CC BY
18
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО"
ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА Том 89 1957 г.
ПРОГРЕВ ТЕЛ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЛУЧИСТОГО ТЕПЛА
(Сообщение второе)
Г. П. БОЙКОВ
В работе рассматривается прогрев тел классической формы при граничных условиях типа 2-го рода, когда теплообмен происходит по закону Стефана-Больцмана и лучистый поток симметричен.
Излагается метод зонального (во времени) расчета температурного поля при распространении тепла в одном измерении с учетом переменности термических характеристик вещества.
Даются расчетные зависимости и соотношения.
В сообщении первом по этому же вопросу (см. сообщение первое) были даны соотношения, дающие возможность рассчитать температурное поле при прогреве тел классической формы. В этих соотношениях полагалось, что термические характеристики вещества X, с, е не зависят от температуры и остаются неизменными на протяжении всего процесса прогрева. Такое допущение в значительной мере снижает практическую ценность полученных результатов, несмотря на их математическую строгость, так как в действительности термические характеристки вещества X (теплопроводность), с (теплоемкость), е (степень черноты поверхности) не остаются постоянными в процессе прогрева тела, а как-то изменяются с изменением температуры последнего. Поэтому в предлагаемой работе делается попытка дать метод расчета температурного поля, позволяющий до некоторой степени учесть переменность термических характеристик вещества в функции от температуры тела.
Пусть имеем неограниченную пластину толщиною 2/? при температуре Т0.
Предположим также, что заданы законы:
*=/*(*) (а)
с = Ш (б) е=/. (*) (в)
В первый момент времени пластина помещается между двумя неограниченными параллельными источниками тепла, температура которых изменяется по закону
ТС=Ш (г)
Найдем распределение температуры по толщине пластины через различные моменты времени. Определяем вначале распределение температуры по истечении достаточно' малого отрезка времени от начала прогрева, для чего предварительно находим:
*1=Л (¿о) )
^ = и (0),
еЛ1 = £2)
которые считаем неизменными на протяжении этого первого отрезка времени, после чего решаем систему уравнений:
дТ(х,ч) _ д*Т(х,ъ) — а1в -
дх
О-. ' Ле'-
Г(лг,0) = Г0;
V 100 У \ 100
дТ(0, т) ,
Г,, V
дх
Решение системы (1)—(4) имеется в литературе (см. [5], [6] ) в виде:
0) (2)
(3)
(4)
gc¡■
а,т /?»- Зл:2
Я 6Я
к п
п=1
' соэ | ) е Р2п ^
Распределение температуры по истечении первого интервала времени от начала прогрева будет
Т1(х)=Т0 +
Есг
а,-с, _ + (-1) " + 1 2
П=\
Я 6И
соэ ^
* \ 'К Я )
2 сг,т,
• 6?
Ф)
Используя выражение (О), находим температуру на поверхности пластины
П — 1
и среднюю температуру всей массы пластины
о
установившиеся по истечении первого отрезка времени Т1 от начала прогрева. Далее, используя соотношения (а), (6), (в), (г), находим
б! =№(/?)]; я 2 — /а (^2) С г) гп= /м
Тс^ПЬ 1).
которые считаем неизменными на протяжении второго такого же интервала времени
Определим теперь температурное поле в пластине по истечении второго промежутка времени тп для чего решим систему уравнений
Т(х9о)=Тс
дТ(х) т) а,х!
а.
д27Ч*/0
дх2
Я
«2-3х* + /?У (-1)п + 1
6/?
(5)
/7=1
О
(X \
Л
(6)
<?Т(/?,т) _ в -С0
юо / V юо
дТ(о, т)
0,
(7) (В)
СО
Применяя преобразование Лапласа вида Т7(я) = ^ Т(х, т)^-5". ¿т к диф-
о
ференциальному уравнению (5) и учитывая (6), получим:
С ( х
Г'СМ)
где
5 , Л Бх2
— ---1--
а2 а2
а>
соз ( 1 = 0, (9)
^ /Г
5 =
6\.Я
С
X
со
Л=1
Л + / О о
(-1) ——.е-К-ц-
К
Применяя преобразование Лапласа вида
со
Ф(Б) - § Т(х, 5)
-5л- ,
.е Ах
1) См. [1], [5], [6], [12].
