Моделювання виробничої системи «Постачання - монтаж» як системи масового обслуговування Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 69.003 : 658.566 : 691

МОДЕЛЮВАННЯ ВИРОБНИЧО1 СИСТЕМИ «ПОСТАЧАННЯ - МОНТАЖ» ЯК СИСТЕМИ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ

В. С. Бодня, к. т. н, доц.

Ключовi слова: система масового обслуговування «постачання - монтаж», вхгдний потгк вимог, вихгдний потгк вимог.

Будiвельно-монтажна система е складною iмовiрнiсною системою, яка переробляе потш матерiалiв i конструкцш на кшцеву будiвельну продукцiю (рис.1). I п ефективне i стiйке в переб^ тривалого часу функцiонування можливе, коли штенсивнють постачань матерiалiв i конструкцш i !х переробки перебувають в певнш вiдповiдностi. Отже, важливо урiвноважити параметри постачань залежно вiд техшчних характеристик монтажного крана i досягнутих показникiв трудово! дiяльностi робiтникiв на робочих мюцях [1]. Для виршення цього завдання використаемо основнi положення теорп масового обслуговування, задачi яко! подiляють на задачi аналiзу та задачi синтезу - оптимiзащi систем масового обслуговування (СМО). Задачi ан^зу припускають оцiнку ефективностi функцiонування СМО при незмшних, наперед заданих початкових характеристиках СМО: структурi системи, дисципл^ обслуговування, потоках вимог i законах розподшу часу !х обслуговування. Задачi синтезу можуть бути використанi при пошуку оптимальних параметрiв системи «постачання — монтаж» [2; 5; 6]. Розглядаючи виробничу систему «постачання - монтаж» як СМО, п можна представити як сукупшсть послщовно пов'язаних мiж собою вхiдних потокiв вимог на обслуговування, черг, кан^в обслуговування i потокiв виконаних робiт (рис. 2). На вхщ СМО «постачання -монтаж» у деяк випадковi моменти часу надходить потiк вимог - потш рейсокомплектiв конструкцiй, матерiалiв i т. i. Обслуговування вимоги (переробка, монтаж) виконуеться в переб^ деякого промiжку часу, який також е випадковою величиною. У зв'язку з випадковим характером даних процеав при стшкому функцiонуваннi системи можливi моменти часу, коли утворюеться черга постачань будiвельних виробiв (рейсокомплектiв) i матерiалiв в очiкуваннi обслуговування (до монтажного крана, робочого мюця чи групи робочих мюць) або коли система обслуговування простоюе в очшуванш наступного постачання (рейсокомплекту).

Рис. 1. Виробнича система «постачання - монтаж» Випадковий характер вхщного потоку вимог (рейсокомплек^в конструкцш, матерiалiв тощо), а також тривалiсть обслуговування каналом (переробка, монтаж) приводить до утворення випадкового процесу в дослщжуванш СМО «постачання - монтаж» [3; 4].

ООО

Пункт

о о слуг овув ання

О О

ООО О?

^м о о

тэоооо ^ ^

оооо >П ° °

^а о о

-v-

Вх1ДШ потоки р вис ок омпл ектш

Черги ^ Канали

рейсокомилектш обслуговування

(кран 11>о 5 041 мкця) потоки 1)001т

Вихццп

Рис.2. Схема системи масового обслуговування «постачання - монтаж»

При цьому, з рiзних причин, можуть породжуватися рiзнi варiанти СМО «постачання -монтаж» ^ за наявнiстю ие! або шшо! ознаки, !х можна подшити:

1. За характером надходження вимог - на СМО з регулярним 7 випадковим потоками надходження вимог у систему.

Випадковий потш вимог в СМО «постачання - монтаж» може виявитися стащонарним або нестащонарним:

а) якщо кiлькiсть вимог, що надходять у систему «постачання - монтаж» в одиницю часу (штенсившсть потоку) постiйна, або е заданою функцiею часу, то система буде з регулярним потоком надходження вимог, в протилежному випадку - з випадковим. Для дослщження системи «постачання - монтаж» як СМО з випадковим потоком (налагоджений монтаж житлово! будiвлi за добре розробленим алгоритмом) необхщно, щоб була задана функщя розподiлу вiрогiдностi надходження вимог у систему;

б) якщо параметри потоку вимог не залежать вщ розташування розглядуваного штервалу часу на ос часу, то потiк вимог буде стацгонарним (якщо число рейсокомплекпв, що надходять на склад, не залежить вщ часу доби), шакше вш буде нестацгонарним.

