Геометрическое и компьютерное моделирование профилирования винтовых поверхностей с точечным касанием Текст научной статьи по специальности «Математика»

method of a directing line. The method is applicable when you specify the surface by a discrete set of generators and is based on factors that reflect the physical-dynamic nature of the set of generator lines. In this method the initial information about the directing line is obtained in discrete form based of the data internally related to each generator, namely, the center of mass and connected with it ellipsoid of inertia. Further, the task of design is reduced to transformation of the discrete information in continuous, using interpo-

lation methods. The offered method of designing of a directing line is illustrated on an example.

Корчагин Денис Сергеевич - аспирант кафедры “Инженерная геометрия и САПР” ОмГТУ, ведущий инженер-конструктор ОАО ОНИИП. Основное направление научных исследований - реконструкция линий и каркасных поверхностей по их ортогональным проекциям. Общее количество публикаций 4. E-mail: [email protected]

УДК 004.9:621.9.07:621.833

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОФИЛИРОВАНИЯ ВИНТОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ТОЧЕЧНЫМ КАСАНИЕМ

А. А. Ляшков, А. В. Зыкина

Аннотация. Рассмотрено профилирование сопряженных винтовых поверхностей с точечным контактом в двух вариантах. Для первого варианта получены аналитические зависимости, использующие дифференциальные параметры сопряженных поверхностей. Во втором варианте используется бездифференциальное решение. Оба варианта основаны на установленных закономерностях в расположении точек сечений вспомогательных поверхностей относительно координатных плоскостей. На отдельных этапах предложено использовать полигональные и твердотельные модели для выявления возможных особенностей на профилях сопряженных поверхностей.

Ключевые слова: профилирование, моделирование, винтовая поверхность, червячная фреза.

Введение

Профилирование сопряженных винтовых поверхностей с точечным касанием представляет собой один из основных этапов конструирования червячных фрез для обработки винтовых поверхностей деталей. При решении такой задачи используется принцип Гохмана -Оливье [1], теория двухпараметрического огибания [2], [3] и её модификации, например, [4] или свойства нормали к сопряженным поверхностям в точках их касания [5]. Обзор методов решения поставленной задачи приведен в работе [6]. В основу предлагаемого решения положен принцип жесткой конгруэнтной пары и используются результаты работ [7], [8], [9].

Профилирование цилиндрической поверхности, сопряженной с заданной винтовой поверхностью

Пусть исходная винтовая поверхность детали 11 задана в системе координат S1(O1, х1, у1, z1) уравнениями вида

*1 = А(и’ ^

у = ЛО, Л (1)

*1 = /з(и ^

где и и V - криволинейные координаты точки на поверхности.

Свяжем со вспомогательной цилиндрической поверхностью рейки I систему координат S(O,x,y,z), а с искомой поверхностью червячной фрезы 12 - S2(O2,x2,y2,z2). Взаимное расположение систем координат приведено на рисунке 1, где R1 и R2 - радиусы начальных цилиндров детали и инструмента. Предполагается, что оси исходной и искомой поверхностей совпадают с координатными осями 0-^1 и 02Z2 , соответственно. Углы а и в, а также радиусы R1 и R2 задаются такими, что выпол-

няются условия сопряжения винтовой поверх- ности и поверхности рейки [2].

Рис. 1. Системы координат, связанные с деталью, инструментальной рейкой и фрезой

Для определения цилиндрической поверхности рейки, сопряженной с исходной винтовой поверхностью, сообщим последней поступательное перемещение вдоль оси 0z . Тогда формулы преобразования координат, определяющие относительное движение поверхности !1 в системе S,получим в виде

х = xi - R1,

y _ yj ■ cos в-Zj ■ sin в, (2)

Z = yj ■ sin в + Zj ■ cos в + Ф, где ф - параметр поступательного перемещения.

Зависимости (2) совместно с уравнениями (1) определяют однопараметрическое множество поверхностей, огибающая которых представляет собой цилиндрическую поверхность инструментальной рейки. Основываясь на результатах работ [7], [8], [9] возможны два варианта решения поставленной задачи: 1) для получения искомых огибающих выполняется вывод необходимых аналитических зависимостей, использующих дифференциальные параметры исходной поверхности; 2) предлагается алгоритм расчета искомых профилей сопряженных поверхностей без использования их дифференциальных параметров.