к выражению (9) после ряда алгебраических преобразований, будем иметь:
Ф (5, з) =
5-Т(о,8)
Б2
(уЧ)
+
Т'(0,5)
52
УЗ, V
«2
5
5 +1'/ -к
С
а->
Рп
В . Г(3) а, 53
П
(10)
V
(VI
Применяя к выражению (10) формулу обращения Римана-Мелина вида
—1
0 + 1 со
1 г
= 1=Г- / •■'Ю-'«.
найдем
+
+
2а,
С
соэ ^
I)
в2
«2 , / V
V Я /
где (Л2) « (52) — постоянные, определяемые из условий (8) и (7). По условию симметрии (8) В2 = 0.
Из граничного условия (7) находим:
л2 =
^ -25/?Х2
Решение для изображения теперь представится как
Т(х,з)
А , Вх2 . 2а,- В
соэ
+
+
а2
(Ч)
+
. л:
(Н)
/— * ^— Я )
а2 \\/ а2 !
Применяя обратное преобразование к изображению (11) и заменяя Л, В, С их значениями, найдем оригинал в виде:
Т{х,*)=Тс
К
/?2 - 3X2
Я
61?
и
гг> 2
+* >:<-1)в+'
о Г/2
2
_ и2 _ай
х \ ■ п 1 Л ^
соэ I Рп -¡^ )-е 'е
+
ёс
И
Я2 - Зх2
п = 1
о
У-" к п
. соэ
11 611
+
_!Х 2 «
(12)
Подставив вместо т значение после преобразований, получим распределение температуры по истечении второго отрезка времени от начала прогрева, так же равного
ёег + а _!±\-8*. К*- Зх'2
С2
Т2(х) = Т0 + ^ к
Х2 6Я
+
1)«
п=1
+ 1'—• Со5
V
. е
а 2 / а,-, ад \
§с< _£а . ^
Х1 Х3
— и.
2 а.
(13)
Используя выражение (13), находим температуру на поверхности пластины
/? \ с2/ 3 Х2
8 а
. е
я2
£9
-. с , ^ ф / - I -
хх х 7 V х2
и среднюю температуру всей массы пластины
со п = 1
- V-2 1
Ря
О
которые установятся (от начала прогрева) по истечении второго интервала времени, равного
Далее, используя соотношения (а), (б), (в), (г), находим Х3; с.6; а3; 7^; которые считаем неизменными на протяжении третьего такого же
отрезка времени Затем, решая опять соответствующую систему дифференциальных уравнений, определяем Тг (л;)* и т. д.
Проделав аналогичные рассуждения для 7"4(л); Т5{х), убеждаемся, что распределение температуры по истечении любого (/я-го) момента времени представится соотношением:
¿=т
_ То + _ -
Тс Тс \'ТС ' 1 /?2 ¿якёс С-1 ёс " "кт
1—т
со _ _
¿Л \ я I
п — 1
¿=т
ёс ' ^ У \ ' Ь
¿=т
_ М • • •
* Г "
V V-!) Г -I Г
Здесь и gc взяты при т = 0.
В критериальном виде** выражение (14) запишется как
/ — т
ни = н0+к1 {/у ^ ■ с, - <?,т • ля (1 - з х2)+
/ = 1
¿—гп
Ос-е-Ъ 2*" -(Ос-¿=1
/ — т
Ос.Лг).«-|Л" 2 Го> - ((^/л., - сзСа-л8).
I = 2
-----{(¿с („-!)• Л (» - V - Q ^ Л т) <? ] } (15).
со
Следует отметить, что ряд £ в выражениях (14) и (15) (третий член в фи-
п - 1
гурных скобках) быстро сходится. Поэтому, начиная с некоторого момента времени (т > 1), им можно пренебречь и дальнейший расчет вести с учетом лишь первых двух членов в фигурных скобках, что значительно его упрощает.