2. За ктькостю вимог одночасно - на системи з ординарним i неординарним потоками вимог. Якщо вiрогiднiсть надходження двох або бшьше вимог воднораз дорiвнюе нулю або мае наскшьки малу величину, що нею можна знехтувати, то СМО буде з ординарним потоком вимог (потш вимог: автосамоскиди, що обслуговують екскаватор, можна вважати ординарним, оскшьки вiрогiднiсть надходження двох i бшьш автосамоскидiв тд завантаження до екскаватора (каналу обслуговування) дуже мала i нею можна знехтувати).

3. За зв'язком мгж вимогами - на системи без тслядИ' вщ вимог, що надшшли, i з тслядгею. Якщо вiрогiднiсть надходження вимог у систему в деякий момент не залежить вщ того, скшьки вже вимог надшшло в систему, тобто не залежить вщ передютори процесу, що вивчаеться, то система буде без тсляди (склад виробiв заводу ЖБВ по вщвантаженню деяких виробiв будiвельним оргашзащям (канал обслуговування), на який прибувають вантажнi автомобiлi (вимоги), причому число обслуговуваних автомобiлiв передбачаеться необмеженим), у протилежному випадку - з пiслядiею.

4. За характером повед1нки вимоги в систем1 - з в1дмовами, з обмеженим оч1куванням 7 з очгкуванням без обмеження:

а) якщо нова вимога, що надшшла на обслуговування, застае вш канали обслуговування вже зайнятими, i вона покидае систему, то СМО буде з вгдмовами. Вимога може покинути систему i у тому випадку, коли черга досягла певних розмiрiв. Якщо, наприклад, на монтаж каркасно! будiвлi скупчилося багато мiксерiв, а бригада монтажниюв одна, то доцiльнiше покинути систему;

б) якщо вимога, що надшшла, застае вш канали обслуговування зайнятими i стае в чергу, але перебувае в нш обмежений час, шсля чого, не дочекавшись обслуговування, покидае систему, то СМО буде з обмеженим очгкуванням (автосамоскид з розчином: якщо час очшування розвантаження бшьший за час затвердшня розчину, вiн повинен бути розвантажений на шшому будiвельному об'ектi);

в) якщо вимога, що надшшла, заставши вш канали обслуговування зайнятими, вимушена чекати свое! черги до тих шр, поки буде обслуженою, то буде СМО з очгкуванням без обмеження (автомобшь, який перебувае на складi до тих шр, поки не звшьниться мюце тд завантаження).

5. За способом вибору вимог на обслуговування (дисциплина обслуговування): з пр1оритетом, у м1ру надходження, випадково, остантй обслуговуеться першим:

а) якщо СМО охоплюе декшька категорш вимог, 1, з якихось м1ркуваннь, необхщно дотримуватись р1зних шдхщ1в до !х вщбору, то СМО буде з прюритетом (при надходженш вироб1в на будмайданчик, насамперед, монтуються н, як необхщш в даний момент);

б) якщо канал звшьнився { обслуговуеться вимога, що надшшла в СМО рашше за шших, то система буде з обслуговуванням вимог у мгру гх надходження (найбшьше поширений клас СМО). Наприклад, рейсокомплект, що прибув першим на будмайданчик, обслуговуеться першим. Цей спошб вибору вимог на обслуговування застосовуеться там, де через техшчш, технолопчш або оргашзацшш умови вимоги не можуть випереджати одна одну;

в) якщо вимоги з черги в канал обслуговування надходять у випадковому порядку, то СМО буде з випадковим вибором вимог на обслуговування (виб1р крашвником монтажного крана одше! з декшькох заявок на розвантажування матер1атв з навантажних автомобшв на приоб'ектний склад (за умови, що матер1али одш { н ж). Виб1р тут, як правило, визначаеться мюцем перебування монтажного крана: кранiвник вибирае заявку (автомобшь), найближче розташовану до нього, якщо шяю 1нш1 чинники не зумовлюють шший виб1р;

г) остантй обслуговуеться першим. Цей спошб вибору вимог на обслуговування використовуеться в тих випадках, коли зручшше або економшше брати на обслуговування вимогу, що шзшше за вс1х надшшло в систему (при вщбор1 буд1вельних вироб1в штабеля, зручшше брати з1 штабеля (черги) вир1б, що над1йшов остантм).

