CC BY
67
ТЕХНОЛОГИЯ МАШИНОСТРОЕНИЯ
УДК 621.9.02.001
К.Л. Панчук, В.Ю. Полшков, И.В. Бутко
КОМПЬЮТЕРНОЕ ГРАФИЧЕСКОЕ ПРОФИЛИРОВАНИЕ ДИСКОВОГО ИНСТРУМЕНТА ДЛЯ ОБРАБОТКИ ВИНТОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В теории профилирования режущих инструментов известен метод нормалей, основанный на построении контактных нормалей к взаимооги-баемым поверхностям из точек на поверхности [1, 2]. Анализ существующих специализаций этого метода для решения рассматриваемой задачи профилирования позволяет сделать вывод о том, что им присущи значительные сложность и громоздкость графических построений в определении отдельной точки касания взаимоогибаемых поверхностей. В работе предлагается подход к решению задачи профилирования, основанный на построении нормали к поверхности из внешней точки. Некоторые преимущества компьютерной графической реализации этого подхода будут показаны по ходу изложения материала работы.
1. Теоретические аспекты построения нормали к винтовой поверхности извнешней точки
Контактные нормали к взаимоогибаемым поверхностям отличаются от обычных нормалей тем, что они являются общими для обеих поверхностей в точках касания и в геометрической интерпретации представляют собой прямые общего линейного комплекса (нуль-система) [3], а в кинематической - лучи мгновенного кинематического винта, определяющего мгновенное относительное движение тел с взаимоогибаемыми поверхностями
[4].
Рассмотрим в качестве одной из взаимооги-баемых поверхностей цилиндрическую винтовую поверхность (ВП). Пусть ВП задана своим чертежом (рис.1). При этомj - винтовая ось (ось ВП), занимающая проецирующее положение относительно горизонтальной плоскости проекций, й5 и й1 - торцовые профили ВП в горизонтальных плоскостях уровня 5 и 51 соответственно. Пусть также к = Н /(2п) - винтовой параметр ВП, Н -шаг ВП. Направление хода ВП определено чертежом.
Под торцовым профилем будем понимать линию сечения ВП плоскостью, перпендикулярной ее винтовой оси.
Нормали к торцовому профилю й5 образует поле нормалей в плоскости 5, которое в рассматриваем подходе к профилированию ограничивает-
ся окружностью радиуса Я
Из теории винтовых поверхностей известно, что положение нормали к ВП относительно винтовой оси j определяется соотношением [5]: Г-Х^ (р=к, где г и ф соответственно кратчайшее расстояние и угол. Учитывая особенность проекционного расположения ВП относительно плоскости проекции П1 (см. рис.1), выражающуюся в том, что j ± Пь можно на основании приведенного соотношения утверждать, что нормаль к торцово-
Рис.1 Поле нормалей торцового профиля
му профилю в его точке есть с точностью до направления ортогональная проекция нормали к ВП в этой точке. В этой связи знак угла ф зависит от направления хода ВП и от направления вектор-момента, образуемого проекцией вектора нормали к ВП на торцовую плоскость при ее вращении относительно центра j в плоскости П1.
Применим некоторые понятия и теоретические положения теории винтов [4] в рассматриваемом подходе. Пусть п510 и п51 - два разных положения одной и той же нормали к торцовому профилю в его положениях й510 и й51 (рис. 2). Очевидно, основания ^0 и N этой нормали принадлежат разным плоскостям уровня 50 и 5 торцового профиля в его положениях й510 и й51. Повернем нормаль к торцовому профилю вокруг центра j1 в положение п10, при котором она будет проходить через точку а110 = М10. Этому повороту на угол а будет соответствовать положение N° основания нормали в соответствующей плоскости уровня 5№. Поскольку нормаль к ВП является лучом винта [4], то приняв точку М0 нормали в качестве полюса определенной полярной плоскости в0, получим, в соответствии с определением этой плоскости,
Рис. 2 Проецирующее положение полярной плос-
что через точку М0е00 проходит пучок лучей винта, один из которых совпадает с нормалью п0 к ВП в точке М0еп0 Положение полярной плоскости в0 относительно винтовой оси j определяется соотношением (рг=к , где - расстояние
от полюса
М0
до оси j, ф1 - угол между полярной плоскостью в0 и осью j. Исходя из проекционной особенности расположения полюса М0 и оси j (см.
рис. 2), получаем, что в20 есть фронтальный след полярной плоскости в0, расположенной под углом ф1 к оси j, проходящей через основание № нормали. Поэтому точка М2 =в2 о _)2 есть фронтальная проекция полюса М0 полярной плоскости и,
Рис.3 Поворотные положения нормали
следовательно, п20 и п10 есть проекции нормали п0 к ВП, проходящей через внешнюю точку М0(М10, М20).
