Профилирование обкаточного инструмента для обработки винтовых поверхностей Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

удк 621 »ого« к л ПАНЧУ К

И. В. БУТКО В. Ю. ПОЛШКОВ

Омский государственный технический университет

ПРОФИЛИРОВАНИЕ ОБКАТОЧНОГО ИНСТРУМЕНТА ДЛЯ ОБРАБОТКИ ВИНТОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

В теории профилирования режущих инструментов известен метод профильных нормалей, основанный на построении нормали к поверхности из точек на поверхности. В работе предлагается решение задачи профилирования обкаточного режущего инструмента, основанное на построении нормали к поверхности из внешней точки. Ключевые слова: контактные нормали, ортогональное проецирование, характеристика, линия зацепления.

В теории профилирования режущих инструментов применяются следующие методы: метод огибающих [1, 2,3|, кинематический метод [4,5], метод нормальных сечений [6], метод профильных нормалей [7]. Из перечисленных наибольшее применение получил метод профильных нормалей. Очевидно, это связано с тем, что в нем наиболее полно учтены взаимосвязанные составляющие, обуславливающие зацепление взаимоогибаемых поверхностей детали и инструмента. Первая составляющая — геометрическая, отражает известное в теории огибающих поверхностей условие, что в точках касания взаимоогибающие поверхности имеют общие нормали — контактные нормали. Вторая составляющая — кинематическая,

отражает принадлежность контактных нормалей комплексу лучей мгновенного кинематического винта, обеспечивающего мгновенное относительное движение тел с взаимоогибаемым поверхностями. Таким образом, в методе профильных нормалей учитывается как геометрия собственно взаимоогибаемых поверхностей, так и кинематика движения тел с этими поверхностями, при этом кинематика имеет достаточно ясное и полное геометрическое представление, поскольку может быть интерпретирована геометрическими образами и отношениями между ними.

В различных вариантах метода профильных нормалей решение задачи профилирования основано на построении нормали к поверхности из точки на ней.

Рис. 1. Поле нормалей торцового профиля

В данной работе в направлении развития этого метода предлагается выполнять профилирование на основе построения нормали к поверхности из точки вне ее.

Рассмотрим сущность этого подхода и попутно отметим его положительные особенности на примере профилирования обкаточных инструментов: рейки и червячной фрезы.

Контактные нормали взаимоогибаемых поверхностей отличаются от обычных нормалей этих поверхностей тем, что они являются лучами мгновенного кинематического винта, т.е. винта мгновенного относительно движения тел с взаимоогибаемыми поверхностями [8]. В случае линейного касания взаимоогибаемых поверхностей контактные нормали образуют линейчатую поверхность, одной из направляющих линий которой является характеристика — линия касания этих поверхностей. Вид этой поверхности определяется геометрией любой из двух взаимоогибаемых поверхностей и законом движения огибания этой поверхности.

Рассмотрим в качестве одной из взаимоогибаемых поверхностей цилиндрическую винтовую поверхность (ВП), заданную чертежом (рис. 1).

Линии Гд и ^ — торцовые профили ВП в плоскостях уровня Д и Д1. Винтовой параметр Ь определяется шагом Н этой поверхности: Ь = Н/(2п), а направление хода ВП — ее чертежом. Нормали к торцовому профилю Гд образуют поле нормалей в плоскости Д, ограниченное самим профилем и окружностью произвольного радиуса И,. Параметр положения г произвольной нормали п указанного поля позволяет на основании соотношения тЛ%<р = \1 определить угловое положение нормали к ВП относительно ее винтовой оси ] [7]. Очевидно, нормаль п является ортогональной проекцией нормали к ВП в точке торцового профиля ^ Знак угла <р зависит от направления хода ВП и от направления вектор-момента, образуемого проекцией п вектора нормали к ВП на торцовую плоскость Д при ее вращении относительно центра ]в плоскости Д.