Примечание: Если в выражениях (14) и (15) положить — л2 = . ■ -= . . . и С1 = с2 = • • - С„г, то последние примут вид расчетных формул для случая постоянных термических характеристик (см. сообщение первое).
*Сч. также [9], [10].
**См. [4], [11], [12].
ь V, (
-1)
п+1 2
2
Рп
С05 {рп.Х)
п-1
/ — т
Если прогреваемая пластина относится к классу „тонких" тел*(/^<^0, 12), имеющих незначительный температурный перепад между поверхностью и срединой тела, то более целесообразно вести расчеты по средней температуре тела, определяемой из соотношения
Я I -т
тч_ = А Г1»(■*) • Лх = I»4 V % А
Те к ] тс тс К-Тс' & ¿А2с ' Су
О 17= 1
(16)
или в критериальнои форме
/—т
♦V" = в«+ ^ дС/ • с¿; . (17)
Удельный расход тепла на прогрев пластины может быть определен по формуле
1=т
^—г У. Ее, • 08)
2
'.У
* 1—1
Для правильного выбора расчетного интервала времени ^ (см. сообщение первое), например для пластины, требуется выполнить следующую последовательность:
1. Предварительное определение расчетного интервала времени по приближенной зависимости
о,оз-V 7;-я
(19)
2 Проверка найденного из зависимости (19) расчетного интервала времени путем оценки приближения, выраженной неравенством
сг _ д. ■ 3 (
Сист < , а2 -V-V/-г (20)
- гт ^ I _ ^ 1 __ 2 ^ >
Шс,
ёс:'
1 + 22
П = 1
здесь — действительная погрешность расчета.
Не исключена возможность, что численный результат правой части неравенства (20) может оказаться отрицательным числом (частный случай, зависящий от законов вещества X =/(£); с = ф (¿), а также от критерия
а т
). В этом случае знак минус можно не принимать во внимание,
Я2
т. е. полученное значение считать положительным, а под величиной <рЛ2 в левой части неравенства понимать отношение <?т — -8сист
Выражения, аналогичные соотношениям (14) — (20), для цилиндра имеют
вид:
¿—т
Тс Тс К'ТС I Я2 Авк^с Ъ 4 gc Чп
Ь—1
1) 0 „тонких" телах см. [3], [7].
4. И:1В. ТПИ, т. 89 49
oo
s
J,
R2I v-lJobn) "°Vn R ti—î
gç,
L gc
i—m _ n V
P 2 ¿k 1V
• e i~i
m — I
2<
i=i
a <î+K) 1
SaM Sc{i±1)-i~[t.n ^ q,
• e A." :r 1
gc-Xi gcV'-H)
i
i~m
e^t^ + iii^^Q^r^ QCmA„ ■ (1— 2r3)
issm
VI 2
7ï=i
¡V-A) 0An)
Aiî^/I " r) .
1=1
i~m--I
S'
K—m—i
Q,A/-QW • A(i+/) ) .g H
(15')
IslH-^1. Ç r Tm{r) • dr =
n /?» J
i—m
T, A-2 ^L
Tc ^ \-Tc R- 2mà
/=i
gcj_ _ _£i
(16)
i~m
e= + 2KC'FfK ^ ;
(17')
i—m i=i
_ 0,025V 7y#
т
а<
§С1 ёй
1
С
а,
8*
а Г-1
п=1
(20')
Аналогичные выражения могут быть написаны и для шара. На рисунках 1, 2, 3, 4 показан прогрев цилиндра при различных условиях. Зависимости X (¿) и с~/с(0) заимствованы из работы А. Л. Немчинско-го [7]. Опытные данные взяты согласно [2], [7], [8].
Рис. 1
Прогрев цилиндра из шарикоподшипниковой стали
(1~125 мм
— —.---расчетные данные температуры на поверхности по формуле № 14' с учетом переменности термических констант вещества при еП'Со = 4. _ — — — расчетные данные температуры на поверхности по формуле № 14' без учета переменности термических констант вещества при £П'С0 — 4. _ расчетные данные температуры на поверхности по таблицам Рассела при аизл = 230. ..... опытная кривая температуры на поверхности по данным Доброхотова Н. Н.