6. За характером обслуговування вимог - на СМО з детермтованим I випадковим часом обслуговування. Якщо штервал часу м1ж моментом надходження вимоги в канал обслуговування { моментом виходу вимоги з цього каналу поснйний, то система буде з детермгнованим часом обслуговування, в протилежному випадку - з випадковим.

7. За кглькгстю канал!в обслуговування - на одноканальт 7 багатоканальш системи (при монтаж буд1вл1 може бути використаний один монтажний кран (один канал обслуговування) або декшька (багато канал1в) для обслуговування рейсокомплекпв, що прибувають на буд1вництво).

8. За ктьюстю етатв обслуговування - на однофазн 7 багатофазн СМО. Якщо канали обслуговування розташоваш послщовно \ вони неоднорщш, оскшьки виконують р1зш операцй' обслуговування, то СМО будемо багатофазною, наприклад, обслуговування рейсокомплекту (розвантаження вироб1в монтажним краном, а поим монтаж вироб1в ланкою роб1тниюв тощо).

9. За однор1дмстю вимог, що надходять на обслуговування - на СМО з однор1дними 7 неоднор!дними потоками вимог (якщо шд розвантаження на склад матер1атв прибувають автомобш одше! вантажошдйомносп, то таю вимоги одноргднг, а якщо р1зно! - то неоднор1дт.

Нами розглянун можлив1 класичш вар1анти СМО «постачання - монтаж». Проте, в реальносн, можуть породжуватися р1зш снйю комбшацп з розглянутих титв СМО «постачання - монтаж», а в складшших випадках динам1чне перетворення на шш1 комбшацп СМО. Все це значно ускладнюе виршення р1зних вар1аннв задач моделювання реальних СМО «постачання - монтаж». Проте вони е цшком здшсненними завдяки розробленосн задач теорй' масового обслуговування { прикладних програм моделювання.

Якщо добре вивчеш або задаш вхщш потоки вимог, мехашзм (число канатв обслуговування, тривалють обслуговування { т. п.) { дисциплша обслуговування, тод1 стае можливою побудова математично! модел1 СМО «постачання - монтаж».

У нашш задач1 анатзу СМО «постачання - монтаж» як основш показники функцюнування СМО використаемо:

- в1ропдшсть простою каналу обслуговування (ланка роб1тниюв) - Р0;

- в1ропдшсть того, що в систем1 мютиться п вимог (рейсокомплекпв) - Рп;

- середне число вимог, що мютиться в СМО Ышст = 2 пРп;

п=1

- середне число вимог (рейсокомплекпв), що знаходяться в черз1 Ыоч = 2 (п — Nк) • Рп ;

п=Мк

де, N - число канал1в обслуговування (ланок роб1тниюв);

Середнш час очшування вимог (рейсокомплекпв) в черз1, Точ:

- для po3iMKHeHoi' СМО «постачання - монтаж», Точ = N04 /1, де X - iнтенсивнiсть надходження потоку вимог в СМО;

- для замкнуто! СМО «постачання - монтаж», Т0ч = N04 /(l(m — N04)), де m - кшьюсть

вимог (рейсокомплекпв), що потребують обслуговування;

- середнiй час очiкування вимог в СМО «постачання - монтаж», Тсист;

- середне число вшьних каналiв обслуговування (крану, ланок роб^ниюв)

Nk —1

NeK = 2 (NK — n) Pn;

n=0

Nk

- середне число зайнятих каналiв обслуговування (ланок роб^ниюв) NeK = 2 nPn.

n=1

Задачi аналiзу одноканальноТ СМО

Як показано вище, СМО «постачання - монтаж», мають велику кшьюсть рiзновидiв. Розглянемо найбiльш поширеш СМО «постачання - монтаж»:

- детермшована одноканальна;

- одноканальна розiмкнена з очiкуванням iз простим потоком надходження вимог у систему.

Ц СМО «постачання - монтаж» можуть бути дослщжеш анал^ичними методами, що побудоваш на основi представлення процесу функцiонування системи як маркiвського процесу з безперервним часом i дискретними станами [6].