Пусть пд1° и пд] — два разных положения одной нормали к торцовому профилю в его положениях Гд|° и ГД1 (рис. 2). Основания ЫД°(ЫД1°^Д2°) и ИД(ЫД1,ЫД2) этой нормали принадлежат плоскостям уровня Д°(Д2°)

и Д (Д2) торцового профиля в его положениях Гд1° и ^

дг

Положение плоскости уровня Д относительно ис-

Рис. 2. Полярное положение п°(п°1Р п°2) нормали к ВП

ходной плоскости Д торцового профиля определяется расстоянием Ц = где а: — угол между торцовыми профилями и Повернем нормаль пд1 вокруг центра ], на угол аА в положение п,°, когда она будет проходить через точку аи° = М,°, которая с точкой ], определяет прямую (аи0,],), задающую направление ортогонального проецирования на плоскость проекций П2. Этому повороту будет соответствовать положение Ы0(Ы,0,Ы20) основания нормали в плоскости уровня ДМ°(ДЫ20), удаленной от исходной плоскости Д^) торцового профиля на расстояние (1д° = 1гяд°. Так как нормаль к ВП является лучом винта [8], то для ее точки М°(М1°,М20) можно однозначно определить положение полярной плоскости С°(С2°), для которой указанная точка является полюсом в нуль-системе, порождаемой этим винтом. Положение полярной плоскости С0 относительно оси ] Ц,,у винта заданного направления определяется углом щ = агс^ (Ь/И^. В силу особенности проекционного расположения полюса М° и оси ] (рис.2) следует, что С2° есть фронтальный след полярной плоскости С0, проходящий через проекцию М2° полюса М°. На основании известного определения полярной плоскости через полюс М° проходит пучок лучей винта, один из которых совпадает с нормалью п°(п1°,п:г0) к ВП в точке М°бп°. Поэтому точка М2°= С2°П;)2 представляет собой фронтальную проекцию полюса М0 полярной плоскости С, а прямые п20ип,0 представляют собой проекции нормали п° к ВП, проходящей через внешнюю точку М°(М|°,М20).

Нормали к ВП, пересекающие прямую ^"(а,0, а2°), проходящую через полюс М° параллельно винтовой оси — эти нормали параллельны полярной плоскости С0 с полюсом М°. Действительно, положения полярных плоскостей точек-полюсов прямой относительно оси ] определяются одним и тем же соотношением (р =Ъ. Поэтому они образуют пучок

Рис. 3. Построение профиля реечного инструмента

параллельных плоскостей, расположенных под углом <рх к оси ] и каждой из них принадлежит в общем случае конечное число нормалей к ВП, проходящих через соответствующий полюс - точку пересечения полярной плоскости пучка плоскостей с прямой а°.

Основываясь на вышеизложенных теоретических предпосылках, рассмотрим геометрическую модель решения следующей задачи профилирования: задана чертежом (рис. За) цилиндрическая ВП (],Я,ЬДд1НХ) детали, где ] —винтовая ось; Я —радиус ограничивающей цилиндрической поверхности вращения (радиус начального цилиндра); Ь — винтовой параметр, определяемый из соотношения Ь = Н/(2я), в котором Н — шаг ВП; — торцовый профиль и его плоскость Д; НХ — направление хода ВП, определяемое чертежом. Требуется определить профиль Гк реечного инструмента (РИ), обрабатывающего заданную ВП, начальная плоскость Нр которого касается начального цилиндра детали с этой ВП.

