CC BY
22
УДК 62-50
Н. I. ПОСЛАЙКО (ДПТ)
ОБЧИСЛЕННЯ ОПТИМАЛЬНОГО ЧИСЛА
ОБСЛУГОВУЮЧИХ ПРИЛАД1В У СИСТЕМАХ
МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ, НЕОДНОР1ДНИХ ЗА ЧАСОМ
У CTarri запропонована методика розрахунку оптимального числа обслуговуючих приладiв у системi ма-сового обслуговування типу m|m| n з чергою, до яко1 надходить нестацюнарнии, неординарнии пуассошв-
ський потiк заявок i iнтенсивнiсть обслуговування заявок е функцieю часу, на пiдставi використання чисель-них методiв.
В статье предложена методика расчета оптимального числа обслуживающих устройств в системе массового обслуживания типа m|m| n с очередью, в которую поступает нестационарный, неординарный пуассо-
новский поток заявок и интенсивность обслуживания заявок является функцией времени, на основании использования численных методов.
The paper concerns a queuing-type mass service system, being disturbed by a non-stationary, non-ordinary Poisson flow of requests, when the intensity of serving is a function on time. On the basis of numerical methods, a technique of calculating the optimal number of serving devices has been offered.
Для бшьшосп реальних систем масового обслуговування, в тому чист на транспорт^ спосте-ртаеться залежшсть параметрiв надходження й обслуговування заявок вщ часу. Наприклад, штенсивносп потоюв пасажирiв, ванташв, заявок на ремонтш роботи змшюються протягом доби залежно вiд сезону i т. ш. Так системи практично неможливо розрахувати аналгтичними методами. Дещо вдаешься зробити, якщо вхщний потiк мае ^енсивтсть, що перiодично змiнюетъся. Так, для системи масового обслуговування з вщмова-ми доведено [], що граничш ймовiрностi станiв системи в цьому випадку е перiодичними функ-щями часу, причому !х перiод ствпадае з перь одом видного потоку. Системи обслуговування з чергою, що однорщш за часом, у випадку вщсут-носп пiслядii або «слабко!» пiслядii добре досль дженi [2]. Методи теорп марковсъких процешв даютъ доситъ простi аналiтичнi умови юнування стацiонарного режиму в таких системах. При порушены цих умов зi зростанням часу довжина черги у вказаних системах наближаеться до не-скiнченностi за ймовiрнiстю. Використовуючи щ умови, можна вказати мiнiмалъну кшьюсть при-ладiв, при якш стащонарний режим у системi iснуе. Будемо називати цю кiлъкiстъ приладiв оптимальною.
У цш роботi пропонуеться методика обчислен-ня оптимального числа обслуговуючих приладiв у системах масового обслуговування певного виду на пiдставi використання чисельних методiв.
Розглядаеться система масового обслуговування, що складаеться з т (1 < т <да) приладiв.
До не! надходить неоднорiдний за часом неорди-нарний пуассонiвсъкий потш заявок. З цього ви-пливае, якщо vt - число заявок, що надшшли в
систему на (0; t), то vt - процес з незалежними
приростами. Припустимо, що при
Р {vt+А-v t = к} = \к ()А + о(А), к > 1, (1) де функцп Хк () вимiрнi (за Лебегом) i ряд
ад
Е к ()=^(t )<»
к=1
збтаеться майже всюди на (0; да); Xк () - ш-тенсивнiстъ надходження в систему групи з к заявок у момент часу t. З (1) випливае, що
да
м е^ =Е р К = к}ек =
к=0
= ехрЛ£хк (и)(ек - 1)
10 к=1
або в бшьш загальному випадку
да
Еекр {V,-vt = к} =
к=0
да Р 1
Е(ек - 1) к (и )си\, е< 1.(2)
Покладемо
гк ( 5 ) = Р {V,^ = к}, к >
Згiдно з (2)
г0 (г, 5) = exp \ -|1(и)сСи I,
.(г, ^) =
ЛШ+1
ехр<
2П 10=1 0 I к=1
т > 0.
ад ^ I
Х( -1)) к (и )си : с 0
Якщо в момент надходження групи з г заявок I приладiв вiльнi, то:
• кожна заявка займае вшьний прилад i негайно починае обслуговуватись, якщо
I > г;
• I заявок (без рiзницi яю) займають кожна вiльний прилад, а iншi стають в чергу, якщо I < г (г > 1,0 < I < т) .