ШЗ
шз
/073 973
т
773 673 571 473 373 273
у .
и» />
4 г
//
ч
'/л'
н №
/у
тз
ш
4213
913
813 773 673 573 473 373 Х73
' 1 1 I | ; Г"
1 А, *
1 I 1 \ /
! | / ✓ ,4
// / У
1//1
/!
1
Г 1
Г \ (.
'Мин
Рис. 2. Прогрев цилиндра из углеродистой стали
(0,4о/оС) <1 — 25 мм
------расчетные данные средней температуры всей массы тела по формуле № 16' с учетом переменности термических констант вещества при ел.С<? = 3, 8. -----расчетные данные средней температуры всей массы тела по формуле № 16' без учета переменности термических констант вещества при ел.Со = 3, 8. _расчетные данные средней температуры всей массы тела по конвективной формуле А. В. Лыкова при а изл = 210. .... опытная кривая средней температуры всей массы тела по данным В. Н. Соколова.
673 573 ^75
373 273
Т« Т) 71
5-- | — - ' -
> -
/*
11 г
—/ Г ж • Ь/
V
ь- 1
г
мин
О 10 20 30 40 50 60 70 ВО 90 /00 но
Рис. 3. Прогрев цилиндра из стали 9Х, (1 — 300 мм
— — — расчетные данные температуры на поверхности по формуле № 14' с учетом переменности термических констант вещества при ел.Со = 4.
—-----расчетные данные температуры на поверхности по формуле № 14' без учета переменности термических констант вещества при ел'Со = 4.
_расчетные данные температуры на поверхности
по графикам Д. В. Будрина при аи3л = 220. . . . . . опытная кривая температуры у поверхности цилиндра по данным В. М. Дегтярева.
Ш5
Т(0Л) 7Г.
773
673 573
т
373
т
и г
? И- ' ' * *
Г 4
//
А /* г / щ
/// у
/ /
Г Г
/
J I 1
*и
мин
/о 10 30 ЬО 5~0 60 70 80 90 100 //¿7
Рнс. 4. Прогрев цилиндра из стали 9Х, <1 — 300 мм —---расчетные данные температуры в центре по формуле № 14' с учетом перехченности термических констант вещества при ея.Со =4.
----расчетные данные температуры в центре по формуле № 14' без учета переменности термических констант вещества при вП'Со~ 4.
_расчетные данные температуры центра по формулам и таблицам Хейлиг енштедта при о. изл == 225. .... опытная кривая температуры центра по данным В. М. Дегтярева.
ЛИТЕРАТУРА
1 Дидкин В. А. и Кузнецов Н. И. — Справочник по операционному исчислению ■ГИТТЛ, М.-Л., 1951.
2. Дегтярев В. М.—Скоростной нагрев при термической обработке изделий крупных ■сечений, ГНТИМЛ, К.—М., 1953.
3. Иванцов Г. П. — Нагрев металлов, Металлургиздат, М., 1948.
4. К и р п и ч е в М. В., Михеев М. А., Э й г е н с о н Л. С. — Теплопередача, ГЭИ, М., 1940.
5. Л ы к о в А. В.—Теплопроводность нестационарных процессов, ГИТТЛ, М.—Л., 1948-
6. Лыков А. В. — Теория теплопроводности, ГИТТЛ, М., 1952.
7. Н е м ч и н с к и й А. Л. — Тепловые расчеты термической обработки, Судпромгиз, 1953.
8. Соколов В. Н. — Исследование нагрева кузнечных заготовок, Сборник статей под редакцией К о п ы т о в а В. Ф.; Нагрев стали и печи, Металлургиздат, М., 1949.
9. Т а й ц Н. Ю. — Технология нагрева стали, Металлургиздат, М., 1950.
10. Шваб В. А. — Нестационарные температурные поля в твердых телах при изменяющихся граничных условиях, Вестник инженеров и техников, 3, 1935.
11. ЭйгенсонЛ. С.—Моделирование, ГИ „Советская наука", М., 1952.
12. Бойков Г. П.— Прогрев тел под действием лучистого тепла (диссертация), Томск 1955.
