Профилирование дискового инструмента для обработки винтовых канавок детали Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.9.025.11 К. Л. ПАНЧУК

Ю. Н. ВИВДЕНКО А. В. КЛИМОВ

Омский государственный технический университет

ПРОФИЛИРОВАНИЕ ДИСКОВОГО ИНСТРУМЕНТА ДЛЯ ОБРАБОТКИ ВИНТОВЫХ КАНАВОК ДЕТАЛИ__________________________

Рассматривается геометрическая модель профилирования дискового инструмента, построенная на основе геометрических и кинематических закономерностей, обеспечивающих непрерывное касание взаимно огибающих поверхностей. Вычислительный алгоритм модели профилирования имеет компьютерную реализацию и позволяет визуализировать результаты профилирования.

В работе предлагается геометрическая модель профилирования дискового инструмента для обработки цилиндрической винтовой поверхности детали, основанная на проецировании линии пространства на поверхность, в частности винтовую, нормалями последней [1]. В отличие от известных [2, 3], данная модель построена на основе учета взаимосвязи двух составляющих, обеспечивающих взаимное огибание поверхностей детали и инструмента, а именно: кинематической, обеспечивающей условия непрерывного движения детали и инструмента в процессе их взаимного огибания и геометрической, обеспечивающей условия непрерывного касания их поверхностей в этом процессе. К достоинствам предлагаемой модели профилирования относятся ее применимость для различных сочетаний пар взаимно огибаемых поверхностей класса винтовых [1] и возможность оперативного корректирования условий задачи профилирования при компьютерной визуализации для достижения качественного результата.

Геометрическая схема модели профилирования представлена на рис. 1. На комплексном чертеже заданы проекции цилиндрической детали с винтовой поверхностью (ВП) постоянного шага, т.е. известны ее ось ^н^у), форма торцевого профиля ^ ВП в плоскости Д± i, направление и единичный шаг И винтового перемещения профиля ^. Кроме того, указано положение оси у (у н, у у) искомого инструмента. Элементами кинематической составляющей модели профилирования в рассматриваемой задаче являются: кинематический винт (^Ю;,Ь), где

- величина угловой скорости определенного направления с осью i; (у, ) - вращательная компонента,

относящаяся к дисковому инструменту. Представление кинематического винта в виде суммы двух вращательных компонент (^Ю;,Ь) ~ (у,юу) + (к,юк) приводит к появлению новой оси к(кн,ку) вращения. Оси у и к - сопряженные прямые кинематического винта. Элементами геометрической составляющей рассматриваемой модели являются: гиперболическая конгруэнция Кг(1,1) прямых линий с директрисами у и к; регулюс — линейчатая поверхность (ЛП) с направляющими у,к,Х, где X - характеристика, т.е. линия касания ВП и ПВ (поверхность вращения

инст-румента) в текущий момент времени. Очевидно, ЛП образована нормалями заданной ВП и линия X есть ортогональная проекция линий у и к на ВП ее нормалями. Следовательно, нахождение ПВ инструмента сводится к определению линии X проецированием оси у или к на ВП ее нормалями и последующим образованием искомой ПВ по ее определителю (у,Х). В качестве примера рассмотрим решение производственной задачи профилирования дискового инструмента для обработки винтовых канавок цилиндрических деталей малых диаметров и окружностного торцевого профиля. Винтовая поверхность (ВП) детали задана осью ^у^н) , торцевым профилем £Д — дугой окружности, центр которой удалён от ^ на расстояние а1 = 2,4168Я (Рис. 2) и радиус которой г = 2Я , где Я — радиус наружного цилиндра детали. Ось у(у у н) искомого дискового инструмента удалена от оси 1 на расстояние ё = 8Я (принято конструктивно для деталей малых диаметров) и установлена под прямым углом к направлению касательной к винтовой линии на наружном цилиндре. Для удобства расчётов сведём необходимые вычислительные формулы в таблицу формул алгоритма профилирования. Укажем происхождение некоторых из них. Формулы №1 — параметрические уравнения заданного торцевого профиля £Д = ^ в подвижной системе координат О'Х'У'Е' (см. рис. 1). Формула № 3, определяющая параметр фт — угол между касательной Т к профилю £Д в некоторой его точке Т и радиус-вектором р (см. рис. 2), получена по следующей схеме. Запишем уравнение нормали п к профилю , имеющем уравнения №1:

(Х'- хТд ) • (хТд У +(У - уТд ) • (уТд У = 0,

где (хТД) и (уТД) — производные, полученные из формул №1 по параметру ф. Уравнение (1) можно привести к виду:

Х • (ХТД) + У • (ХТД) —

- XТД • (хТД ) — у тд • (утд ) = 0 .