Нормали к ВП, которые пересекают прямую а10(а110, а120), проходящую через полюс М0 параллельно винтовой оси j, - эти нормали параллельны полярной плоскости в0 с полюсом М0. Действительно, полярные плоскости с полюсами - точками прямой а10, определяются одним и тем же соотношением Я <Рг=к. . Следовательно, они об-
разуют пучок параллельных плоскостей, и каждой из них в общем случае принадлежит конечное число нормалей ВП, проходящих через полюс -точку пересечения полярной плоскости и прямой
а10.
Как следует из вышеизложенного, для построения нормали к ВП на основе использования минимального количества изображений ВП, т.е. на П1 и П2, необходимо, чтобы полярная плоскость, содержащая искомую нормаль, была проецирующей относительно П2. Принимая любую точку пространства, через которую должна проходить нормаль к ВП, в качестве полюса полярной плоскости винта (],Ь), и полагая, что через эту
Рис. 4 Определение точки К, характеристики
точку проходит конечное число нормалей к ВП, мы должны выполнить некоторое геометрическое преобразование, направленное на изменение положения полюса и ВП с целью получения проецирующего положения полярной плоскости. Очевидно, этим преобразованием является вращение относительно винтовой оси і
На рис. 3 показаны поворотные положения полюсов “М”, образующих одно и тоже расстояние Я с винтовой осью і М1 (Мі1, Мі2), М0(М10, М20) и М51(М511 , Мв21 )
Прямая кратчайшего расстояния между полюсом М0 и осью і занимает проецирующее относительно П2 положение. Поэтому полярная плоскость 0°(02°) этого полюса является также проецирующей и образует угол срі=ахс\^(к/КІ) с осью і Прямая кратчайшего расстояния между полюсом М1 и осью і не занимает проецирующего положения. Пусть п11 - проекция проходящей через точку М1нормали к ВП. Выполним поворот полюса М1 и ВП, находящихся в жесткой связи друг с другом, вокруг оси і на угол а до проецирующего положения полярной плоскости. В таком случае на плоскости проекций П1 получаем соответствующее изображение положения п110 проекции нормали к ВП из точки М1. Очевидно, проекции М120 и N на П2 оснований нормали в ее
положениях п10 и п1 принадлежат одной плоскости уровня 510(5120). Проекция ^20 основания нормали п10 определяет след в120 проецирующей полярной плоскости в10 с полюсом М10 (М110, М120) Очевидно, М120,= в120.П||2 Из вышеизложенного следует параллельность следов в120|| в20. В соответствии с выполненным преобразованием проекции М120 и М12 положений полюса М1 будут принадлежать одной горизонтальной прямой, а сами положения М10 и М1 полюса М1 - одной горизонтальной плоскости уровня.
Если повернуть на угол а5 полюс М51, через который проходит нормаль п51(п511 , п521) к ВП, в жесткой связи с ВП, до проецирующего относительно П2 положения в510(в5210) его полярной плоскости в51, то получим на П1: проекцию п5110 положения п510 преобразуемой нормали п51, проекцию ^10 положения N5l0 преобразуемого основания N5 этой нормали на ВП и проекцию М5110 положения Мг10 преобразуемого полюса М51, через который проходит нормаль п51. При таком преобразовании ВП поворачивается относительно своей оси j на угол ав, полюс М5 перемещается в свое положение М510(М5110, М5210) в горизонтальной плоскости уровня, при этом соответствующие проекции М521 и М^10 принадлежит горизонтальной прямой, а основание N5 нормали к ВП и его полярное положение ^10 принадлежит горизонтальной плоскости уровня 5(52).
2. Геометрическая модель профилирования дискового инструмента
Основываясь на вышеизложенных теоретических положениях, рассмотрим геометрическую модель компьютерного графического профилирования на конкретном примере профилирования. В качестве исходных примем следующие данные:
1. ВП (^ЯДйДнХ) задана чертежом (рис. 4), где j - винтовая ось; Я - радиус ограничивающей цилиндрической поверхности вращения; И - единичный шаг (винтовой параметр); й51 - торцовый профиль и его плоскость 51; НХ- направление хода ВП. В качестве торцового используем профиль винтовой стружечной канавки концевой фрезы, состоящей из трех участков (отрезок прямой линии и дуги двух окружностей), состыкованных по первому порядку гладкости [2].
2. Параметры установки профилируемого дис-
кового инструмента (ДИ): и - ось ДИ, положение которой относительно оси j определяется кратчайшим расстоянием а и углом скрещивания в, а относительно ВП - положением точки скрещивания 8, принадлежащей плоскости 5 торцового профиля й5. Чертеж на рисунке 4 выполнен средствами плоской графики КОМПАС У11 и соответствует следующим численным значениям исходных данных в=63°, а=51.23мм, а=60°(см.
