Исследование одной системы массового обслуживания с ненадежными обслуживаниями приборами в переходном режиме Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.324:519.872

Н. I. ПОСЛАЙКО (ДПТ)

ДОСЛ1ДЖЕННЯ ОДН1С1 СИСТЕМИ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ З НЕНАД1ЙНИМИ ОБСЛУГОВУЮЧИМИ ПРИЛАДАМИ В ПЕРЕХОДНОМУ РЕЖИМ1

Розглядаеться система масового обслуговування з необмеженою чергою i ненадiйними обслуговуючими приладами. Запропонована методика розрахунку ймовiрностей станiв тако! системи.

Рассматривается система массового обслуживания с неограниченной очередью и ненадежными обслуживающими приборами. Предложена методика расчета вероятностей состояний такой системы.

A queuing system with unlimited line and unreliable of probabilities of stats of the system has been proposed.

Математичш моделi масового обслуговування широко використовуються при досл> дженш багатьох техшчних систем, зокрема, транспортних систем, для тдвищення 1х ефек-тивносп.

С величезна кшьюсть публiкацiй на цю тему. Найбшьш вивченими е математичш моделi систем масового обслуговування, яю опису-ються в рамках одновимiрних марковських процесiв. Це так зваш класичнi системи масового обслуговування (з вщмовами, з обмеже-ною та необмеженою чергою, замкненi, з прю-ритетами та iншi).

Так, добре вивчена в перехщному та стащо-нарному режимах система масового обслугову-вання з необмеженою чергою, в яку надходить найпростiший потiк заявок, а час обслуговування одше! заявки розподшений за показнико-вим законом. 1нтенсившсть вхiдного потоку та штенсивнють обслуговування в такiй системi не залежать вщ часу, заявки в систему надхо-дять по однш (найпростiший потiк заявок е ор-динарним) [1].

Математична модель ще! системи потiм уза-гальнювалась в рiзних напрямках. Була запропонована i дослiджена модель з неординарним пуассошвським потоком, модель, що неоднор> дна за часом, тобто штенсивнють вхщного потоку та обслуговування е функщями часу та iншi узагальнення. Причому, як правило, в ма-тематичних моделях цiеi системи можливий вихiд з ладу обслуговуючих приладiв протягом роботи системи не враховувався. Врахування надiйностi обслуговуючих приладiв та 1х вщно-влення у разi виходу з ладу суттево ускладнюе математичнi моделi. Для системи масового об-слуговування з необмеженою чергою i дисцип-лшою черги «першим прийшов - перший об-

service devices is considered. A computational technique

служений» врахування перелiчених факторiв вперше було здiйснено в робот [2]. Процес обслуговування був представлений як двохвимiр-ний марковський процес, одна компонента яко-го в кожен момент часу ствпадае з числом ви-мог в OT^^i (в черзi та на обслуговування), а друга - з числом приладiв, що вийшли з ладу. На основi результатiв цiеi роботи в данш статтi пропонуеться методика чисельного розрахунку ймовiрностей сташв системи масового обслуговування в перехщному режимi. Розроблена методика дозволяе наближено розраховувати час, через який в OT^^i установлюеться стащ-онарний режим роботи, якщо такий режим для дослiджуваноi системи з заданими певними значеннями параметрiв iснуе.

Розглянемо процес {nt, £,t}, t > 0, де nt - число несправних приладiв в момент часу t, E,t -число заявок, яю знаходяться в OT^^i в момент часу t,

nt е {0,1,...,n}, ^ е {0,1,2,...},

де n - загальна кiлькiсть обслуговуючих прила-дiв в системi обслуговування.

Припускаеться, що в систему масового обслуговування надходить неординарний пуассо-нiвський потiк заявок з штенсивнютю X,

ад k=1

де Xk - iнтенсивнiсть надходження групи з k заявок.