Если каждую нормаль поля нормалей (рис. 1) повернуть относительно центра ] в положение прохождения этой нормали через полюс зацепления Р°, то геометрическое место оснований нормалей образует некоторую линию 1:, (рис. 3), соответствующую линии зацепления, известную в теории плоских зубчатых зацеплений [4]. Для каждой точки торцового профиля ее угловому перемещению в положение на линии I, можно поставить в соответствие определенное смещение этой точки вдоль винтовой оси ], что позволяет для линии ^ построить соответствующую ей линию 1:2 на плоскости проекций П2. Например, точка 4ef& преобразуется поворотом на

угол <pt в точку 4°et, (рис. 36), которая осевым смещением h•tpi преобразуется в точку 4G°et2. Исходя из геометрической схемы образования взаимно соответственных линий t, и t2, этим линиям можно дать следующие геометрические объяснения:

1. Линия tftj.y представляет собой ортогональную проекцию прямой m0cP°, m0||j, принадлежащую исходной ВП.

2. Линия t представляет собой линию касания вза-имоогибаемых поверхностей ВП и ЦПР (цилиндрическая поверхность реечного инструмента), т.е. является их характеристикой.

Таким образом, задание Bn(j,R,h,fD,HX) и кинематической схемы движения детали с этой ВП, соответствующей обкатке ее начального цилиндра по начальной плоскости Нр инструмента, позволяет определить характеристику t(t, ,t2), от которой можно перейти к нормальному профилю fG = ЦПРпй0, либо к профилю Гк = ЦПРпД в плоскости торцового профиля fA исходной ВП.

Геометрическая модель рассмотренной задачи профилирования позволяет выполнить аналитическое описание ее решения. В системе координат XYZ, связанной с исходной ВП, уравнения характеристики t(t,,t2) могут быть представлены в следующей параметрической форме [9]:

=—•[/?,• cos2 8 + tJr2 -pf ■ cos2 8 • sin8], R

y, = — -[^R2 -p2,-cos2 8 - p, -sin<!>]-cos<!>, (i)

касанием

zt=h- [arccos(— • cos S) - S - arctg —] R x, '

1ДЭХ,= Xj/Lj.y^ у,(Я), z,= Z,(/1), /10<-1</1п-параметрические уравнения торцового профиля^; р, = -yjxf + у? ; S — угол между радиус-вектором точки торцового профиля fA и касательной к fA в этой точке.

Рассмотренная геометрическая модель профилирования РИ, обрабатывающего заданную ВП детали, может быть положена в основу профилирования червячной фрезы для обработки этой же ВП. Обозначим ВП детали как ВП j и ВП червячной фрезы — как ВП2. Профилирование ВП2 фрезы для обработки ВП, детали на основе использования промежуточной поверхности ЦПР может быть выполнено по следующей схеме: ВП,—>ЦПР, ЦПР->ВП2. В соответствии с этой схемой взаимоогибаемые ВП, и ВП2 обладают точечным касанием, поскольку характеристики t1 и t2 в парах ВП,—>ЦПР и ЦПР->ВП2 соответственно, различны и принадлежат одной ЦПР, следовательно, пересекаются в точке, являющейся общей точкой касания ВП, и ВП2. Таким образом два линейных касания в парах ВП,->ЦПРи ЦПР->ВП2 приводят к точечному касанию в паре ВП,—>ВП2.

Точка пересечения характеристик t1 и t2 в процессе взаимного огибания трех поверхностей ВП,->ЦПР и ВП2 описывает в неподвижном пространстве линию зацепления (A3), которая представляет собой плоскую кривую, расположенную в плоскости нормального сечения общей для ВП, и ВП2 производящей рейки, причем эта плоскость проходит через точку касания начальных цилиндров ВП, и ВП2 [ 10].

Если известна A3 и характеристика t1, можно определить траекторию движения (рабочую линию [10]) контактной точки на ВП2, если некоторому перемещению по A3 общей точки A3 и t1 поставить в соответствие угловое перемещение фрезы с ВП2 отно-

сительно ее оси j2 в соответствующей подвижной системе координат. Приведенные рассуждения положены в основу геометрической модели профилирования ВП2 червячной фрезы по заданной ВП, детали и закону движения последней. Рассмотрим эту модель. Пусть задана (рис. 4) цилиндрическая Bni Ü' (j,j2')'Ri.hi. V (f4,') .HX,]. Требуется определить ВП2 червячной фрезы.

