Вспомогательные поверхности при моделировании формообразования деталей средствами компьютерной графики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.9:621.9.07:621.833

А. А. Ляшков, Ю. А.Канева

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ДЕТАЛЕЙ СРЕДСТВАМИ КОМПЬЮТЕРНОЙ

ГРАФИКИ

Производство ряда изделий машиностроения связано с технологическими процессами формообразования геометрически сложных поверхностей деталей. Эффективное решение задач формообразования поверхностей, обрабатываемых по методу огибания, может быть проведено как с использованием известных методов [1-3] и др., так и с применением методов моделирования средствами компьютерной графики [4-6]. Во втором случае это решение предполагается проводить в два этапа:

• разработать поверхностную и твердотельную модели детали и представить варианты моделирования удаляемого припуска;

• по результатам моделирования разработать алгоритм и назначить необходимые технологические условия формообразования такой детали наиболее рациональными методами размерной обработки.

Как правило, для обоих этапов существует много решений. Если в первой задаче, независимо от способа решения, должна быть создана одна и та же твердотельная модель заготовки и детали, то во второй задаче алгоритм и условия формообразования зависят не только от используемых средств компьютерной графики, но и от конкретных процессов обработки. При этом часто конкретная деталь может быть обработана инструментами одного вида, но с разными формообразующими параметрами. Так, например, винтовая поверхность канавки может быть обработана дисковой или червячной фрезой, реечным инструментом и др. При этом для одной и той же канавки могут быть использованы различные дисковые инструменты с разными параметрами установки.

Современные САПР позволяют разработать программы, реализующие движения формообразования в автоматизированном режиме и решать задачи с необходимой точностью [4, 5].

На этапе создания моделей важная роль отводится задаче установления возможных особенностей на исследуемых поверхностях, а также на их отображениях ортогональным проецированием. В некоторых случаях для этих целей важную роль играют вспомогательные поверхности [7], которые определяются через семейство кривых на плоскости.

В настоящей работе рассматриваются три семейства кривых. Они получены в результате перемещения исходной кривой, связанной с окружностью или прямой, катящейся без скольжения по другой окружности или прямой.

Семейство кривых, связанных с окружностью, катящейся по прямой

Семейство кривых образуется в результате качения центроиды детали, с которой связана исходная кривая, по начальной прямой инструментальной рейки [7] (рис. 1). Это семейство записывается уравнениями

xvp = x(t) • cos ф + y(t) • sin ф + R •ф, (i) yvp = -x(t) • sin ф + y(t) • cos ф

где x = x(t) и y = y(t) - уравнения исходной

кривой m в подвижной системе координат; R -радиус центроиды детали.

Будем рассматривать систему уравнений (1) как график отображения семейства кривых в пространстве R3 на координатную плоскость 0vpxvpyvp (R2). Тогда это семейство можно записать в виде xvp = x(t) • cos ф + y (t) • sin ф + R • ф,

yvp = - x(t) • sin ф + y(t) • cos ф, (2)

zvp = p • ф,

где p - некоторая константа.

Уравнения такого семейства описывают наклонную винтовую поверхность W, полученную аффинным преобразованием цилиндрической винтовой поверхности (рис. 2). Визуализация такой поверхности средствами системы MathCAD позволяет получить как качественную характери-

Рис. 1. Качение центроиды детали по начальной прямой инструментальной рейки: Пі, П2 - центроиды рейки и детали, соответственно; т -кривая, связанная с окружностью; 0ху - подвижная система координат; 0хУруУр2Ур - неподвижная система координат.

а) б)

Рис. 2. Модели наклонной винтовой поверхности: а) винтовая поверхность общего положения; б) ортогональная проекция винтовой поверхности на плоскость, перпендикулярную оси і; 1- контурная линия поверхности; 2 - очерк поверхности (огибающая семейства плоских кривых).

стику самой поверхности (рис. 2а), так и ее отображения на координатную плоскость 0урхуруур-Это отображение в локальной окрестности совпадает с огибающей рассматриваемого семейства кривых.