Ймовiрностi переходу процесу {nt,} за час Д(Д —^ 0) задаються наступним чином:

(т, г) :1 - (Х + т1п(г, п - т) х х(ц + V) + тв)А + о(А), (т, г + к): XкА + о(А),

к > 1,

(т, г) ——(т,г - 1):т1п(г,п - т) х х цА+о (А), (т +1, г): т1п(г, п - т) х хvА + о(А), (т -1, г): твА + о( А),

де т = 0,1,...,п;г = 0,1,2,...,- ймовiрностi шших переходiв порядку о(А)

о(А)

11т-= о

А^о А

Тут V - штенсившсть виходу з ладу одного приладу, ц - iнтенсивнiсть обслуговування одше! заявки одним приладом, в- штенсившсть вщновлення одного приладу у разi його виходу з ладу.

Процес {п, ^} - двовимiрний марковський процес.

Якщо ймовiрностi станiв такого процесу по-значити

Ртг С) = Р И = т, ^ = г},

то можна показати, що система диференщаль-них рiвнянь Колмогорова для тако! системи мае вигляд:

ЖРт,г (г)

Ж

= -[X + тв + т1п(г, п - т)ц +

+т1п(г, п - m)v]Ртг (г) + т1п(г, п - т) х XVPm-1,г С) + (т + 1)вРРт+1,г С) +

г

+ т.п(г + 1 п - т)рт,г+1 (0 + XРт,г-г С)Хг ,

г=1

(т = 0,1,...,п -1; г = 0,1,2,...), 'ЖРп,о (г)

ЖРпг (0

= -(Х + пв)Рпо (г),

= -(X + пв) Рп,г (г) + £ Рпг-г (г )Х ,

них диференщальних рiвнянь, цю нескiнченну систему диференщальних рiвнянь можна за до-помогою твiрних функцiй звести до скшчено! системи диференцiальних рiвнянь:

дф0(г, 9)

Фт(г,9) = £Ртг(г)9г, |9|< 1,

г=0

= qо (9)ф0 (г, 9) + вфДг, 9) + /0 (г, 9), = nvфо (г, 9) + ^(9)^(9) +

дг

дф1(г, 9)

д9

+2вф2(г, д) + /1(г, 9).

дфп (г, 9)

дг

= Vфn_1 (г,9) + qn (9)фп (г, 9) + /п (г, 9) (1)

де

qm (9) = Х(9) + ц (п - т) - (Х + тв) - (п - т)^ + ц), 9

Гц ^п-т-1

/т(г,9) = [е ц^ (г-п + т)х

хРт,г (г )9г + V £ (г - п + т -1) х Рт-1 (г )9'

г=0 ад

т = 0,1,...,п, Х(9) = ХХг9г .

г=1

-1

Покладаемо X гРтг (г)9г = 0.

г=0

У векторно-матричному виглядi остання система запишеться наступним чином:

дф(г, 9) дг

= б(9)ф(г, 9) + / (г, 9) (1')

де ф(г, 9) =

Жг

г = 1,2,3...

Ця система диференщальних рiвнянь не-скiнченна. Щоб скористатись теорiею звичай-

Ч(', 9) ^ Г /0(г, 9) ^

ф:(г, 9) , / (г, 9) = /1(г, 9)

чфп (г, 9) у , /п (г, 9),

в 0 ... 0

^(9) 2в ... 0

0 0 ... qr -1(9)

0 0

0 ^ 0

qn (9).

г=1

В систем1 (1) кр1м тв1рних функцш фт (г, 9) ф1гурують вирази /т (г, 9), яю мютять частину шуканих ймов1рностей, а саме ймов1ршсть Ртг (0, о < Г < п -1.

Для розв'язування системи (1) використаний допом1жний двохвишрний марковський процес,

^ ( * у * }

однор1дний за другою компонентою {пг, Ы

Таю процеси були запропоноваш { дослщжеш Сжовим I. I. та Скороходом А. В. [3, 4] 1 широко використовуються при дослщженш р1зномашт-них систем масового обслуговування.