Задача аналiзу СМО «постачання - монтаж» як детермшованот системи. Дослщимо виробничий процес, у якому надходження вимог (рейсокомплекпв) на обслуговування (монтаж) вiдбуваеться через рiвнi промiжки часу (середнiй промiжок часу мiж двома постача-ннями tпп = const), тобто штенсившсть потоку надходжень вимог 1 = 1/1пп = const i

обслуговування (споживання, переробка) проводиться через рiвнi промiжки часу topK = const (де, "Цк - середнiй час обслуговування рейсокомплекту), тобто штенсившсть обслуговування /2 = 1/1орк = const. € один канал обслуговування (одна ланка монтажниюв). Передбачаеться,

Що (tорк /1пп = 1 / 1, ^акше черга несюнченно зростатиме) i, що на початок обслуговування

в систем^ е вже п вимог (рейсокомплекпв). Необхiдно визначити, через який час черга зникне.

Виявлення основних особливостей, взаемозв'язюв i ктъюсних законом1рностей. Величину Kвк =1/ / = 1орК / tnn називаемо коефщентом використання. Черга нескшченно

зростатиме, якщо Kвк > 1, якщо ж Kвк = 1, то черга матиме постшну довжину. Схематично робота дано! системи «постачання - монтаж» як СМО показана на рисунку 3.

Рис. 3. Схема роботи одноканально! СМО «постачання - монтаж»

Поки обслуговуеться черга з п вимог протягом часу t = nt знову надiйде на

t п1орк 1 „ обслуговування пг вимог: n1 =-=-= n— = nKвик .

tnn tnn 2

Аналопчно, поки обслуговуватимуться пг вимог протягом часу tx = nxtорк, додатково

надiйде на обслуговування п2 вимог. Це вiдбуватиметься до тих шр, поки tp > t пп, пiсля чого черга зникне.

Весь процес функцюнування СМО «постачання - монтаж» представимо в аналiтичному виглядг

Побудова / досл1дження математичног модел1

Для визначення часу, через який черга зникне, розкриваемо математичну модель.

+... + п^орк = М0рК {п + щ +... + щ) = — (п + пКвик +... + пКктк ) =

Т п^орк + п\^орк + ... + пк^орк ^орк (п + п1 + ... + пк ) щ 1 пКвик 1 ... 1 пКвик

= п 1 + К + К2 + + Кк )= 4 -Квш )

11"лвик "г Квик "г ■■■~г Квик л тг т т(1 - Квик)

вик

У моделi використана формула суми геометрично! прогреси. Чим ближче iнтенсивнiсть потоку вимог (рейсокомплектов) X до iнтенсивностi обслуговування (монтажу) тим через

бшьший промiжок часу зникне черга (при X / ¡л <1). Членом Кможна для спрощення розрахункiв знехтувати, тодi час, через який черга вимог (рейсокомплекпв) зникне, буде

т » п / (т-1).

Задача аналiзу розiмкненоT СМО «постачання - монтаж» з очiкуванням (потоки вимог пуассонiвськi). Для дослщжувано! системи будемо вважати справедливими гiпотези:

1) вiрогiднiсть надходження вимог не залежить вiд прийнятого початку вщлшу часу, а залежить тшьки вiд тривалостi перiоду спостережень (стащонаршсть потоку);

2) не надходять у систему i не покидають И одночасно двi або бiльше вимог (попк ординарний);

3) надходження одше! вимоги не залежить вiд надходження шшо! (вiдсутнiсть шслядп).

Вiдомi також штенсившсть надходження потоку вимог А (середне число надходжень вимог

(рейсокомплекпв) в одиницю часу 1/ tпп) й iнтенсивнiсть обслуговування вимог ¡л (середне

число обслуговування за одиницю часу 1 / орк). Визначимо основш характеристики системи:

- вiрогiднiсть простою каналу обслуговування Р0;

- вiрогiднiсть того, що в системi мютиться п вимог (рейсокомплектiв), Рп;

- середне число вимог (рейсокомплекпв), що перебувають у системi (у черзi i обслуговуваннi), Шшст ;

- середне число вимог (рейсокомплекпв), що перебувають в черз^ Уоч;

- середнш час очiкування вимоги (рейсокомплекпв) в системi Тсист.

