Прогнозирование в системе геологического обеспечения направленного формирования техногенных месторождений Текст научной статьи по специальности «Математика»

© В.А. Ермолов, В.П. Зервандова,

А.С. Курчевский, 2004

УДК 550.8

В.А. Ермолов, В.П. Зервандова, А. С. Курчевский

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ В СИСТЕМЕ ГЕОЛОГИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ НАПРАВЛЕННОГО ФОРМИРОВАНИЯ ТЕХНОГЕННЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ

Семинар № 1

Система комплексного прогнозирования геотехнологических параметров отходов рудообогащения основана на использовании следующих методологических принципов: целевой направленности прогнозирования; системности и типовости разработки; совместимости математического и программного обеспечения; унификации номенклатуры показателей качества техногенного сырья; динамичности организации информации, используемой при прогнозировании.

Целевой подход к прогнозированию гео-технологических показателей направлен на повышение уровня целенаправленности формирования качества, ориентации прогнозирования на обеспечение требуемого уровня качества сырья, поступающего в техногенный массив.

Системность разработки обусловливает переход от решения отдельных задач прогнозирования к реализации комплекса взаимосвязанных и взаимообусловленных прогнозов показателей по уровням формирования и периодом управления.

Типизация общесистемных методических решений в условиях разнообразия горногеологических обстановок техногенных массивов, организационно-технологических схем формирования техногенных массивов, а также технологий их последующей разработки позволяет в каждом конкретном случае генерировать необходимую структуру системы прогнозирования в зависимости от специфики горнодобывающего предприятия.

Большой объем оперативных и ретроспективных данных, используемых при прогнозировании, необходимость адекватного описания изменчивости геотехнологических, физических и механических параметров, характеризующих состояние техногенного массива, требуют применения эффективных математических методов, автоматизации информации с использо-

ванием современных компьютерных технологий. При этом информационное обеспечение системы должно отвечать требованиям комплексности, универсальности и гибкости разработанных методических решений.

В зависимости от цели прогнозирования система должна включать следующие типы прогнозов:

оценочные (получение оптимальных оценок показателей в заданных границах горногеологических объектов);

плановые (оперативные, тактические, стратегические) - получение оптимальных оценок показателей по направлениям замыва техногенных массивов;

предупреждающие (распознавание ситуации по обогатимости техногенного сырья).

Прогнозирование на основе моделей сезонных динамических рядов

Вопросы прогнозирования показателей качества минерального сырья на основе моделей динамических рядов весьма подробно рассмотрены в работах В.В. Ершова, А.С. Дремухи,

В.А. Ермолова, О.Ф. Володарского [1-5]. Однако, как показывает практика, динамические ряды часто обладают сезонной периодичностью, что обусловлено как закономерностями размещения показателей качества на коренных месторождениях, так и закономерностями формирования техногенных массивов.

Когда мы имеем дело с рядом, проявляющим сезонные особенности с известным периодом 8, полезно представить данные в виде таблицы, состоящей из 8 столбцов, как, например, табл. 1, содержащая логарифмы данных о концентрации золота. (При анализе временных рядов этого типа часто переходят к логарифмам, поскольку сопоставимыми при разных объемах добычи или переработки могут быть процентные флуктуации.)

Структура табл. 1 подчеркивает, что в периодических данных важен не один, а два

Подготовка модели УУі::.і = (1-вВ)(1-0В12)а1 к ряду Є: изолинии S(& &); заштрихована 95 %-я доверительная область

временных интервала. В этом примере эти интервалы соответствуют месяцу и году. Если рассмотреть с этой точки зрения табл. 1, то сезонный эффект должен проявиться в ней так: наблюдения за какой-либо месяц (скажем, апрель) некоторого года должны быть связаны с наблюдениями за тот же месяц предыдущего года. Пусть 1-е наблюдение ъ4 относится к апрелю. Тогда мы можем связать это наблюдение с наблюдением в предыдущем апреле моделью вида

ФВ )У = 0В )а, (1)

где 8 = 12, V ж = 1 — В“ и Ф(В8), 0(В8)— полиномы В8 степеней Р и Q соответственно, удовлетворяющие условиям стационарности и обратимости. Подобным образом модель

ф( в" ^ Dzt_l =©(В' а—1, (2)

может быть использована для связи наблюдений за март этого и предшествующего года и т.д. для любого из 12 мес. Кроме того, обычно, оказывается разумным предположение, что параметры Ф и 0, содержащиеся в этих ежемесячных моделях, примерно одинаковы для всех месяцев.