Допом1жний процес тюно пов'язаний з про-цесом {пг, Ы} 1 задаеться так:

е{0,1,..., п}, Се {0, ±1, ±2,...},

^ • • ( * с-. * }

ймов1рност1 переход1в {пг, Ы } хз стану в стан за час Д(Д ^ 0) мають вигляд:

(т, г) :1 - (Х + тв + (п - т) х x(| + v)Д + о(Д)-),

(т, г + к): XкД + о(Д), (т, г -1): (п - т)|Д + о(Д),

(т -1, г): твД + о(Д), (т +1, г): (п - т^Д + о(Д),

т = 0,1,..., п; г = 0, ±1, ±2,...,

яю породжують неоднорщнють системи (1):

(т, г )-

ймов1рносп шших переход1в порядку о(Д). Нехай

Рт С, г) = Р

[ * V * / * 7 1

|П( = m, Ы = г / П0 = 1 ,|

к0=0, I

дфШ (Г, 9)

дг

= [Х(9) - X - (п - т х

1

х[ 9 -1,1 - т£ - (п - т^Ьш (г, 9) +

+(1 -Зтп )(т +1) 6ф;, т+1 (г, 9) +

+(1 -5т0)(п + т -1)Vф;,mг,9) ,

де 5тп - символ Кронекера, I, т = 0,1,..., п. Якщо ввести функщю

фШ (г, 9) = е[х-х(9)]г ф;т (г, 9) та позначення

ф ; (г, 9) = (ф ;0(г, 9), ф 9),..., Ф ;п (г, 9)),

(2)

Г(9) =

у 0(9) 6 0 ... 0 0 nv у1(9) 2б ... 0 0

0 0 0 ... V Уп (9)

Ут (9) = (п - т)|1 9-11- тб - (п - т^ ,

т = 0,1,...,п, то систему (2) можна записати у вигщщ дф ; (г, 9)

дг

= Г(9)ф ; (г, 9),

(2')

(I, т = 0,1,..., п; г = 0, ±1, ±2,...)

ймов1рносп сташв допом1жного процесу (п;, Ы ;) в припущенш, що в початковий момент

часу г = 0, п0 = I, Ы0 = 0.

1з задання процесу {п ;,}. видно, що вш е

марковським процесом, однорщним за другою компонентою.

В термшах тв1рних функцш

ад

фт (г, 9) =1 РШ (г, г )9г , |9|< 1,

г

система прямих диференщальних р1внянь Колмогорова для процесу {п ;, }. набувае вигляду аналопчного (1), але без доданюв типу /т (г, 9),

звадки ф ; (г, 9) = ехр {Г(9)г}.

Розв'язок ф ; (г,9) е матричною експонен-тою, 1 його можна використати для наближено-го обчислення ймов1рностей сташв допом1жно-го процесу. Про це буде йти мова даль

Враховуючи зв'язок м1ж (1') та (2'), тсля ряду перетворень можна отримати залежшсть м1ж ймов1рностями сташв процешв {пг,Ы} та

{п;,ы;}:

Р,1 (г) = %,; (г) + Е £} [v(г - п +7 -1) р; X

7=0 г =0 0

х(г - т, ] - г)Рг-! г (т) + (г - п + 7)Р; X х(г -т, ] -г ) Рг (т)]^ т, (3)

(к = 0,1,...,п; ] = 0,1,2,...),

де P* (t -т, j -r) = цр* (t - т, j -r + 1) --(ц+v) p* (t-т, j - r)

(t) = m, j (t)+(t)'

Fo;(t,r), k = 0,1, r = 0,±1,±2,...з (2')

m

k, j

(t) = Ё dk,y (i, t),

i=0

ЬК] (г) = Х а]+т,т (к, ^),

т=1

Жк,; (г,г) = Х Ргт (0)Р* (г, У - т),

т=0

к = 0,1,..., п,

а у+т,т (к, г) = Х Р, у+т (0) Р* С,-т).

г=0

З системи рiвнянь (3) Р (г) при у > п можна рекурентно виразити через Рк0 (г), Рк1(г),..., Рк п-1(г). Останнi ймовiрностi е розв'язком системи iнтегральних рiвнянь Вольтерра другого роду, яку отримаемо з (3) при у = 0,1,..., п -1.