Для реализации решения задачи по первому варианту добавим к уравнениям (2) уравнение t=ф. Тогда полученная система уравнений будет задавать некоторую гиперповерхность в четырехмерном пространстве. Дискриминанта этой гиперповерхности, получаемая ортогональным проецированием ее контура на координатную гиперплоскость, совпадает с огибающей рассматриваемого семейства поверхностей [9]. В точках контура гиперповерхности касательные к ней гипер-

плоскости параллельны оси t. Это условие записывается в виде

xu yu Zu

xv yv Zv _ Q

xV yv ZV

Так как хф=0, уф=0, а zv=1, то последнее равенство преобразуется к виду

х у

и У и ___ 0

х у

v У v

После подстановки соответствующих выражений для частных производных, получим

- f1u (u, v) ■ f2v (u, v) + f1v (u, v) ■ f2U (u, v) _

_ tgP- f1v (u, v) ■ f3u (u, v) - f1u (u, v) ■ f3v (u, v)] .(3)

Пусть исходная винтовая поверхность задана уравнениями

X _ f 1(u) ■ cos v - f 2(u) ■ sin v, у _ f j(u) ■ sin v + f2(u) ■ cos v, (4)

Zj _ Pi ■ v,

где p1 - параметр цилиндрической винтовой поверхности, образованной винтовым движением плоской кривой X1 _ f1(u) , У _ f 2 (u) . Тогда уравнение (3) преобразуется к виду

f 1(u) ■ f1u(u) + f 2 (u) ■ f 2u (u) + . (5)

+ p, ■ tgP ■ [f 2u (u) ■ sin v - f 1u (u) ■ cos v]_ 0

или в компактной форме

F (u, v) _ 0 (6)

Уравнение (5) устанавливает связь параметров и и V и оно может быть представлено в

явном виде:

v _ 2 • arctg

!±V а2 + b2 - c2

b + c

где а _ Pi • gtf-f 2u (u) ,

(7)

b _-Pl ■ f 1u (u) ,

С _ f 1(u) ■ f 1u (u) + f 2u (u) ■ f 2u (u)-

Уравнение (7) совместно с системами уравнений (2) и (4) определяют цилиндрическую поверхность рейки, сопряженную с заданной винтовой поверхностью детали. Для задания цилиндрической поверхности достаточно получить её торцовое сечение и направление прямолинейных образующих. В рассматриваемом случае образующие поверхности параллельны координатной оси 0z, а её профиль с учетом приведенных уравнений будет

X _\f(u) ■ cos v - f,(u) ■ sin v]- Rx, (8)

у _[m ■ sin v + f2(u) ■ cos v]- cosв- Pi ■ v ■ sin в,

F (u, v) _ 0 .

Полученные уравнения являются аналитическим решением задачи профилирования цилиндрической поверхности, сопряженной с заданной винтовой поверхностью. Определенные сложности в этом случае возникают в связи с тем, что в уравнении связи параметров (5) одному значению параметра и соответствуют два значения параметра v. В этом случае для одного из значений v обеспечивается геометрическое касание поверхностей, не имеющее места для реальных тел. Так, на рисунке 2, в качестве примера, показаны две огибающие, образованные одной боковой кромкой плоского контура, но только одна из них является кромкой сопряженного профиля. Для выделения необходимых значений этих параметров целесообразно использовать обеспечивающее наглядность компьютерное моделирование формообразования [8]. На рисунке 3 показан результат компьютерного моделирования формообразования инструментальной рейки по заданной модели детали с винтовой канавкой. Там же показана и полигональная модель искомой цилиндрической поверхности.

Рис. 2. Модели огибающих и переходных кривых, образованных плоским контуром

Рис. 3. Компьютерные модели детали и инструментальной рейки, а также соответствующие сопряженные поверхности

В соответствии с разработанным способом [7] решение задачи может быть реализовано численными способами, без вывода уравнения связи параметров и и V. Для этого в уравнениях (2), с учетом уравнений (1), семейства поверхностей на две координаты накладывают условия связи и при изменении одного из параметров и или V рассчитывают экстремальные значения третьей координаты.

Для рассматриваемого случая наложим на две координаты z и у связи: z=0, у=а (а - вещественное число) и будем определять условные экстремумы координаты х. Тогда функция Лагранжа будет представлена так:

L(u,v,t) _ f1(u,v) + X1\f 2(u,v) ■ cosp- f3(u,v) ■ sinp- a] + + X2\f2 (u, v) ■ sin в + f3 (u, v) ■ cosP +1] ,

где Л1, Л2 - множители Лагранжа.

