CC BY
11
УДК 629.4.083
В. В. ЛАГУТА, М. I. КАПЩА (ДПТ) ПРОГНОЗУВАННЯ СТАН1В
ОДНОТИПНОГО ЛОКОМОТИВНОГО ПАРКУ (ВЛ8) ПРИДНШРОВСЬКО1 ЗАЛ1ЗНИЦ1
У статп розглядаеться прогнозування стацюнарного режиму сташв парку flOKOMOTHBiB ВЛ8 на шд-CTaBi рiвнянь Колмогорова теорп масового обслуговування та оптнмiзацiйноl задачi з використанням даних спостережень.
В статье рассматривается прогнозирование стационарного режима парка локомотивов ВЛ8 на основе уравнений Колмогорова теории массового обслуживания и оптимизационной задачи с использованием данных наблюдения.
The article considers prognostication of the stationary mode of the fleet of VL8 locomotives on the basis of Kolmogorov's equations of the mass service theory and optimization task, with the use of observation data.
Парк по!зних локомотивiв, депо або з^знищ мають особливу властивють, яка зус^чаеться в рiзних областях техшки. З одного боку, парк -це система, яка характеризуешься властивими тшьки !й законами розпод^ загальних власти-востей велико! кiлькостi однотипних елементiв, яю входять до не!. Таю системи та !х характеристики розглядаються та вивчаються методами ма-тематично! статистики та теорп ймовiрностей.
З шшого боку, локомотивний парк - це суку-пнiсть iдентичних по конструкци та призначен-ню машин, але яю вiдрiзняються одна вiд одно! такими важливими iндивiдуальними характеристиками як техшчний стан, «вш» та шшими, якi змiнюються не випадковим чином, а пiд дiею закономiрних об'ективних процесiв (залежно вiд часу або об'ему виконано! роботи).
У багатьох випадках роботу пiдприемства (депо, залiзницi) подають, як деяку систему масового обслуговування (СМО). Для формуван-ня рекомендацiй важливо не те як протшае ви-робничий процес у чаш (t) , а важливий стацю-
нарний режим (t ^<х>) . По математичнiй моде-
лi сталого режиму можна отримати деяю загальнi характеристики роботи пiдприемства. По характеристиках стацюнарного режиму фо-рмують виробничу стратегiю управлiння шд-приемством. Наведенi в статтi результати е час-тиною дослщжень, якi проводяться ДИТом вщ-повiдно до плану виконання науково-дослщних робiт по вдосконаленню системи утримання парку локомотивiв на Придшпровськш залiз-ницi в рамках «Програми розвитку рухомого складу на 2002-2005 рр.».
Дослiдженням стацiонарного режиму СМО присвяченш роботи В. Феллера, Л. Клейнрок, Е. С. Вентцель, Л. А. Овчарова, Б. В. Гнеденко, В. С. Пугачова та ш. Питання математичного моделювання для проведення аналiзу роботи пiдприемств залiзничного транспорту освiтленi в роботах А. А. Босова, Б. С. Боднаря (структу-рне моделювання).
Метою дано! роботи е прогнозування стацюнарного режиму тдприемства (на прикладi парку локомотивiв ВЛ8 Придншровсько! заль знищ) за допомогою оптимiзацiйно!' задачi. Це обумовлено тим фактом, що у багатьох випадках штенсивносп переходiв i вiрогiдностi станiв системи (у нашому випадку парк локо-мотивiв) часто невiдомi, тому в статп запро-понований варiант !х визначення на пiдставi статистичних даних.
Для визначення стану парку локомотивiв у стацiонарному режимi розглянемо парк локо-мотивiв як систему масового обслуговування Х с дискретною кшьюстю сташв i неперервним часом [1; 2].
Початковими даними е статистика (спо-стереження) по кожному локомотиву про те, в якому сташ вш знаходився в поточний момент часу. Спостереження були надаш через кожш 12 годин роботи парку локомотивiв за термш з 05.03.2001 р. по 31.12.2002 р. Як стани окремого локомотива прийнято: Х3 - локомотив у по!знш робон; х4 - локомотив в оч> куваннi роботи; Х5 - локомотив у резерву х6 -локомотив у заводському ремонту х7 - локомотив у ПР-2; Х8 - локомотив у ПР-1; Х9 -
локомотив у ТО-3; х10 - локомотив у ПР-3; Об'еднаемо стани х6, х7, х8, х10 в один хп - локомотив у неплановому ремонту х^ - стан Хб i назвемо цей стан плановими ремон-локомотив на маневровiй роботу х13 - локомо- тами. Побудуемо граф [3] станiв парку локомотив на закрити; хм - локомотив у орендi пмс. ™в г(х) > рис. 1.