Ошибки а,а — ... этих моделей не обязательно должны быть некоррелированы. Поэтому можно ожидать, что а в (1) связано с

а — в (2), с а—2 и т. д. Следовательно, чтобы учесть эти связи, мы вводим вторую модель ф( В)Ч = в( В)а (3)

где ах — белый шум, а ф(В) и 0(В) полиномы В степеней р и q соответственно, удовлетворяющие условиям стационарности и обратимости; V = V1 = 1 — В .

Подставляя (3) в (1), получаем окончательную общую мультипликативную модель ф(В)Ф , (В‘ ^ ' V Dzl =вч (В)0 е (В" )а, (4)

где в этом частном примере 8 = 12. Индексы р, Р, q, Q (4) были введены, чтобы напомнить читателю о порядках различных операторов. Говорят, что результирующий мультипликативный процесс имеет порядок (р, (1, q)x(P, Б, Q). Аналогичные рассуждения можно использо-

вать для получения моделей с тремя и более периодическими компонентами, учитывающими многообразие сезонных явлений.

Построение моделей сезонных рядов включает несколько этапов - идентификация, оценивание и диагностическую проверку моделей.

Идентификация. Идентификация несезонного процесса ПСС(0, 1, 1) опирается на тот факт, что после взятия первых разностей автокорреляции для всех задержек, больших единицы, равны нулю. Для мультипликативного процесса (0,1,1)х

х(0,1,1)12, ненулевые автокорреляции ^12Zt соответствуют только задержкам 1, 11, 12 и 13. Действительно, эти автоковариации равны

Г0 = (1+£2)(1+0>2 , ух =—в{1 + 0 ,

Л1 =«Э^а2 , (5)

У12 = —0(1 + ^2)ста2 ,

713 = Я^а2

В табл. 2 приведены выборочные автокорреляции логарифмированных данных динамического ряда по Аи для

a) исходного прологарифмированного

ряда Zt,

b) ряда Zt, полученного из (а) взятием

разностей с шагом в месяц,

c) ряда V12Zt, полученного из (а) взятием

разностей с шагом в год,

1) ряда VV12 Zt, полученного из (а) взятием разностей через месяц и через год.

Автокорреляции ъ велики и не затухают при больших задержках. В то время как взятие простых разностей в общем уменьшает корреляцию, сохраняется очень сильная периодическая компонента. Об этом свидетельствуют очень большие корреляции при задержках 12, 24, 36 и 48. Взятие разностей с периодом 12 приводит к корреляциям, стабильно положительным, а затем, стабильно отрицательным. Наконец, взятие комбинированных разностей '^12 заметно уменьшает корреляцию всюду.

В предположении, что модель имеет вид (4), дисперсии выборочных автокорреляций

для больших задержек аппроксимировались 1 + 2р2 + рЦ + рр2 + р^)

формулой Бартлетта, которая в этом случае уаг[г4] м ~

имела вид

, к > 13 (6)

Заменяя р в (6) выборочными корреляциями и полагая п = 144-13 = 131, где п = 131

— число разностей VV12 Zt, получаем стандартную ошибку ст(г) и 0.11.

Предварительные оценки. Как и для несезонных моделей, приравнивая наблюденные корреляции их математическим ожиданиям, можно получить приближенные оценки для параметров 0 и 0 . Подставляя выборочные оценки г1 = -0,34 и г12 = -0,39 в выражения

— 0 —0

Рі =

1 + в2

Рп

получаем грубые оценки 0) и 0.39 и

0 и 0.48.

Оценивание. На рис. 1 показаны изолинии суммы квадратов 8(0,0) для данных динамического ряда (О) Аи, к которым подгонялась модель (4); там же показана соответствующая 95 %-я доверительная область. Оценки наименьших квадратов очень

близки к 0 = 0.4 и 0 = 0.6 . Значения 8(0,0) в узлах сетки были вычислены по методике, описанной в работах [6,7].

