ГИТТЛ, М.—Л., 1948.
6. Лыков А. В.—Теория теплопроводности, ГИТТЛ, М., 1952.
7. Немчинский А. Л.—Тепловые расчеты термической обработки, Судпромгиз, 1953.
8. Иванцов Г. П.—Нагрев маталдов, Металлургиздат, М., 1950.
9. Тайц Н. Ю.—Технология нагрева стали, Металлургиздат, М., 1950.
10. Ш в а б В. А. Нестационарные температурные поля в твердых телах при изменяющихся граничных условиях, Вестник инженеров и техников, 3, 1935.
11. Эйгенсон Л. С-—Моделирование, ГИ „Советская наука", М., 1952.
12. Бойков Г. П.—Прогрев тел под действием лучистого тепла (диссертация), Томск, 1955.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Т—переменная температура тела, °К. Тс — температура источника тепла, °К. Т0 — начальная температура тела, °Л\
ёс — лучистый поток от источника тепла в пустоту при степени чер-
ккал
ноты системы ---.
м2 час
gc. _лучистый поток на поверхности тела в итый момент времени, на-
ккал
правленный внутрь тела,--.
м2 час
х — время, час.
х, г — текущие координаты, М.
Я — половина толщины (радиус) тела, м.
. ккал
А.— коэффициент теплопроводности,
м час0
— приведенная степень черноты системы.
ккал
С0 — коэффициент излучения черного тела,
а
м? час°Ю ккал
изл- — коэффициент теплоотдачи излучением,---.
м2 час'"
}ьп — корни характеристических уравнений: БШ^ — О; J^ (у.) = О, а — коэффициент температуропроводности, н2\час.
л / =--критерии Кирпичева.
X. Тс ах
/V—--критерий Фурье.
К1 Т
0 —--критерий безразмерной температуры.
Тс
дс■ — —критерий безразмерного лучистого потока.
ёс X
X— ——--критерий безразмерной координаты.
Н