Тепер розглянемо, як можна, використову-ючи чисельш методи наближено обчислити ймовiрностi станiв допомiжного процесу

Р *т (г, г), через як виражаються ймовiрностi

станiв основного процесу Рку- (г), оскшьки явнi

аналiтичнi вирази через локальш характеристики процесу обслуговування одержати для них неможливо.

Покажемо це на приклад^ коли

п = 1,1 = 0, X = Х1, X г = 0, г = 2,3,..., к = 0. У цьому випадку система (3) набувае вигляду

F0

o j

(t) = c0j. (t) + J [(ц + v) X F00 (t - T, j) -

маемо

dt

д _dt

або

Ф 00(t, 6) Ф 0i(t, 6)

Y0(6) e v Yi (6)

®00(t, 6) Ф 0i(t, 6)

' д

- Ф 00 (t, 6) = Y 0(6)Ф 00(t, 6) + еФ 0i(t, 6), dt

д

-Ф 0i (t, 6) = vФ 00 (t, 6) + Yi (6)Ф 0i (t, 6),

dt

з початковими умовами

Ф 00(0,9) = 1, Ф 01(0,9) = 0.

Розв'яжемо останню систему операцшним методом. Нехай

У

(6, S) = J е-st Ф 0k (t, 6)dt, k = 0,1,

- перетворення Лапласа шуканих функцiй. Тодi отримаемо з урахуванням початкових умов систему лшшних алгебра!чних рiвнянь вiдносно

Ук(9,5):

Г 5У 0 (9, -1 = У 0 (9)У 0 (9, + вУ 1 (9,5), [ 5УД9,5) ^У0(9,5) + У1(9)УД9,5).

Розв'язок ще! системи мае вигляд:

У 0(9,5) = +

У1(6, s) = +

-vp)* (t - T, j) - цр*0 (t -T, j + 1)]р|0 (T)dт .

Bci ймовiрностi сташв F0 j (t) при j > 1 рекурентно виражаються через P00 (t) та F0*m (t, j), m = 0,1. P00(t) е розв'язком штегрального рiв-няння Вольтерра другого роду t

F00 (t) = C0fi (t) + J [(ц + v) • P)o (t - т,0) -

де s1 =

Y 0 (6) + Y1 (6) + V (Y 0(6) - Y1 (6))2 + 4ev

Y 0(6) + Y1 (6) -4 (Y 0(6) - Y1 (6))2

4ev

2

= Y1 (6) - S1 = S2 - Y1 (6)

Л1 - , 2 :

-v v

B1 =-, B2 =-

-vp* (t - т,0) -ц p) • (t -т, 1)]F00 (т)dт (4) Для знаходження

Корiнь квадратний iз комплексного числа (У0(9) -у1(9))2 + 4пу, як вiдомо, мае два зна-чення, якi вiдрiзняються знаком. В даному ви-

2

S2 =

падку можна взяти бyдь-яке значення. Звщси мaeмо

Ф 0o(t, e) = A-1 + a-2 Ф01(t, e) = B1esit + B2es2t.

Отже ф0k (t, e) = Ф0k (t, e)e-[À-À(e)]t, k = 0,1. При зроблениx припyщенияx À(e) = Àe.

m

Врaxовyючи, що ф0к (t,e) =£ P^ (t, r)er,

r=-m

k = 0,1, де r = 0,±1,±2,..., на основi теореми Лорана мaeмо:

Pok (t, r) = -1- ^^^ de, k = 0,1. (4)

Зробимо в (4) зaмiнy змшнж e = e1(f (фе[0;2л]). Oтримaeмо пiсля ряду пере-творень (з огляду на ïx громiздкiсть вони тут не наводяться) вирази для P0o(t, r ) та P0*(t, r) y виглядi визначенж iнтегрaлiв. Так