Основываясь на вышерассмотренной геометрической модели профилирования ВП,->ЦПР, определим характеристику t1 (t,l,t2') в этой паре поверхностей. Отметим, что плоскость G°(G2°) нормального сечения ЦПР образует угол <рм = arctg(h,/R,) с винтовой осью j1. Наличие характеристики t1 и положения плоскости G0 относительно j1 позволяет перейти к ЛЗ(ЛЗ,,Л32) взаимоогибаемых ВП, и ВП2 с точечным касанием. При этом A3, = t,Л32 — отрезок прямой линии на следе G2° плоскости G0.

Если сместить характеристику t1 вдоль оси j1 на величину S| в некоторое положение t,1, то этому смещению будет соответствовать поворот детали с ВП, относительно оси j1 на некоторый угол щ = s/h,. Знак угла v, зависит при данном НХ,. от направления смещения sr Сместим теперь характеристику t1 вдоль оси j1 на величину s0 из ее начального положения t'ftj'.tj1) в положение thl'(t[n 1Д,,.^1), при котором одна из ее конечных точек будет принадлежать A3. Очевидно, положению tH' характеристики будет соответствовать начальное положение ВП, характеризующее начало процесса пересечения характеристики t1 и A3 и, следовательно, начало процесса последовательного точечного касания ВП, и ВП2. Смещению s0 будет соответствовать поворот детали с ВП, вокруг ее оси j1 на угол ц/0 = s0/h,. На плоскости проекций П, этому повороту будет соответствовать начальное положение fH,1 исходного профиля f41', определяемое тем же углом ц/а.

Если теперь смещать характеристику t1 вдоль оси j1 из ее начального положения tH' в направлении непрерывного пересечения с A3 в плоскости G0, то для фиксированного момента времени можно указать положение общей точки характеристики t1 и A3 и соответствующее этому положению угловое перемещение детали с ВП, вокруг оси j1 от начального ее положения, соответствующего положению fH' характеристики. Возможная совокупность общих точек характеристики t1 и A3 исчерпывается конечным положением tk' (tk2') характеристики, когда она образует последнюю общую точку с A3. При этом деталь с ВП, совершит от своего начального положения угловое перемещение v/k = sk/h,, характеризуемое положением fk,1 торцевого профиля fM'.

Рассмотрим аналитическое описание геометрической модели профилирования ВП2 червячной фрезы. Параметрические уравнения (1) характеристики t1 можно представить в следующем виде:

х, =дс,(Я); yt = j>,(A); z, =z,(A), (2)

где Л„</1<АП, Я— параметр формы заданного торцевого профиля t.1. Однопараметрическое множество конгруэнтных характеристик {t1}, полученное в результате описанного смещения вдоль оси j1, может быть представлено уравнениями:

= С^) = С^) ■

Л» =Л»(Я) = Л(Я), (3)

zu=zuW = ziW + s<

где б — параметр множества {}. Уравнение полярной плоскости С0 имеет вид:

.У,=° С4)

и позволяет на основании (2) записать уравнение ЛЗ

Х| — х, (А) I

у, =уМ)>

Z, =Z,(A):

(5)

у M)

tg<Pm '

а также определить значение б,, параметра в, соответствующее началу процесса движения контактной точки по ЛЗ и характеризующее положение 1Н' характеристики относительно самой характеристики I1

yl(ÀK) + zl(ÀK)-igçR tg<Pm

(6)

где Лк — одно из двух граничных значений Л0 или Лп параметра Л, при выборе которого учитывается направление смещения характеристики I1 в ее начальное положение 1н\ Выбор начального положения 1Н' зависит от НХ,. Для значения параметра Л = Л1 можно указать ¡-ую точку на ЛЗ:

х\ ~х\ (Л')>

у\ = У\(Л ) '