Рис. 1. Граф Г( X) сташв парку локомотив1в ВЛ8
Будемо вважати, що в нашш системi масо-вого обслуговування Х протшае випадковий процес з дискретними станами Хб, х3, л9, Хц,
х5 , ^^^ х14 ' Х13 .
Проаналiзуемо граф Г( x). Вершинам графа вщповщають стани локомотивiв [4]. Стрь лками позначено можливi переходи з одного стану в шший. Граф е орiентованим. На графi вiдсутнi джерела i поглинаючi (кiнцевi) ста-
ни. В с стани транзитивнi (у будь-який час система може увшти та вийти з нього). 1зо-льованi стани вщсутш. З проведеного аналiзу графа Г(X) можна зробити висновок, що
граф е ергодичним [1].
Будемо вважати що перехщ системи iз стану х{ в стан х^ (I, ] - номер стану) вщбуваеться
пiд впливом пуассонiвського потоку подш з iнтенсивнiстю Х^ (/) [локомотив/12 год].
Перехщ ¡з стану хг в стан х]- вщбуваеться
в момент, коли настае перша под1я потоку.
Нехай потш подш, який переводить систему з одного стану в шший буде незалежним, тод1 випадковий процес, що протшае в систем1 Х, буде марковським [5]. У силу зроблених при-пущень стани нашо! системи можна описати ди-ференщальними р1вняннями Колмогорова [6]. Нехай величини рг = рг ), г е I = {6, 3, 9, 5,
11,12,14,13} вщповщають ймов1рност1 перебу-
вання локомотива в 7-му сташ. Для того, щоб розв'язати систему диференщальних р1внянь Колмогорова необхщно задати початков1 умови для р1 \ задати штенсивносп переход1в Хг]-
з одного стану в шший У стацюнарному режим
рг = еопС;, г е I марковський процес вважатимемо однорщним Ху = еопс*, г, ] е I.
Система диференщальних р1внянь Колмогорова перетвориться в систему лшшних р1внянь
((,3 -Х6,5 )Рб +Х3,6Р3 = 0 (-Х3,6 - Х3,9 - Х3,11 - Х3,5 )р3 + Х6,3р6 + +Х9,3 р9 +Х5,3 Р5 +Х11,3 Р11 = 0 (-Х9,3 - Х9,5 )р9 + Х3,9р3 = 0, (-Х5,3 - Х5,12 - Х5,13 - Х5,14 )р5 + Х3,5р3 + < +Х9,5 р9 + Х6,5 р6 + Х11,5 р11 + (1)
+Х13,5 р13 + Х14,5 р14 + Х12,5 р12 = 0,
(-Х11,3 -Х11,5 )р11 +Х9,11 р9 +Х3,11 р3 =0, -Х12,5 р12 + Х5,12 р5 = 0, -Х14,5 р14 + Х5,14 р5 = 0, -Х13,5 р13 + Х5,13 р5 = 0
Систему (1), якщо вщом1 штенсивносп вщ-мов звичайно розв'язують таким чином. З системи (1) виключають одне з р1внянь { добавля-ють р1вняння
I рг = 1. (2)
ге 3
У нашому випадку в систем1 (1) невщом1 як штенсивносп Хг]-, так { ймов1рност1 рг. Щоб
визначити ймов1рносп рг перебування локомотива в 7-му сташ в усталеному (стацюнарно-
му) режим (t ^да) поступимо таким чином.
Апроксимуемо вибiрку по кожному стану за-лежнiстю
Pi (t ) = ci + aie - bi 't, (3)
де pi (t) - емпiрична ймовiрнiсть перебування
локомотива в 7-му сташ в час t; ai, bt, ci -
коефщенти, якi слiд визначити по вибiрцi 7-го стану.
Позначимо pi = lim pi (t) - емшричш ймов>
рностi 7-го стану в усталеному режима
Пiсля апроксимацп статистичних даних по залежност (3) отримано значення емшричних ймовiрностей в усталеному режима
p3 = 0,4759, p5 = 0,1300, p6 = 0,1387, p9 = 0,045, p = 0,0856, p2 = 0,0335,
p = 0,064, p14 = 0,0645.