Виявлення основних особливостей, взаемозв'язкгв 7 кшъюсних закономгрностей. У нашш задачi попк вимог (рейсокомплектiв) володiе властивiстю стащонарносп, ординарностi i вiдсутнiстю шслядп i е простим. Основним поняттям при аналiзi виробничого процесу СМО «постачання - монтаж» е стан системи. Знаючи стан системи, ми можемо передбачити, в iмовiрнiсному сенш, И поведшку.

Простий потiк - це стащонарний пуассонiвський потiк. Якщо вс потоки подiй, що переводять систему з одного стану в шший, е пуассошвськими, то для тако! системи вiрогiдностi станiв описуються за допомогою системи звичайних диференцiальних рiвнянь [6]. У бiльшостi задач прикладного характеру замша непуассошвських потоюв подiй пуассонiвськими з тими ж штенсивностями приводить до отримання ршення, яке мало вiдрiзняеться вiд ютинного. Як критерiй невелико! вiдмiнностi реального стацюнарного потоку вiд пуассонiвського можна розглядати близьюсть математичного очiкування i дисперси числа подiй, що надходять на певному вщтинку часу в реальному потоцг

Використовуемо методичний прийом, що полегшуе виведення диференцiальних рiвнянь для вiрогiдностi станiв. Будуемо розмiчений граф станiв (рис. 4) з указiвкою можливих перехо-дiв то штенсивносп вiдповiдних потокiв подiй, що значно полегшуе дослщження i робить його наочшшим.

Мал. 4. Розмiчений граф станiв одноканально! розiмкненоl СМО з оч^ванням

Побудова математичног моделг. Оскшьки складено розмiчений граф сташв, то для побудови математично! модел^ тобто для складання системи звичайних диференшальних

рiвнянь вiрогiдностi станiв, використовуемо мнемонiчне правило: похщна dPn (t)/dt вiрогiдностi перебування системи в сташ п дорiвнюе алгебрашнш суш декiлькох членiв:

- число члешв ше! суми дорiвнюе числу стршок на графi станiв системи, що сполучають стан п з шшими станами;

- якщо стрiлка направлена в стан п, то член беремо iз знаком плюс;

- якщо стршка направлена iз стану п, то беремо iз знаком мшус;

- кожен член суми дорiвнюе добутку вiрогiдностi того стану, з якого направлена стршка, на штенсившсть потоку подш, що переводить систему по данш стрiлцi.

Вщповщно до розмiченого графа станiв, використовуючи мнемонiчне правило, систему звичайних диференшальних рiвнянь вiрогiдностi станiв запишемо як:

^ = - P0 (t 1 + P1 (t у

^^ (t )= pn_l (t + ^ ^ ) + pn+l ^ )у

А п-1

Досл1дження математичног модели. Обмежимося дослщженням сталого режиму роботи

dP ^) л

розiмкненоl одноканально! СМО «постачання - монтаж». Тодi-= 0 (п = 0Д...).

dt

Замiсть системи звичайних диференшальних рiвнянь отримуемо систему алгебрашних рiвнянь:

- + = 0; po1-(1+m)pl + P2m = 0; pn-l1-(1+m)pn + Pn+lm = 0.

Використовуючи отриману систему алгебра1чних рiвнянь, виразимо вiрогiднiсть станiв СМО у виглядi рекурентно! формули. З першого рiвняння визначаемо вiрогiднiсть наявностi одше! вимоги в системi p[ = po1/ У = KвикР0; з другого рiвняння - вiрогiднiсть наявностi

двох вимог в смо p2 = pl(1+т)/у-Р01/т = квтР\+Р\-квжР0 = квикР\.

2

Остаточно отримаемо Р2 = KвикР0 . Аналогiчно проводимо перетворення для визначення Рз:

у - (1 + + 1 = 0, Рз = 1±УР2 Лрх = КвикР2 + Р2 - КвиР = КвикР2 .

т т

з

Остаточно отримаемо Р3 = КвикР0 i т. д. Пiдсумовуючи одержанi значення для Р0, Р1 ...,

Рп знаходимо ^po = po + .. + Pi + .. + Pn = Po + KвикРo + .. + КиPo .

i=0

Використовуючи формулу суми геометрично! прогресп, отримуемо

Р>0 ^ + Kвик + Квик + .. + Квик )= ^ (-).

(1 - Квик )

¥ !