1 2п

P00(t, r) = — e~Àt J eÀtcosфE(ф) cos rydф +

4n o

1 2п

+—e~Àt J eÀtcosVF(ф) cos rqdф,

Í1 - с (ф) ^

л/1(ф)

sin I 2 Fз(ф)t

E2 (ф) =

Í1, с(ф) ^

cos I - F-(ф)t

m-( 2 ** i

E3(ф) = ^cosф-1) -v-s-yfjcosI ю(ф) - ф

F3(ф) = sin -ф l + цsin ф,

E-(ф) = ц(cos ф-1)-v-s + \/7 cos

F-(ф) = \ß sin i Ю(ф) -ф l-ц sin ф

ю(ф)

■ф|,

C (ф) = (ц cos ф - ц-v + s)cos

ю(ф)

ф

®(ф) ^ -ц sin ф|--ф

rw ч • I ®(ф)

D(q) = ^in фcos I--ф

де

E (ф) =

Í

í i

-E4(V)t

E2^)e2 + Ei (ф)- 2

1 E3(T)t ^

-E„(T)t

F2^)e2 + F^)e2

1 E (9)t ^

cos(Àt sin ф) -sin(Àt sin ф),

, ч . I й(ф) ^

+(ЦCOS ф-ц-v + s)sin I--ф

1

F (ф) =

Í

- Et(T)t

2

F2 (ф)- 2 + F1^)e

1 E3(T)t ^

cos(Àt sin ф)

-2e (ф> 1E3 (ф)г ^

E2 (ф)- 2 + Ei (Ф)-2

sin(Àt sin ф),

Е1(ф) =

Í1 - с(ф) ^

cosI -Fз(ф)t 1 +

Dh Í 2 Fз(ф)t

ю(ф) = arg(A + iB), l (ф) = 7A2 + B2 , де A = ц2 - 2ц^ - v) + ц2 - 2ц^ - v) + 4sv , B = [(s -ц- v)2 + 4sv]sin 2ф +

+2ц(s - ц - v)sin ф.

P01 (t, r ) мae вигляд :

Y^) = Y1 (ф) cos(Àt sin ф) - 51(ф) sin(Àt sin ф), 5(ф) = Y1 (ф) sin(Àt sin ф) + ô1 (ф) cos(Àt sin ф),

v--Àt 2n -Àtcosф

P0i(t, r )=-^J -

—J^- у(ф) cos rфd ф+

™=ifcos 12

2n 0 4Î

-Àt 2n Àt cos ф

ve re

+--I —j=—ô(ф)sinrфdф .

2n 0 Vl

Тут уДф) = a(9)cos j °)(ф) -ф

+Р(ф) sin I -Ф

51 (ф) = а(ф) sin j "(ф) - ф

+P(ф)cos| "М-ф

-Е4(ф)— ( 1

а(ф) = -e2 cos I — F4(q)t

-Е,( ф)t (1 +e2 cos I — ^з(ф)t

—Е4(ф)— (1

Р(ф) = e— sin I — F4 (ф)—

1 Ез(ф)— . ( 1 „ . . ,

+e2 sin I — ^3(ф)— j.

Коли компонента допомiжного процесу Е* приймае великi за абсолютною величиною зна-чення r , пiд знаком звичайних iнтегралiв в ви-разах P0*0(t,r) стоять швидкоосцилюючi функ-ци. Наближене обчислення штегратв вiд шви-дкоосцилюючих функцш за допомогою звичайних квадратурних формул (прямокутникiв, трапецiй, Симсона) недоцшьне. В цьому випад-ку можна скористатись методом Фшона, який призначений для обчислення iнтегралiв виду

b b I = j f (p)cos xpdpI— = j f (p)sin xpdp,

a a

коли x не е малою величиною [5].