Система уравнений, соответствующая записанной функции Лагранжа, из решения которой устанавливается связь параметров поверхности, будет

f1u (u>v) + \f 2u(u. v) ■ cosP- f3u (u. v) ■ sin P] +

+ ^2 \f2u (u, v) ■ sin в + f3u (u, v) ■ cos P]_ 0,

f1v (u, v) + X1 \f 2v(u, v) ■ cos в - f1v (u, v) ■ sin P] + ^2 \f2v (u, v) ■ sin P + f3v (u, v) ■ cos P]_ 0,

Л _ 0,

где fiu(u,v), f2u(u,v), f3u(u,v), fiv(u,v), f^uy), f3v(u,v) - частные производные функций (1) по параметрам u и v.

Из решения приведенной системы уравнений после преобразований получим такое же равенство (5), как и полученное ранее, что подтверждает справедливость предлагаемого алгоритма численного решения поставленной задачи.

При наложении условия связи на координату у и с учетом системы уравнений (4) второе уравнение системы (2) будет иметь вид

у _ \fi(u ) ■ sin v + f2(u ) ■ cos v] cos в- P\ ■ v ■ sin в, (9) в котором у=а.

Так как уравнение (9) является трансцендентным относительно параметра V, то для его решения численными методами требуются приближенное начальное значение и диапазон изменения этого параметра. В связи с тем, что уравнение (9) можно рассматривать как уравнение некоторой поверхности в декартовой системе координат uvy, а для у=а это уравнение определяет линию уровня на такой поверхности, то для его исследования целесообразно использовать системы MathCAD и Мар1е. Примеры таких поверхностей, а также сечения их плоскостями, параллельными координатным плоскостям, приведены на рисунке 4 и рисунке 5. Эти рисунки дают достаточно полное представление о строении кривой, задаваемой уравнением (9) для конкретного значения координаты у, а значит полезны для задания начальных значений параметра V. Модели такой поверхности, а также ее сечений, полезны и при установлении соответствия между параметрами и и V. Последнее важно для выявления возможных особенностей на огибающей. Так для z=-8 на большом интервале изменения параметров и и V одному значению параметра V соответствуют два значения параметра и (рисунок 4), а для z=12 (рисунок 5) между ними, в основном, устанавливается взаимно однозначное соответствие. Следовательно, в первом случае возможны особенности на сечении огибающей семейства винтовых поверхностей, а во втором - в меньшей степени.

Рис. 4. Сечение поверхности плоскостью z=-4 для v=1

Тогда алгоритм расчета сечения цилиндрической поверхности, сопряженной с заданной винтовой поверхностью, не требующий использования дифференциальных параметров исходной поверхности, будет

1) при заданном значении координаты у=а и изменении параметра и по уравнению (9) рассчитываются величины параметра V;

2) по первому уравнению системы (8) вычисляются значения координаты х и выбирается то из них, которое является экстремальным; полученная координата х и соответствующая ей координата у определяют одну из искомых точек сечения цилиндрической поверхности;

3) повторяют пункты 1 и 2 алгоритма для нового значения координаты у;

4) множество точек, определяемых полученными координатами х и у, задают торцовое сечение цилиндрической поверхности рейки.

Для определения винтовой поверхности червячной фрезы, сопряженной с полученной цилиндрической поверхностью, с целью удобства вывода расчетных зависимостей предположим что профиль последней задан уравнением

У = / (х). (10)

Закон ее относительного движения задается формулами преобразования координат, которые имеют вид

x2 _ (x - R2) ■ cos p + (у ■ cosa + z ■ sin a) ■ sin p, y2 _-(x-R2)■ sinp + (y■ cosa + z■ sina)■ cosp, (11) z2 _-y ■ sina + z ■ cosa + p2 ■p,

Ф - угол поворота системы S вокруг оси 02z2, р2 - параметр винтовой поверхности фрезы.

Профилирование винтовой поверхности, сопряженной с цилиндрической поверхностью

Для определения винтовой поверхности фрезы определим её торцовый профиль. В этом случае z2=0 и из последнего уравнения системы (11) имеем

z_y ■ tga-p2 ■p/cosa.