При кiлькостi вимог у системi ^еи^ 1) 2Pi = Po-= ^ звiдки маемо:

i=0 1 - K вик

- вiрогiднiсть простою каналу обслуговування (ланки роб^ниюв), Р0 = 1 - Квик;

- вiрогiднiсть того, що в системi мiститься п вимог (рейсокомплекпв)

Р = Kn P = кn (1 - K ) •

рп лвикГ0 лвик\1 Лвик );

- середне число вимог (рейсокомплекпв), що мiстяться в системi (або математичне очiкування):

п

¥ ¥ ¥

Nсист = 2 пРп = 2 пКвик (1 — Квик ) _ — Квик ) 2 пКвик = п=1 п=1 п=0

= (1 — Квик )(квик + 2Квик + 3Квик + ••• + пКвик + •••) =

= Квик (1 — Квик )([ + 2Квик + 3Квик + ••• + пКвик + •••)

Остання дужка е похiдною вщ виразу:

Квик + Квик + ••• + Квик + ••• = Квик1 + Квик + ••• + Квик + •••) = Квик /(1 — Квик ), (Квик < 1), тобто дорiвнюе 1/(1 — Кисп )2 • Остаточно маемо:

- середне число вимог, що мiстяться в СМО:

Nсист = Квик (1 — Квик ) /(1 — Квик ) = Квик / (1 — Квик

- середне число вимог (рейсокомплекпв), що перебувають у черзi:

Nоч = (1/ m)Nсист = Квик /(1 — Квик );

- середнiй час очiкування вимоги (рейсокомплекту) на обслуговування в системi визначаемо, знаючи середне число вимог, що перебувають у СМО:

Тсист = N сист /1 = (1/ т)(1/ (1 — Квик ))•

У реальних умовах [1] значення вiдношення 1пр / 1орк знаходиться у першу змшу роботи монтажникiв в межах 0,7 - 0,85 , а в другу змiну - 0,6 - 0,75^ Оскшьки в другу змiну працюють, як правило, тiльки монтажш ланки, то, вiдповiдно, перiод виконання робгг, що не пов'язаний iз монтажем, зменшувався i, вiдповiдно, зменшувалося i значення даного вiдношення• З цього витшае, що в першу змшу середнш промiжок часу мiж двома сумiжними постачаннями рейсокомплектов мае бути 1ппу = 10рк/(0,7„Д85), а в другу змшу ¿пп2 = 10рк / (0,6„А75) •

Таким чином, щоб виробнича СМО «постачання - монтаж» перебувала в стшкому сташ, середнiй ритм монтажу мае бути менше середнього ритму постачань у певнш вiдповiдностi• Прагнення вирiвняти !х мiж собою приводить до нестшкого стану виробничо! системи «постачання - монтаж», що i проявляеться в збшьшенш кiлькостi конструкцiй i матерiалiв, якi зберiгаються на приоб'ектних складах^

Для вдосконалення функцiонування виробничо! системи «постачання - монтаж», виявлення «вузьких мiсць», що стримують зростання продуктивност працi, необхiдне врахування всього рiзноманiття чинникiв, що впливають на !! роботу • А реалiзацiя заходiв щодо рацiоналiзацi! робочих мiсць i трудових прийомiв може дати позитивний результат тшьки тодi, якщо це буде шдкршлено вiдповiдною змiною режимiв функцюнування всiе! виробничо! системи «постачання - монтаж», тобто, щоб досягти полшшення показниюв виробничо! дiяльностi, треба системно враховувати !! структурнi та функцюнальш зв'язки з iншими елементами виробничо!системи •

ВИКОРИСТАНА Л1ТЕРАТУРА

! Млодецкий В. Р., В. С. Бодня. Расчет рациональных параметров производственной системы «поставки - монтаж» // Изв. вузов, Строительство и архитектура. - !990, -№ 2. С. 85 - 88.

2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей и её инженерные приложения. — 2-е изд. М. : Высшая школа, 2000. - 480 с.

3. Вентцель Е. С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. Учеб. пособие для студ. вузов. — 2-е изд., стер. — М. : Высшая школа, 200Ь— 208 с.

4. Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем: Учебник для вузов / Б. Я. Советов , С. А. Яковлев. — 6-е изд. — М. : Высшая школа, 2009. — 343 с.

5. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. : Высшая школа, 200! — 367 с.

6. Кудрявцев Е. М. Исследование операций в задачах, алгоритмах и программах. М. : Радио и связь, ^84. — Ш с.