Будемо вважати, що час обслуговування заявок на кожному приладi не залежить вщ часу обслуговування iнших заявок i вiд характеру !х надходження, а також, що функцiя розподiлу тривалосп обслуговування повнiстю визначаеть-ся моментом початку обслуговування. Тобто, якщо заявка почала обслуговуватись в момент г i 5 > г, то ймовiрнiсть того, що до моменту 5 обслуговування буде замнчено, дорiвнюе
1 - exP ].[р(
и )си:
де р(и)> 0 вимiрна функцiя на (0; ад) . Це очевидно рiвносильне тому, що, якщо заявка займае прилад у момент г i Д^ 0, то ймовiр-шсть того, що вона буде займати прилад у момент г + Д (звшьнить його до цього моменту) дорiвнюе
1 -р(г)Д + о(Д) ()Д + о(Д)),
о(Д) де liш —-—— = 0.
Д^0 Д
Величину черги i час дожидання кожною заявкою початку обслуговування будемо вва-жати необмеженими. Обслуженi заявки негайно покидають систему. Описану систему обслуговування будемо називати системою |Мг | т . В тому випадку, коли
1к (и) = 1к (к > 1), р(и) = р (0 < и <ад),
тобто, якщо «шфштезимальт» характеристики системи не залежать вщ часу, ця система переходить (за термшолопею Д. Кендалла [3]) в добре вивчену систему
мМ| т . Оптимальна кiлькiсть приладiв в такш системi визначаеться з умови
ад
Xк 1 к < "р.
к=1
Доведено, що за ще! умови функщя розподiлу перiоду зайнятостi системи (штервалу часу, що починаеться в момент надходження у вшьну систему заявок i заюнчуеться в найближчий момент звiльнення системи вiд заявок) е властивою - з ймовiрmстю 1 перiод зайнятостi е сюнченною
ад
величиною. У разi X к 1 к > пр функцiя розподi-
к=1
лу е невластивою, тобто з додатною ймовiрнiстю iнтервал зайнятосп може бути нескiнченним. А
ад
коли X к 1 к = пр, математичне сподiвання перь
к=1
оду зайнятостi е нескiнченним.
Для системи М{ \М( | т розглянемо Ту (г) -
час, за який процес ^, що ствпадае з числом заявок у системi в момент г, вперше досягне стану у:
Ту ()= ^ {и : = Л ^ = *} и > г
i нехай
В = {0,1,2,..., т -1}.
Перюдом зайнятосп (з початком в сташ к) в системi обслуговування Мг|Мг|т будемо називати величину тк ,т-1 (г), де к > т . Нехай Чкг (г, 5) - ймовiрнiсть того, що процес ^ на вiдрiзку [; 5] перейде зi стану к у стан г (к, г ё В) без попадання в множину В :
Чкг ( 5) = Р £5 = г,ё В, и е (г, 5]/^ = к}. Доведено [4], що
Р {Тк,т-1 () < 5 - г} = т{ Чт (, и)р(и)с и , (3)
г
де (г, 5) задовольняе штегральне рiвняння Вольтерра другого роду:
m (t, 5) = Pm-k (t, 5)- Для обчислення функци qk (t, и), що сто!ть
пiд знаком iнтегралу в (3) i е розв'язком iHTer-
-m\qm (t,uWuU (и,5)dи . (4) раЛЫЮГО Р^™™ Вольтерра другого род[ J(4) j imy ;<r \ /i IV / можна застосувати метод скшченних сум [6J
Тут pk (t, 5) - ймовiрносTi стаШв цiЛочисе- qm (t, ) = Pm-k ( U} ) - mh, £ q,mm (t, % ^ ) ,
льного процесу п з незалежними приростами, к=0
для якого р _ t
де и} = t + j• Й2, ¿2 = ——= 0,1,...,N, % = ^ . да I р I N
ме' = Ерк (р)ек = ехр]{а(и,е)и г, Для обчислення ймовiрностей рк ( р) (5)
к=_да [t
при великому к застосування формул наближе-звщки [5] ного обчислення визначених iнтегралiв типу
Pk (t,5 ) = у- Ti+rexp j J a (u, e)du Ld 0 , (5)
k = 0, ± 1, ± 2.
? — • — • • • ?