1нтервал iнтегрування дшиться на 2n час-тин з кроком h . Позначимо 0 = xh. Тодi основ-нi розрахунковi формули мають вигляд:

b

j f (p) cos xpdp « h{a[ f (b) sin xb -

a

- f (a)sin xa] + pC2n +уС2п-1},

b

j f (p) sin xpdp « h{-a[ f (b) cos xb -

a

- f (a) cos xa] + PS-n + YS2n-1 } ,

де a, в, у, якi е функцiями 0, визначаються з наступних сшввщношень:

93a = e2 +0 sin 0 cos 0-2sin2 0, 03в = 2[ 0(1 + cos2 0) - 2 sin 0 cos 0], 03 y = 4[sin 0-0 cos 0];

C2n - сума всiх парних ординат криво! y = f (p) cos xp, яю знаходяться мiж a та b , за винятком половини першо! та останньо! орди-нати;

C2n-1 - сума всiх непарних ординат; S2n - сума всiх парних ординат криво! y = f (p) sin xp, яю знаходяться мiж a та b , за винятком половини першо! та останньо! орди-нати;

S2n-1 - сума вах непарних ординат. В методi Фiлона передбачаеться, що функцiя f (p) з достатньою точнiстю апроксимуеться параболiчною дугою на кожному з штервашв (a, a + 2h),(a + 2h, a + 4h),...,

(a + 2(n - 1)h, a + 2nh),

де a + 2nh = b.

Для наближеного розв'язування штеграль-ного рiвняння (4) можна скористатися, наприк-лад, методом скшченних сум [6].

Розглянемо штервал [0; t ] i обчислимо P00 (t). Вiзьмемо на iнтервалi систему рiвновiд-

далених точок ti = ih, i = 0, n, де h = —, tn = t.

n

Покладемо в (4) t = ti та використаемо для наближеного обчислення штегрального члену формулу лiвостороннiх прямокутниюв з вузла-ми в точках t0,t1,...,ti-1. Одержимо рекурентну процедуру:

P00 (0) = 1,

i-1

P00 (ti) = ^0,0 (ti) + X[(^ + V)P0*0 (ti - tk, 0) -

k=0

-vP0*1(ti -tk,0)-^(t -tk,1)]P00(tk),

i = Ш , (5)

звiдки

P00 (t) = P00 (tn ) = ^00 (—п ) +X [(^+ v)P*0 (tn - tk, 0) -

k=0

-vP0*1 (tn - tk, 0) -1< (tn - tk, 1)]P00 (tk).

Таким чином, запропонована методика дае алгоритм розрахунку ймовiрностей сташв до-

слщжу вально! системи з використанням чисе-льних методiв. Ймовiрностi станiв системи е найбшьш iнформативними !! характеристиками. Використовуючи !х, можна розрахувати iншi важливi характеристики роботи системи - се-редню довжину черги, середнш час дожидання однiею заявкою початку обслуговування, сере-дне число приладiв, зайнятих обслуговуванням заявок та ш.

Крiм того, збiльшуючи значення 1 можна наближено розрахувати час, через який в сис-темi встановлюеться стацiонарний режим роботи. Умови юнування стацiонарного режиму в одно канальнш системi масового обслуговування розглядуваного типу дослщжувались в робот [7].

Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК

1. Гнеденко Б. В. Введение в теорию массового обслуживания / Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко. - М.: Наука, 1987.

2. Алиев Т. М. Управляемые пуассоновские процессы с границами и их применение. / Т. М. Алиев, И. И. Ежов - К.: Рукопись деп. в ВИНИТИ 15 марта 1976 г., № 796 - 76 Деп.

3. Ежов И. И. Теория вероятностей и ее применения: Сб. статей. / И. И. Ежов, А. В. Скороход // Марковские процессы, однородные по второй компоненте I. - Т. 14, № 1. - М., 1969. - С. 4-14.

4. Ежов И. И. Теория вероятностей и ее применения: Сборник статей. / И. И. Ежов, А. В. Скороход // Марковские процессы, однородные по второй компоненте II. - Т. 14, № 4. - М., 1969. -С. 679 -692.

5. Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике. - М.: Гостехиздат, 1956.

6. Крылов В. И. Вычислительные методы. / В. И. Крылов, П. И. Монастырский, В. В. Бобков, Т. 2. - М.: Наука, 1977.

7. Алиев Т. М. Условие эргодичности однолинейной системы массового обслуживания с ненадежным прибором. Меж. вед. научн. сб. «Теория вероятности и математическая статистика». Вып. 14, 1976.

Надшшла до редакцп 27.09.2007.