В настоящем примере можно приближенно записать

^,0 = (0—00 ) Х1,, + (0 — 00 ) + а, .

Действуя таким образом и пользуясь в качестве начальных значений предварительными оценками 0) = 0.39 ,0 = 0.48, полученными по выборочным автокорреляциям, в результате трех итераций достигнуты значения параметров с точностью до двух знаков после запятой, удовлетворяющей все практические требования. Выборочная дисперсия

л 2 3

остаточных ошибок равна о = 1.34-10' .

Матрица, обратная матрице сумм квадратов и произведений х, полученная на последней итерации, используется для вычисления стандартных ошибок оценок. Оценки наименьших квадратов и соответствующие стандартные ошибки равны 0 = 0.40 ± 0.08, 0 = 0.61 ± 0.07.

Диагностическая проверка

Адекватность модели устанавливается путем анализа остаточных ошибок после подгонки модели.

Проверка по автокорреляциям. Выборочные автокорреляции остаточных ошибок

«, = УУ122, + 0.40«,_1 + 0.61«,-12 - 0.24а,_п

приведены в табл. 3.

Некоторые автокорреляции кажутся довольно большими по сравнению с верхней границей их стандартных ошибок, в особенности велико значение г23 = 0.22, в 2.5 раза превышающее эту верхнюю границу. Однако следует ожидать, что среди 48 отклонений могут встретиться и большие отклонения.

Общая проверка осуществляется при по-

мощи статистики

которая

приближенно распределена как х с 46 степенями свободы (подгоняются два параметра). Наблюденное значение Q = =131-0.2726 = 35.7, и, если данная модель верна, значений Q, больших этого, следует ожидать в 86 % случаев. Эта проверка не дает никаких свидетельств о неадекватности модели.

Прогнозирование.

Способ разностного уравнения. Прогнозы удобнее всего вычислять прямо из самого разностного уравнения.

Поскольку

к=1

гґ+г гґ+і_1 + 2ґ+і_і2 гґ+і_1з + «,+і 7^

_0«(+1-1 _ 0«+1-12 + в0«і+1 -13

после подстановки 0 = 0.4, 0 = 0.6 получаем прогноз с минимальной среднеквадратичной ошибкой на момент 1 с упреждением I:

г,(1) = [21+1 -1 + 2І+1 -12 _ г,+1-13 + «,+1 _ (8)

-0.4«,+1 -1 _ 06а,+1 -12 + 0.24«,+1 -13]

Тогда [г,+і] = Е[г,+І|0,0,г,,г,_1,...] является условным математическим ожиданием 2і+і в момент 1. В этом выражении параметры считаются известными точно, и ряд Ъ, 2і_1, ... предполагается известным достаточно далеко в прошлое.

Поэтому, чтобы получать прогнозы заменяем неизвестные г прогнозами, а неизвестные а

— нулями. Известные а — это, конечно, уже вычисленные ошибки прогноза на шаг вперед, т. е. «, = г, _ г,-ДГ).

Например, для получения прогноза на три месяца вперед имеем

_0.4«, +2 _ 0.6«,_9 + 0.24а,-ю

Беря условные математические ожидания в момент 1, получаем

г, (3) = г, (2) + г,-9 _ г,-10 _ 06«,-9 + °.24«,-10 ,

т.е.

г,(3) = г,(2) + -9 _ г,-10 _

0.6[г,-9 _ г,_10(1)] + 0.24[г,-10 _ г,-11(1)]

Следовательно,

г,(3) = г,(2) + 0.4г,-9 _ 0.76г,-10 +

+0.6 г,-10(1)] - 0.24 г,-11(1)] '

Здесь прогноз выражается через предыдущие ъ и предыдущие прогнозы г . Следует помнить, конечно, что, как и все предсказания, получаемые из общей линейной стохастической модели, прогнозирующая функция подстраивается к данным. Когда происходят изменения в сезонных явлениях, они соответствующим образом отражаются в прогнозе. Если прогноз на месяц вперед дает завышенное значение, у всех более отдаленных прогнозов на тот же момент времени существует тенденция к завышению. Этого следовало ожидать, потому что ошибки прогноза на один и тот же момент времени с различными упреждениями сильно коррелиро-

ваны. Конечно, прогноз далеко вперед, скажем на 36 мес., неизбежно может содержать значительную ошибку. Однако на практике первоначально отдаленный прогноз будет непрерывно корректироваться, и по мере уменьшения упреждения будет достигаться все большая точность.