рис1), И= 43.328мм; Я=25мм. НХ определяется чертежом.
Рассмотрим при этих данных построение на ВП ортогональной проекции произвольной точки Р1еи на основе средств плоской графики КОМПАС У11. На горизонтальной плоскости проекции П1 угловое положение горизонтальной проекции Р1еи относительно проецирующего направления на фронтальную плоскость проекции П2 определяется углом а!. В примере а1=21020’. Построим поле нормалей {п} к профилю й5 (см. рис.1), ограниченное профилем ^ и окружностью радиуса
^L = с!- В примере К,=55мм. Повернем на П,
точку Р1еи в жесткой связи с телом, к которому прикреплена ВП, в положение Р10, при котором полярная плоскость в1 полюса Р1 станет проецирующей (в10 ) относительно П2, при этом
{Щ=ахсХ§(И/К1) . В примере ф1=38014’. В связи с этим поворотом поле нормалей {п} вместе с профилем й5 повернется в плоскости 5 относительно
0_ I
винтовой оси j на угол а =а+а и заимет новое положение, определяемое новым положением й50 профиля й5. Для профиля й50 и индуцируемого им поля нормалей построим линию ЛЗ1, которая известна в теории плоских зубчатых зацеплений, как линия зацепления [6]. Как известно, ЛЗ1 представляет собой геометрическое место оснований нормалей к торцовому профилю, полученных в результате поворота каждой нормали относительно центра j окружности Я1 в положение прохождения
этой нормали через полюс зацепления Р,и- На ри-
сунке в качестве примера показано построение конечной точки М10 на ЛЗ1, как основания нормали пМ в ее положении пМ0, проходящем через полюс Р10 при повороте нормали пМ на угол аМ вокруг центра і из ее положения относительно про филя ^0 . Очевидно, основание МєпМ в результате поворота преобразуется в точку М10є пМ0.
Линии ЛЗ1 соответствует по построению линия ЛЗ2 на плоскости проекции П2. Каждой точке на ЛЗ1 соответствует определенная точка на ЛЗ2, которая определяется в проекционной связи удалением d от плоскости 5, т.е. каждая точка на ЛЗ1, после выведения ее по перпендикуляру к плоскости 5=П1 из этой плоскости на расстояние, пропорциональное углу ( со знаком + или -) поворота в плоскости 5=П1, становится точкой на ЛЗ2. Так, например, положение точки М20є ЛЗ2, соответственной точке М/’еЛЗь определяется расстоянием
= ■ ' где угол аМ взят со знаком +, поскольку поворот, в результате которого получаем М^-М10, соответствует заданному НХ исходной ВП.
Как следует из п. п. 1, ЛЗ с проекциями ЛЗ1 и ЛЗ2 представляет собой по существу ортогональную проекцию прямой линии т/^ш/3!!), ш10эР10) на заданной ВП, полученную проецированием нормалями к ВП на саму ВП.
Таким образом, на чертеже (см. рис. 4) выполнено построение ЛЗ (ЛЗ1, ЛЗ2), соответствующей выбранной точке Р1єи в ее положении Р10 =ш10.
Раньше, в п.п.1 было отмечено, что параметры положения взаимно соответственных полюса Р10 и полярной плоскости в10 удовлетворяют соотношению К,Л§,у)=к . Исходя из вышеизложенного можно утверждать, что точка пересечения К10 = в10пЛЗ представляет собой основание нормали к ВП, проведенной из точки Р10. Обратным поворотом в плоскости П1=5 на угол -а1 относительно центра і получаем искомую точку К1 - основание нормали п1 к ВП, проходящей через исходную точку Р1єи. Рассматривая прямую и как множество {Р1} точек Р1 и выполняя по рассмотренному выше алгоритму построения основания К1 нормали п1 к ВП, проходящей через каждую Р1, получим множество точек {К1}, образующих характеристику - линию касания взаимоогибаемых поверхностей, одной из которых является ВП. Последующее рассмотрение других точек Р1єи в решении поставленной задачи профилирования при тех
численных значениях исходных данных позволило обнаружить существование нескольких нормалей к ВП, проходящих через одну и ту же точку К1єи. Эта отличительная особенность предлагаемой геометрической модели профилирования может быть использована для качественного анализа результата профилирования, например, при исследовании подрезания. Другой положительной особенностью модели является возможность значительного сокращения количества операций построения, поскольку ЛЗР1, построенная для точки Р1єи, и ЛЗР1/, построенная для точки Р1єи, симметричной Р1 относительно точки скрещивания 8 є и, неотличимы по геометрической форме и разнятся лишь положением относительно плоскости 5=П1.