(7)

z, =Zl(A,.) = -

через которую проходит линия множества {!'}, при этом положение относительно I' определяется значением в, параметра б:

(8)

'ё<Рп\

В таком случае смещение s" линии t.1 от началь-tH' характеристики определяется

следующим образом:

(9)

а угол поворота (3, детали с ВП, от ее начального положения, соответствующего I:,,1, будет следующим

червячной фрезы была предложена одним из соавторов достаточно давно [ 10] и, несмотря на простоту ее вычислительного алгоритма (алгоритм работает в режиме прямого счета) и выполненные практические реализации, не нашла должного применения в практике проектирования режущих инструментов. Заметим также, что червячные фрезы, работающие по схеме точечного взаимоогибания, обеспечивают высокопроизводительную обработку поверхностей деталей и, несмотря на недостаток формообразования этих поверхностей такими инструментами (в силу точечного формообразования появляется огранка на обрабатываемой поверхности), — эти инструменты нашли достаточно широкое практическое применение [7].

Библиографический список

1. Фрайфельд, И. А. Инструменты, работающие методом обкатки / И. А. Фрайфельд. — М. ; Л. : Машгиз, 1948. — 251 с.

2. Панкратов, Ю. М. Профилирование обкатных инструментов / Ю. М. Панкратов. — СПб. : Политехника сервис, 2010. - 158 с.

3. Залгаллер, В. А. Теория огибающих / В. А. Залгаллер. — М. : Изд-во «Наука», 1975. - 104 с.

4. Литвин, Ф. Л. Теория зубчатых зацеплений/ Ф. Л. Литвин. — 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Наука, 1968. — 584 с.

5. Люкшин, В. С. Основания кинематического метода в теории зацеплений / В. С. Люкшин, Р. М. Пеньков // Известия вузов. Машиностроение. — 1974. — № И. — С. 45 — 48.

6. Лашнев, С. И. Расчети конструирование металлорежущих инструментов с применением ЭВМ / С. И. Лашнев, М. И. Юликов. — М. : Машиностроение, 1975. — 391 с.

7. Справочник конструктора-инструментальщика / В. И. Баранчиков [и др.]. — М. : Машиностроение, 1994. — 560 с.

8. Панчук, К. Л. Кинематический метод профилирования дисковых инструментов / К.Л. Панчук // Известия вузов. Машиностроение. - 1979. - № 11. - С. 125-129.

9. Панчук, К. Л. Профилирование цилиндрической поверхности реечного инструмента по заданной винтовой поверхности изделия / К. Л. Панчук // Автоматизация технологических процессов с многоканальной обратной связью : межвуз. сб. / Новосибирский инж.-строит, ин-т. — Новосибирск, 1976. — С.54 —58.

10. Панчук, К. Л. Профилирование червячных фрез для обработки зубчатых деталей на основе геометрии и кинематики контакта /К.Л. Панчук // Автоматизация проектирования и математическое моделирование криволинейных поверхностей на базе ЭВМ : межвуз. сб. / Новосибирский инж.-строит. ин-т. — Новосибирск, 1977. - С. 54-60.

<Р\

ÎL h

■Sfl — S,

(10)

"1 И\

Полученные координаты (7) контактной точки на ЛЗ и соответствующий угол поворота (10) исходной ВП, позволяют при помощи формул преобразования систем координат определить координаты контактной точки на самой ВПГ Координаты контактной точки на искомой ВП2 определяют уравнениями (7), (10) и соответствующими формулами преобразования систем координат [10].

В заключение работы отметим, что идея рассмотренной геометрической модели профилирования

ПАНЧУК Константин Леонидович, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики.

ПОЛШКОВ Владислав Юрьевич, студент группы МС-516.

БУДКО Иван Валерьевич, студент группы МС-516. Адрес для переписки: e-mail: panchuk_KL@mail.ru

Статья поступила в редакцию 16.02.20X1 г. © К. Л. Панчук, В. Ю. Полшков, И. В. Бутко