Описанная процедура прогнозирования устойчива к умеренным изменениям значений параметров. Так, если мы используем вместо 0 = 0.4 и 0 = 0.6 значения 0 = 0.5 и 0 = 0.5, прогнозы не сильно изменятся. Это верно даже для прогнозов на несколько шагов вперед, например на 12 мес.

Выводы

1. Система прогнозирования геотехноло-гических параметров отходов рудообогаще-ния, предусматривающая методологические принципы целевой направленности прогнозирования, системности и типовости разработки, совместимости математического и программного обеспечения, унификации номенклатуры показателей

качества техногенного сырья и динамичности организации информации, может быть достигнута применением моделей обособленных, взаимосвязанных и сезонных динамических рядов качества техногенного сырья.

2. Разработана методика и программное обеспечение моделирования стохастических мультпликативных моделей сезонных динамических рядов, учитывающих цикличность (сезонность) формирования техногенных

массивов, характер стационарности или не-стационарности динамических рядов качества. Методика включает в себя идентификацию модели, предварительное и эффективное оценивание параметров модели, ее диагностическую проверку. Прогнозирование на основе сезонных моделей повышает точность прогнозирования на 15-25 % по сравнению с моделями, не учитывающими неста-ционарность процесса формирования качества или сезонность формирования техногенного массива.

1. Ершов В.В. Геолого-маркшейдерское обеспечение управления качеством руд. - М.: Недра, 1986. 261 с.

2. Ершов В.В., Ермолов В.А. Геолого-

маркшейдерское управление качеством и запасами минерального сырья. - М.: МГИ, 1989.

3. Дремуха А.С., Ермолов В.А. Геологическое обеспечение управления качеством руд при проведении рудоподготовительных процессов // Проблемы горнопромышленной геологии. - М.: МГИ, 1990.

4. Ермолов В.А., Месхи Н.Ж. Динамическое моделирование техногенных образований в процессе их форми-

----------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

рования // Горный инф.-аналит. Бюллетень. - М.: МГГУ. - 1995. - Вып. 5.

5. Володарский О.Ф. Исследование изменчивости и прогнозирование качества руд при оперативном управлении подземной добычей. Автореф. дисс. на соиск. уч.степ. канд. техн. наук. - М., 1979, 17 с.

6. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. - М.: Мир, 1976.

7. Закс Л. Статистическое оценивание. - М.: Статистика, 1976.

— Коротко об авторах

Ермолов Валерий Александрович — профессор, доктор технических наук, Зервандова В.П. - инженер,

Курчевский А.С. - аспирант,

Московский государственный горный университет.

Таблица 1

Натуральные логарифмы месячных концентраций Аи (мг/т) в хвостохранилище Вяземского ГОКа (ряд О)

Годы Янв. Февр. Март Апр. Май Июнь Июль Авг. Сент. Окт. Нояб. Дек.