прямокутникiв, трапецiй, Симпсона неможливе, оскiльки пiдiнтегральна функцiя в (5), як можна 2га 10= 0Л+1 1 уt w '' " ' показати, звiвши криволiнiйний штеграл до ви-
значеного (доведення наведемо нижче), швидко осцилюе. Для цього випадку е доцшьним застосування методу Фшона [7J, що призначений де якраз для обчислення iнтегралiв вiд функцiй,
, s яю швидко осцилюють.
a (5,0) = Х^ (5 )0' + 5)-^(5)-m^(5). Розрахунковi формули цього методу мають
i=1 0 вигляд
Вираз (3) задае функцiю розподiлу ймовiрнос- b ,
тей перiоду зайнятостi в систем Mt|Mt|m . Якщо J f (p)cosxpdp ~H{a|_f (b)sinxb
при 5 p {-i (t)< 5 -} p*, де P* <1,
то стацiонарний режим у систем не юнуе.
Знайдемо найменше m , для якого ^
де C2s означае суму всiх парних ординат кри-
limP{тк m-1 (t) < 5 -t} = 1. во! y = f (p)cosxp , що знаходяться мiж а та b ,
за виключенням першо! та останньо! ординати;
Для цього задамо в (мале додатне число) i з с25-1 - сума всх непарних ординат, а величини
точшстю до в будемо обчислювати розподiл п , . птт,тт-
ЛГ1,. a, в, y , що е функцiями вщ 0 = xH (H - ш-(3), починаючи з m = 1. При фiксованому m
iнтегрaл у правiй частинi (3) можна обчислюва- тервал подiлУ; [a; bJ дiлиться на 2n р^них ча-
ти, наприклад, за формулою прямокутниюв стин) визначаються виразами:
Fk (t, 5) = P {тк,m-1 (t) < 5 -1} « 03a = 02 +0 sin 0 cos0 - 2sin2 0,
03p = 2 [0(1 + cos2 0)-2sin 0 cos 0
^qk (t,uk), [ v '
f (a )sin xa ] + P C25 +YC25-1},
03 y = 4 [sin 0-0 cos 0J. Для штегралу, що мютить sin xp :
« m • h
k=0
11 1 5 -1
де t = u0 <u1 <... <un =5, uk = t + kh, h =-.
n
починаючи з 5 = t, збшьшуючи значення 5 b
з кроком h1 до тих тр, поки значення Fk (t, 5i) J f (x) sin xpdp « H {-a [ f (b) cos xb -та Fk (t, 5t+1) не будуть вiдрiзнятись за абсолю- a
тною величиною не бщьше, нiж на в1 - f (a )cos xa ] + pS2 5 + yS2 5-1},
(5i = t + ih1, i > 1) .
де S2s - сума всiх парних ординат криво! y = f (p)sin xp , що знаходяться мiж a та b , за
виключенням половини першо! та останньо! ординати, - сума всiх непарних ординат, а величини а, в, у мають попереднiй смисл.
Вираз для рк (г, 5) через визначений штег-рал можна знайти, використовуючи замiну 0 = егф враховуючи, що 1ш рк (г, 5) = 0, та пред-
гф , ■ •
ставляючи е т як ео8ф + гsinф.
Пюля ряду перетворень (з огляду на !х гро-мiздкiсть вони опущеш), одержимо вираз
Рк(,5)=
1 2п
= — [ еА('s'ф)cos В (, 5, ф) cos кфСф + 2п 00
1 2п
+--[ еА(м'ф^т В (, 5, фЫп кфСи, (6)
2п 0
де
5 ( ад
А (, 5, ф) = Ц XI/ (и)cOS /ф +
г V I=1
+тр(и)cosф- 1(и)-тр(и))Си , В (г, 5, ф) = 1^X1 (и ^п еф- тр(и )sin ф^Си .
У правiй частинi (6) маемо при великому к суму двох iнтегралiв вщ функцiй, що швидко осцилюють, i якi можна наближено обчислити за методом Фшона. При малих к розрахунковi формули цього методу переходять в формулу Симпсона.
Результати статп можуть бути використаш для розрахунку оптимального числа обслуго-вуючих приладiв в реальних системах обслуговування вказаного вище типу та на стадп !х проектування.
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Гнеденко Б. В. О задачах теории массового обслуживания. Теория массового обслуживания // Тр. Всесоюзного совещания школы по теории массового обслуживания. Дилижан 1970. Изд-во МГУ. 1972.
2. Абольников Л. М. Переходной режим в системе м|м|п с неординарным входящим потоком // Известия АН СССР: Техническая кибернетика. 1970.№ 5.
3. Кендалл Д. Стохастические процессы, встречающиеся в теории очередей, и их анализ методом вложенных цепей Маркова // Математика. 1959. № 3:6.
Надшшла до редколегп 29.09.03.