Визначенi емпiричнi ймовiрностi можна пiдставити в систему рiвнянь (2), (3), розв'язавши яку, отримаемо необхiднi значення штенсивносп переходiв XiJ-. Але ми
маемо 9 лшшних рiвнянь з 18 невщомими (вiдносно \у), а, як вiдомо [7], така система
може мати не один розв' язок. Позначимо
P = (P3, P5, P6, P9, pu, Pu-> p13, P14)T - вектор ймовiрностей стану локомотива i Л = |л j J8 8 -
матриця складена з коефщенпв при ймовiрно-стях pi в системi (1), де
Л1,1 =^3,6, Л1,3 =-^6,3 -^6,5,
Л2,1 = -^3,6 - ^3,9 - ^3,11 - ^3,5, Л2,2 = ^5,3,
Л2,6 = ^6,3, Л2,4 = ^9,3, Л2,5 = ^11,3,
Л3,1 = ^3,9, Л3,4 = -^9,3 - ^9,5, Л4,1 = ^3,5,
Л4,3 = ^6,5, Л4,2 = -^5,3 - ^5,12 - ^5,13 - ^5,14,
Л4,4 =^9,5, Л4,5 =^11,5, Л4,7 =^13,5,
Л5,1 =^3,11, Л5,4 =^9,11, Л5,5 =-^11,3 -^11,5,
Л6,2 = ^5,12, Л6,6 = -^12,5, Л7,2 = ^5,14,
Л7,18 = -^14,5, Л8,2 = ^5,13, Л8,7 = -^13,5,
iншi XiJ- = 0. Тепер систему (1) перепишемо в матричному виглядi ЛР = 0 .
Сформулюемо задачу визначення ймовiрно-стей стану pi й iнтенсивностей nepexoAÎB XiJ-
з одного стану в iнший в стацiонарному режи-Mi: необхщно мiнiмiзувати суму квадратiв вщ-хилень ймовiрностей стану pi вiд емшричних
ймовiрностей pi усталеного режиму
min Хт m (Pi- p ) , m = const (4)
{, Pi}, j eijeJ
за умов
ЛР = 0, (5)
E Pi = (6)
ieJ
Xj > 0, Pi > 0, i, j e I, (7)
де m{ - деякi ваговi коефiцiенти, постiйнi вели-чини, параметри настройки алгоритму мшм> зацп (пiдбираються в процесi розв'язання зада-4i на обчислювальнш машинi); pi, i e I - ймо-вiрностi стану в стащонарному режимi, якi не-обхiдно визначити; XiJ-, i, j e I - ймовiрностi
переходiв з одного стану в шший в стащонар-ному режиму Pi - емпiричнi ймовiрностi стану, визначеш за експериментальними даними, що вiдповiдають усталеному режиму.
Задача (4)-(7) розв'язувалась числовим методом у пакет MatLab [8]. Розв'язання задача чис-ловi значення ймовiрностей стану парка локомо-тивiв в стащонарному режим (р) та вщповщт iнтенсивностi переходу (XiJ- [локомотив/12 год])
з одного стану в шший наведеш на графi сташв (див. рис. 1).
Результати дослщження можуть також ви-користовуватися при розробщ рацiональноï системи утримання технiчних об'eктiв залiзнич-ного транспорту.
Висновки
1. Вирази (4)-(7) можливо використовувати для моделювання стацiонарного режиму парку локомотивiв (i технiчних об'екпв взагалi) з ви-користанням необхщних статистичних даних.
2. Парк локомотивiв ВЛ8 Приднiпровськоï за-лiзницi мае потенщал для збiльшення перевезень.
На заюнчення хочеться щиро подякувати д-ру техн. наук, професору А. А. Босову, який порадою та допомогою сприяв виконанню цьо-го дослщження.
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания / Пер. с англ. И. И. Грушко; Под ред. В. И. Нейман. - М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.
2. Гнеденко Б. В. Введение в теорию массового обслуживания / Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко -М.: Наука, 1987. - 336 с.
3. Оре О. Теория графов / Пер. с фр. - М.: Наука, 1968. - 352 с.
4. Вентцель Е. С. Исследование операций. - М.: Сов. радио, 1972. - 550 с.
5. Вентцель Е. С. Исследование операций. - М.: Наука, 1980. - 208 с.
6. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1988. - 448 с.
7. Бугров Я. С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я. С. Бугров, С. М. Никольский - М.: Наука, 1988. 224 с.
8. Потемкин В. Г. MATLAB: Справочное пособие. -М.: Диалог-МИФИ, 1997. - 350 с.
Надшшла до редколегп 17.05.04.