1993 4.718 4.771 4.883 4.860 4.796 4.905 4.997 4.997 4.913 4.779 4.644 4.771

1994 4.745 4.836 4.949 4.905 4.828 5.004 5.136 5.136 5.063 4.890 4.736 4.942

1995 4.977 5.011 5.182 5.094 5.147 5.182 5.293 5.293 5.215 5.088 4.984 5.112

1996 5.142 5.193 5.263 5.199 5.209 5.384 5.438 5.489 5.342 5.252 5.147 5.268

1997 5.278 5.278 5.464 5.460 5.434 5.493 5.576 5.606 5.468 5.352 5.193 5.303

1998 5.318 5.236 5.460 5.425 5.455 5.576 5.710 5.680 5.557 5.434 5.313 5.434

1998 5.489 5.451 5.587 5.595 5.598 5.753 5.897 5.849 5.743 5.613 5.468 5.628

1999 5.649 5.624 5.759 5.746 5.762 5.924 6.023 6.004 5.872 5.724 5.602 5.724

2000 5.753 5.707 5.875 5.852 5.872 6.045 6.146 6.146 6.001 5.849 5.720 5.817

2001 5.829 5.762 5.892 5.852 5.894 6.075 6.196 6.225 6.001 5.883 5.737 5.820

2002 5.886 5.835 6.006 5.981 6.040 6.157 6.306 6.326 6.138 6.009 5.892 6.004

2003 6.033 5.969 6.038 6.133 6.157 6.282 6.433 6.407 6.230 6.133 5.966 6.068

Таблица 2

Выборочные автокорреляции различных разностей логарифмированных данных ряда Аи

Задержки

Автокорреляц

(а)ъ 1-12 0.95 0.90 0.85 0.81 0.78 0.76 0.74 0.73 0.73 0.74 0.76 0.76

13-24 0.72 0.66 0.62 0.58 0.54 0.52 0.50 0.49 0.50 0.50 0.52 0.52

25-36 0.48 0.44 0.40 0.35 0.34 0.31 0.30 0.29 0.30 0.30 0.31 0.32

37-48 0.29 0.24 0.21 0.17 0.15 0.12 0.11 0.10 0.10 0.11 0.12 0.13

(Ь)У^ 1-12 0.20 -0.12 -0.15 -0.32 -0.08 0.03 -0.11 -0.34 -0.12 -0.11 0.21 0.84

13-24 0.22 -0.14 -0.12 -0.28 -0.05 0.01 -0.11 -0.34 -0.11 -0.08 0.20 0.74

25-36 0.20 -0.12 -0.10 -0.21 -0.06 0.02 -0.12 -0.29 -0.13 -0.04 0.15 0.66

37-48 0.19 -0.13 -0.06 -0.16 -0.06 0.01 -0.11 -0.28 -0.11 -0.03 0.12 0.59

(е)У^ 1-12 0.71 0.62 0.48 0.44 0.39 0.32 0.24 0.19 0.15 -0.01 -0.12 -0.24

13-24 -0.14 -0.14 -0.10 -0.15 -0.10 -0.11 -0.14 -0.16 -0.11 -0.08 0.00 -0.05

25-36 -0.10 -0.09 -0.13 -0.15 -0.19 -0.20 -0.19 -0.15 -0.22 -0.23 -0.27 -0.22

37-48 -0.18 -0.16 -0.14 -0.10 -0.05 0.02 0.04 0.10 0.15 0.22 0.29 0.30

(фУУ^ 1-12 -0.34 0.11 -0.20 0.02 0.06 0.03 -0.06 0.00 0.18 -0.08 0.06 -0.39

13-24 0.15 -0.06 0.15 -0.14 0.07 0.02 -0.01 -0.12 0.04 -0.09 0.22 -0.02

25-36 -0.10 0.05 -0.03 0.05 -0.02 -0.05 -0.05 0.20 -0.12 0.08 -0.15 -0.01

37-48 0.05 0.03 -0.02 -0.03 -0.07 0.10 -0.09 0.03 -0.04 -0.04 0.11 -0.05

Таблица 3

Выборочные автокорреляции остаточных ошибок при подгонке модели VVl2Zt = (1— 0.40В) (1— 0.61В12) а1 ряд О(Аи)

За- держка к Автокорреляции («) Стандартная ошибка (верхняя граница)

1-12 0.02 0.02 -0.13 -0.14 0.05 0.06 -0.07 -0.04 0.10 -0.08 0.02 -0.01 0.09

13-24 0.03 0.04 0.05 -0.16 0.03 0.00 -0.11 -0.10 -0.03 -0.03 0.22 0.03 0.09

25-36 -0.02 0.06 -0.04 -0.06 -0.05 -0.08 -0.05 0.12 -0.13 0.00 -0.06 -0.02 0.09

37-48 0.11 0.07 -0.02 -0.05 -0.10 -0.02 -0.04 0.00 -0.08 0.03 0.04 0.06 0.09

48 Е т2(а) = к=1 0.2726