В случае аналитического описания предлагаемой геометрической модели профилирования задача определения граничных точек искомой характеристики вполне решаема. При конструктив-
ном (графическом) компьютерном профилировании конечные точки характеристики могут быть определены на основе одного из известных итерационных способов [2]. На рисунке 5 представлены компьютерные построения, связанные с определением таких точек КН (рис. 5,а) и КК (рис. 5,б), выполненные указанным способом. Смысл этого способа заключается в том, что нормали п к ВП в точке ее торцового профиля й придают винтовые перемещения, которые могут быть противоположных направлений, вдоль винтовой линии, проходящей через основание нормали на профиле fs, до тех пор, пока эта нормаль не пересечет ось и инструмента с заданной точностью. Из компьютерных построений на рисунке 5, а следует, что нормаль п1 к ВП в крайней точке 1=КК торцового профиля после одного винтового приращения в направлении хода ВП прошла на расстоянии 0.52 мм от оси и инструмента. Из схемы построений на рисунке 5, б следует, сто нормаль п12 к ВП в другой конечной точке 12=КН торцового профиля й прошла сразу, без винтовых приращений, на расстоянии 0.55 мм от оси и.
В результате компьютерного выполнения множества однотипных построений, таких как для вышерассмотренной точки Р1єи, получаем пространственный дискретный ряд точек
{К1}, искомой характеристики. В поставленной задаче профилирования с определенными значениями исходных данных получено 16 точек характеристики (рис. 6). Две из них, К8 и К9, были выведены из дискретного ряда {К1}, как несоответствующие характеру последовательного формообразования этого ряда. Это несоответствие является следствием недостаточной точности компьютерного графического определения указанных точек, как точек пересечения полярных плоскостей в80 и в90 с соответствующими линия-
ми ЛЗ8 и ЛЗ9. Недостаточная точность обусловлена ограниченными возможностями интерполяции дискретного ряда точек средствами плоской компьютерной графики при получении геометрической формы проекции ЛЗ1 и ЛЗ2 на плоскостях П1 и П2 .
После анализа полученного пространственного дискретного ряда точек искомой характеристики и его корректировки с целью уточнения положений отдельных его точек путем более точного определения их положения за счет построения дополнительных точек - узлов интерполяции этого ряда, расположенных вблизи уточняемой точки - после этих действий выполняется переход к построению осевого профиля й0 профилируемого ДИ. Для удобства последующих построений сместим массив фронтальных проекций точек дискретного ряда характеристики вдоль оси и на свободное поле построений (см. рис. 6). В системе плоскостей проекций Х1(П2/П4) ось и профилируемого ДИ займет проецирующее положение и ± П4, т.е. ее проекция на П4 будет точкой и4. Используя «старые» проекции - массив горизонтальных проекций точек дискретного ряда характеристики, строим проекции точек этого ряда на П4. Например, (Кн1, Кн2)^Кн4^Кн4/^Кн2/, где Кн4/ принадлежит осевой плоскости д0
профилируемого ДИ. Выполняя подобные построения для остальных точек дискретного ряда характеристики, получим в итоге осевой профиль й0 искомого ДИ. Сравнение полученного профиля й0 с соответствующим профилем ДИ, спрофилированного известным итерационным способом [2] при тех же данных задачи профилирования, показало высокую точность совпадения профилей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Справочник конструктора-инструментальщика /В .И. Бараников, [и др]. - М.: Машиностроение, 1994. - 560с.
2. Щегольков Н.Н. Итерационный способ компьютерного профилирования дисковых инструментов для винтовых поверхностей: учеб. пособие. - М.: Московский станкостроительный институт, 1991. - 32с.
3. Диментберг, Ф.М. Теория винтов и ее приложения. - М: Наука, 1978 -328с.
4. Панчук, К.Л. Кинематический метод профилирования дисковых инструментов // Известия вузов. Машиностроение. - 1979. - №11. - С.125 - 129.
5. Люкшин, В.С. Теория винтовых поверхностей в проектировании режущих инструментов. - М.: Машиностроение, 1968. - 371с.
6. Литвин, Ф.Л. Теория зубчатых зацеплений. 2-е изд., перераб. и доп.- М.: Наука, 1968. - 584с.
□ Авторы статьи:
Панчук
Константин Леонидович, докт.техн.наук, доцент, проф. каф. “Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика”. (Омский государственный технический университет) E-mail: Panchuk_KL@mail.ru
Полшков Владислав Юрьевич, студент группы МС-115, (Омский государственный технический университет). E-mail: Panchuk_KL@mail.ru
Будко Иван Валерьевич, студент группы МС-516 (Омский государственный технический университет). E-mail: Panchuk_KL@mail.ru