Так как касательные плоскости к поверхности в точках ее контурной линии “вертикальны”, то это условие позволяет получить связь параметров t и ф в виде

уравнение (3) как уравнение уровня поверхности

линии нулевого

. дх(і) ду(і)

г(і, р) = х(і) —-— + у(і)-----------------------+

ді

ді

+ Я

дх( і) ду( і)

ЯІП р +-------------соя р

(4)

, . дх(і) . . ду(і)

х(і)+ у(і)+

+ Я

ді ді

дх( і) ду( і)

---------ЯІП р +------------------соя р

ді ді

(3)

= 0

Это уравнение определяет некоторую кривую в криволинейных координатах і и ф. Отображение этой кривой на поверхность (2) выделяет на ней контурную линию. Предлагается рассматривать

д дt

Такой подход позволяет в системе МаШСАЭ оперативно получать и анализировать графики, определяемые уравнением (3). Здесь же может проводиться качественный анализ влияния радиуса Я центроиды на форму кривой (3), а значит будут устанавливаться возможные особые точки на огибающей рассматриваемого семейства кривых.

На рис. 3 показаны графики двух поверхностей, заданных уравнением (4) для случая, когда исходная кривая состоит из двух кусков - отрезка и дуги окружности.

Эти поверхности рассечены плоскостями ну-

—г

У

/

/

/

/

/

N

а) б)

Рис. 4. Графики кривых, задающих связь параметров / и ф, построенные по зависимости (3); а) для семейства, образованного 1-м участком кривой т; б) для семейства, образованного 2-м участком

кривой т.

Рис. 5. Качение центроиды инструмента по центроиде детали: Пі, П2 — центроиды инструмента и детали, соответственно; т — кривая, связанная с центроидой инструмента; Оху - подвижная система координат; 0Ур ХУруУр2Ур - неподвижная система координат.

левого уровня, что задает графики связи параметров ґ и ф. С целью подтверждения достоверности полученных результатов на рис. 4 показаны графики тех же кривых, полученных по уравнению (3), но более трудоемких по исполнению.

Семейство кривых, связанных с окружностью, катящейся по другой окружности

Второе семейство кривых образуется в результате качения центроиды детали, с которой связана исходная кривая, по центроиде инструмента (рис. 5). Это семейство записывается уравнениями

Хур = х(ґ) • +^2 ) -

- у(ґ) • 8іп((¡\ +ф2) - (Я1 + Я2) • ,

УУр = х(ґ) • 8Іп(Рі +?2 ) + + у(Ґ) • С08(<р1 +Ф2 ) + (Я1 + Я2 ) • 008^, где х = х(ґ) и у = у(ґ) - уравнения исходной

кривой в подвижной системе координат; <рі - параметр семейства, а ^ щ.

Рассматриваем систему уравнений (5) как график отображения семейства кривых в пространстве на координатную плоскость 0урхуруур. Тогда это семейство можно записать в виде

а) б)

Рис. 6. Модели квазивинтовой поверхности: а) квазивинтовая поверхность общего положения; б) ортогональная проекция квазивинтовой поверхности на плоскость, перпендикулярную оси і; 1- контурная линия поверхности; 2 - очерк поверхности (огибающая семейства плоских кривых)

Хур = х(ґ)^С0Я(ф1 +$2) - у(ґ) Х

X 8Іп($1 + $2 ) - (Я1 + Я2 )• 8ІП $1,

уУр = х(ґ)^іп($1 +$2) + у(ґ) Х (6)

X С08($1 +$2 ) + (Я1 + Я2) • С081,

= р $, где р - некоторая константа.

Уравнения такого семейства описывают ква-зивинтовую поверхность О , полученную нелинейным преобразованием цилиндрической винтовой поверхности. На рис. 6а эта поверхность показана в общем положении, а на рис. 6б - в виде ортогональной проекции на координатную плоскость 0урхуруур. Как и ранее, предметом визуального исследования является форма очерка поверхности в ее локальной окрестности. Для получения точных значений координат очерка, а значит и огибающей рассматриваемого семейства кривых, используем уравнение связи параметров ґ и ф вида

*1 + r2 .X(t)• ^ + (R1 + R2)-

Ri

dx(t) dt

sin

dt

-•p

Ri

dy(t) ^ dt

cos

R2

R1

-•p

(7)

= 0

Это уравнение задает график линии нулевого уровня поверхности, определяемой зависимостью Д + Д _ , дх( ?)

z(t,p) = -

Ri

x(t)-

dt

■ +

+

Ri + R2 St, т. V

------------- + (R1 + R2 >

R1

dx(t)

dt

• sin

R

V Ri

dy( t)

+ • cos

dt

R

V Ri

• p

(8)

Поверхность (8) и ее сечение плоскостью z(t,q) = 0 показаны на рис. 7

Семейство кривых, связанных с прямой, катящейся по окружности

Третье семейство кривых образуется в результате качения начальной прямой, с которой связана исходная кривая, по центроиде инструмента (рис. 8). Это семейство записывается уравнениями