Подставив полученное выражение в первые два уравнения системы (11), получим

x2 _ (y/cosa - p2 ■ р^ tga) ■ sinp+ (x -R2) ■ cosp, (12) y2 _ (y / cos a - p2 ■p^ tga) ■ cosp - (x - R2) ■ sin p.

Эти уравнения определяют семейство конгруэнтных кривых в плоскости x2y2. Огибающая этого семейства является торцовым профилем винтовой поверхности фрезы. Для отыскания этого профиля, как и в предыдущей задаче, используем результаты работы [7]. Для этого определяем условные экстремумы координаты х2 при наложении связи на y2=b (b

- вещественное число). Тогда функция Лагранжа, с учетом уравнений (10) и (12), имеет вид

L(x,p) _ \f (x)/cosa-p2 ■p^tga]sinp + (x-R2)■ cosp + + A \\f (x) / cos a - p2 ■ p ■ tga] ■ cos p - (x - R2) ■ sin p - b]

а соответствующая система, из решения которой определяются необходимые условия существования экстремума, будет

[f x (x) / cos a] ■ sin p + wsp +

+ A1[[fx(x)/cosa]cosp-sinp]_ 0,

- p2 ■ tga ■ sinp+f(x)/cosa-p2 -p- tga] ■ cosp- (x - Ry sinp+

+A[-Pi ■tga■ cosp-[f(x)/cosa-p2 tga] ■ sinp-(x-R^cop^0

Из полученной системы уравнений, после преобразований, получим

f (x) cosa (x - R)^cos2 a

p_

• + •

• + •

P2 ■ sin a fx (x) P2 ■ sin a ■ fx (x)

. (13)

Входящая в уравнение (13) производная 1х(х) определяет угол наклона касательной к профилю цилиндрической поверхности с осью 0х. Выразим эту производную для случая, когда профиль поверхности задан уравнениями (8). С целью удобства вывода расчетных зависимостей систему (8)представим в виде

х = х(и, V),

y _ y(u, v),

F(u, v) _ 0.

Тогда получим

- yu (u, v) ■ Fv (u, v) + yv (u, v) ■ Fu (u, v)

fx(x) _

- xu(u,v) ■ Fv(u,v) + xv(u,v) ■ F>, v)

(14)

. (15)

На основе полученных выше зависимостей алгоритм расчета профиля поверхности фрезы по заданной цилиндрической винтовой поверхности детали будет следующим:

а) при изменении параметра и в интервале его определения по зависимости (7) рассчитываются значения координаты V; б) по первым двум уравнениям системы (8) с учетом (4) вычисляются координаты нормального сечения цилиндрической поверхности инструментальной рейки;

в) по формуле (13) с учетом (15) определяются значения параметра ф; г) координаты торцового профиля искомой винтовой поверхности вычисляются по уравнениям системы (12).

Торцовый профиль, параметр р2 и ось 02Z2 определяют цилиндрическую винтовую поверхность фрезы.

Описанный алгоритм определяет аналитическое решение второй части поставленной задачи. Профилирование винтовой поверхности по заданной цилиндрической может быть как частью поставленной задачи, так и самостоятельной задачей и реализована бездиф-ференциальным подходом, использующим

компьютерное твердотельное моделирование [8].

Заключение

Предложены два варианта профилирования сопряженных винтовых поверхностей с точечным касанием. Один из них позволил получить в общем виде аналитические зависимости для профилирования сопряженных винтовых поверхностей с точечным контактом. По этим зависимостям может быть исследовано влияние исходных параметров на профиль искомой поверхности. Так, в частности, в данном решении в расчетных зависимостях установлено влияние на форму искомого профиля значений второй производной в точках профиля исходной поверхности.

Во втором варианте используется без-дифференциальное решение, не требующее получения уравнений связи параметров исходной поверхности. Оба варианта основаны на установленных закономерностях в расположении точек сечений вспомогательных поверхностей относительно координатных плоскостей. На отдельных этапах решения поставленной задачи предложено использовать полигональные и твердотельные модели для выявления возможных особенностей на профилях сопряженных поверхностей.

Библиографический список

1. Гохман Х. И. Теория зацеплений, обобщенная и развитая путем анализа, Одесса, 1886.

2. Лашнев С. И. Расчет и конструирование металлорежущих инструментов с применением ЭВМ. /С. И. Лашнев, М. И. Юликов. - М.: Машиностроение, 1975. - 392 с.