X = x(t)• cos p- y(t) • sinp +

+ R • (sinp- p • cosp), yvp = x(t)• sinp + y(t) • cosp-- R • (cos p + p• sin p)

(9)

По аналогии с изложенным ранее, соответствующая этому семейству квазивинтовая поверхность (рис. 9) определяется уравнениями xvp = x(t)- cos p — y( t) • sin p +

+ R • (sin p-p • cos p),

yvp = — x(t) • sin p + y(t) • cos p —

- R^(cosp + p^ cosp), (10)

^vp = P^ P,

а связь параметров t и ф определяется зависимо-

+

а) б)

Рис. 7. Модели поверхностей, заданных уравнением (4), и их линии нулевого уровня, как графики решения уравнения связи параметров г и ф; а) для семейства, образованного 1-м участком кривой т; б)

для семейства, образованного 2-м участком кривой т.

X

Рис. 8. Качение центроиды рейки по центроиде детали: Пі, П2 - центроиды рейки и детали, соответственно; т - кривая, связанная с прямой; 0ху -подвижная система координат; 0хуруургур - неподвижная система координат

Рис. 9. Ортогональная проекция квазивинтовой поверхности на плоскость, перпендикулярную

оси і

vp

стью

Рис. 10. Компьютерное твердотельное моделирование процесса формообразования детали долбя-ком

х(,).^ М»-д- ад = 0 (11)

дг дг дг

Уравнение поверхности, используемой для визуального исследования связи параметров г и ф, имеет вид

. ,дх(г) ,ду(г) дх(г) (12)

х(1,у) = х(Г)^- + у(Г)^-^ - Я- (12)

дг дг дг

Приведенные результаты можно рассматривать как первый этап решения задачи формообразования с использованием полигональных моделей вспомогательных поверхностей. Следующим этапом, позволяющим получить количественные характеристики исследуемых объектов, может быть их твердотельное моделирование с применением известных САПР. Пример такого моделирования показан на рис. 10.

Выводы

Полученная геометрическая и компьютерная модели вспомогательной поверхности позволяет

a) проводить качественную оценку формы огибающей семейства плоских кривых;

b) оперативно, как дискретно так и в режиме анимации, исследовать влияние радиуса центроиды детали на форму профиля инструмента;

c) корректировать форму профиля детали с последующей визуализацией изменений в профиле инструмента.

Анализ линии нулевого уровня введенных поверхностей, моделирующей график уравнения

связи параметров кривой и движения, позволяет установить:

a) границы изменения параметров кривой и движения;

b) возможные особенности как на контуре поверхности, так и на ее очерке, а значит на огибающей семейства плоских кривых.

Так как рассматриваемые кинематические схемы являются не только самостоятельными, но и промежуточными, то приведенные модели применимы при формообразовании различных типов обкаточного инструмента.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лашнев С. И. Расчет и конструирование металлорежущих инструментов с применением ЭВМ. / С. И. Лашнев, М. И Юликов. - М.: Машиностроение, 1975. - 392 с.

2. Люкшин В.С. Теория винтовых поверхностей в проектировании режущих инструментов. / В. С. Люкшин. - М.: Машиностроение, 1967. - 372 с.

3. Чемборисов Н. А. Обзор методов профилирования червячной фрезы для зубчатых венцов / Н. А. Чемборисов, Т. Г. Девжеева // Металлообработка. - 2010. - № 4. - С. 2-6.

4. Моделирование формообразования сложных поверхностей деталей / А. А. Ляшков [и др.] // Металлообработка. - 2010. - № 4. - С. 36-42.

5. Ляшков А.А. Программа компьютерного моделирования процесса формообразования зубчатых колес методом обкатки инструментальной рейкой и долбяком./ А. А. Ляшков. - М.: ВНТИЦ, 2008. - № 50200802071.

6. Ляшков А.А. Программа компьютерного моделирования процесса формообразования винтовой поверхности детали инструментальной рейкой и червячной фрезой. / А. А. Ляшков. - М.: ВНТИЦ, 2010. - № 50201001024.

7. Ляшков А. А. Профилирование обкаточного инструмента по вспомогательной поверхности / А. А. Ляшков, Л. К. Куликов // Омский научный вестник. - 1990. - № 9. - С. 73-74.

□ Авторы статьи:

Ляшков Алексей Ануфриевич, канд.техн.наук., доцент каф. “Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика” (Омский государственный технический университет)

E-mail: [email protected]

Канева

Юлия Александровна, магистрант по направлению “Информатика и вычислительная техника” (Омский государственный технический университет) Тел. (3812) 65-36-45