3. Люкшин В. С. Теория винтовых поверхностей в проектировании режущих инструментов. / В. С. Люкшин. - М.: Машиностроение, 1967. - 372 с.

4. Залгаллер В. А. Расчет червячных фрез для обработки роторов винтовых компрессоров. / В. А. Залгаллер. - Механика машин. - М.: Наука, вып. 45, 1974. - с. 68-73.

5. Литвин Ф. Л. Теория зубчатых зацеплений. / Ф. Л. Литвин - М.: Наука, 1968. - 584 с.

6. Чемборисов Н. А. Обзор методов профилирования червячной фрезы для зубчатых венцов / Н. А. Чемборисов, Т. Г. Девжеева // Металлообработка. - 2010. - № 4. - С. 2-6.

7. Ляшков А. А. Аналитическое исследование сопряженных винтовых поверхностей с применением ЭВМ. / А. А. Ляшков, А. Н. Подкорытов // Материалы межзональной научно-методической конференции вузов Сибири, Урала и Дальнего Востока по прикладной геометрии и инженерной графике. -Новосибирск, 1976. - С. 45-54.

8. Ляшков А. А. Моделирование формообразования винтовых поверхностей деталей инструментальной рейкой и червячной фрезой. /А. А.

Ляшков // Металлообработка. - 2011. - № 1(61). -С. 2-7.

9. Ляшков А. А. Огибающая однопараметрического семейства поверхностей, как особенность отображения ортогональным проецированием гиперповерхности, заданной в 4-х мерном пространстве параметрическими уравнениями, на гиперплоскость. /А. А. Ляшков, В. Я. Волков, В. С. Проко-пец //Вестник СибАДИ.- 2012. - № 1. - С. 60-66.

GEOMETRIC MODELING AND COMPUTER PROFILING OF SCREW SURFACES WITH A TOUCH

A. A. Lyashkov, A. V. Zykina

Reviewed by profiling of screw surfaces with pinhole contact in two ways. For the first version of the analytical dependences using differential parameters of surfaces. The second option uses the bezdifferencial'noe solution. Both versions are based on established patterns in the location

of points on the coordinate surfaces of the auxiliary sections of planes. The individual stages of the proposed use polygonal and solid state model in order to identify possible features, profiles of surfaces.

Ляшков Алексей Ануфриевич - кандидат технических наук, доцент кафедры "Инженерная геометрия и САПР" Омского государственного технического университета. Основное направление научных исследований - геометрическое и компьютерное моделирование сложных поверхностей деталей. Общее количество публикаций -более 90. е- mail: [email protected].

Зыкина Анна Владимировна - Ученая степень доктор физико-математических наук, профессор. Основные направления научной деятельности -математическое и компьютерное моделирование сложных систем. Общее количество опубликованных работ: 91. e - mail: [email protected]

УДК 514.182

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СОПРИКАСАЮЩИХСЯ ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

К. Л. Панчук, А. С. Нитейский

Аннотация. Рассмотрены вопросы соприкосновения линейчатых поверхностей по их общей образующей. Введены понятия дуального вектора расхождения и порядка соприкосновения линейчатых поверхностей. Исследованы свойства соприкасающихся линейчатых поверхностей и их стрикций для начальных порядков соприкосновения. Полученные результаты исследований могут быть положены в основу конструирования сложных технических линейчатых поверхностей, состоящих из линейчатых сегментов, состыкованных по условиям соприкосновения.

Ключевые слова: линейчатая поверхность, порядок соприкосновения, дуальный вектор расхождения.

Введение

При изучении линейчатых поверхностей (ЛП) в бесконечно малой окрестности их образующих важное значение имеет порядок близости двух ЛП с общей образующей прямой линией. Для получения представления о поведении ЛП в бесконечно малой окрестности ее образующей с определенной степенью точности необходимо подобрать другую ЛП, которая совпадает с этой степенью точности с заданной ЛП. Если для второй ЛП достаточно хорошо известно ее строение, например, для

цилиндрической поверхности, то появляется возможность получения представления о строении первой ЛП в бесконечно малой окрестности ее образующей.

Исходные предпосылки

Уравнение ЛП может быть представлено в следующей форме [1,2]:

А1 ^) = а01 (0 + юап (^, ш2=0, где - еди-

ничный вектор образующей прямой; а11 (і) -момент вектора а01 относительно начала координат системы отнесения; А1(1) - дуальный