Искомый угол фт, согласно схеме на рис. 2, может быть выражен

«ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64) МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ «ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64)

36

Nnn Расчётные формулы

1 х 'тд = a1 — r • sin ф у 'тд = r • cos ф

2 1 . r2 + aj — a2 r = V х Т2д + У Тд , фнач = arcsin 2a^r , фкон =П фнач

3 а, • cos ф фт = arccos-1 т Г

4 Rn = V yN + d2

5 х ' = • [Г • cos2 фт + yjRN — Г2 • cos2 фт • sin фт ] Rn у' = ^—• ^RN — Г2 • cos2фт — Г-sinфт]• cosфт Rn Г ' z ' = h • [arccos( cos фт) — arctg^4^ — фт] Rn х'тд

6 G N = arctg^f d

7 х = х ' • cos GN — y' • sin GN У = х ' • sin GN + y' • cos GN z = z ' + h•GN

8 A = yN • (1 — ctg© • tga) D = -a•yN -(1 — ctg©^tga)

9 Ах + By + Cz + D = 0

10 ^ = y • sin © — zcos ©

R1. =*J(^ •sin© —y)2 +(d — х)2 +(tт •cos© + z)2

фт = arccos

фт <Фт <П-Фт - ФT = ^(фнач) '

d =

хтд • (хтд ) '— уТд • (у тд )

(4)

V[(x Тд ) ']2 + [(уТд ) ']2

Так как р = х Тд + у Тд - то на основании соотноше ний (3) и (4) получим:

—хтд ' (хтд ) — yтд ' (утд )

фт = arccos

7(хтд + уТ2д ) • {[(х Тд) ']2 + [(уТд ) ' ]2}

Применительно к заданным уравнениям № 1 угол Фт будет иметь следующее выражение:

(3)

фт = arccos

a1 • cos ф

где ё1 — удаление точки 0(0,0) от нормали п, которое может быть определено с учётом его знака на основании уравнения (2) следующим образом:

•^r2 + af — 2 a • r • sin ф

(6)

(5)

В уравнении (4) умышленно не учтена абсолютная величина удаления d1 с тем, чтобы в уравнениях (5) и (6) учитывался знак функции cos фт. Формулы № 510 следуют из предложенной геометрической модели профилирования. Их вывод приведен в работе [1]. Выразим некоторые величины, необходимые для дальнейших расчётах- в функции от заданного радиуса R детали и угла наклона ю винтовой линии на наружном цилиндре детали. Винтовой параметр определяется: h = R • ctgra. Угол © установки оси у инструмента по условии задачи определяется:

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ «ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64)

38

^ 2пЯ 2пЯ ; _ п

2'

ю. Параметры а

Рис. 3. Блок-схема алгоритма профилирования

и а, определяющие положение оси к(ку,кн), сопряжённой с осью у относительно винта исходной ВП, определяются следующим образом: ё • tgа = а • tg© = И;

И „ ИЯ • ^ю 1

а =----= Я; tga = — =-= — • ^ю. Коэффици-

tg© ё 8Я 8

енты В и С, как постоянные величины в уравнении №9, определятся таким образом: В = а - ё = —7Я ;

7

С = (а — ё) • tga = — Я • ^ю. В дальнейшем потребует-

8

ся фн — начальное значение параметра (см. рисунок

2) в уравнениях №1. Его можно определить из условия

принадлежности граничных точек как профилю ^,

2 2 2 . г + а! — а

так и окружности радиуса К: фн = аrcsm----------1-.

2а1 • г

Блок-схема алгоритма, позволяющего выполнять профилирование дискового инструмента, представлена на рисунке 3. Блок 2 содержит значения постоянных параметров для всех типоразмеров винтовых деталей, при этом п = 2,4168;п2 = 2;п3 = 8;п4 =—7;п5 = 100 . Кроме того, этим блоком задается начальное значение радиуса Я цилиндра винтовой детали, изменяемого по условиям производственной задачи профилирования в интервале 0,5 - 6 мм. В блоке 3 производятся вычисления значений параметров, постоянных при фиксированном значении Я: а: = п:Я;г = п2Я;ё = п3Я;

В = П4Я;Ум(нач) = -П5Я; Ук(кон) = П5Я .

В блоке 4 производится вычисление фнач , фкон параметра ф торцевого профиля винтовой детали по формулам № 2. Блоком 5 задается при фиксированном Я начальное значение переменного параметра ю -угла подъема винтовой линии на наружном цилиндре винтовой детали, изменяемого по условиям производственной задачи в интервале 5° —45°. В блоке 6 производится вычисление значений изменяемых

при фиксированном Я параметров: ©■-----ю

2

угол

установки оси инструмента относительно оси винто-♦ ъ Я

вой детали; tgю; п ■-------винтовои параметр детали;

п

tga ■ —, где а и а - соответственно угол скрещивания ё

прямой к, сопряженной с осью у дисковой фрезы и кратчайшее расстояние оси дисковой фрезы относительно оси винтовой детали; С ■ (Я - ё^а - коэффициент. Блоком 7 задается начальное значение параметра ф - угла, определяющего начальную точку торцевого профиля £д винтовой детали в системе координат этого профиля (см. рис. 2). Блок 8 содержит алгоритм приближенного вычисления корня ум трансцендентного уравнения № 9

Р(Ф,Ук) ■А(Ук) 'Х(Ф,Ук) +

+ В-У(Ф,УМ) + С •2(ф,ум) + 0(УМ) = 0

при фиксированном ф. При этом ум - линейный параметр, определяющий положение текущей точки N на оси у дисковой фрезы, которая в свою очередь определяет положение подвижной системы координат х'у V профиля ^винтовой детали в плоскости А сечения (см. рис. 1). Параметр ум изменяется в задаваемых пределах ум(юч) < ум < ум(кои), которые в рассматриваемой задаче профилирования приняты

Рис. 4. Параметрическая визуализация взаимно огибающих поверхностей

следующими: Ум(нач) =—100Я;Ум(кон) =100Я . Приведенное трансцендентное уравнение Б(ф,ум) = 0 позволяет определить значение параметра ум при заданном значении параметра ф : фнач < ф < фкон одним из методов приближенного вычисления [4]. Для решении рассматриваемой задачи профилирования был применен метод половинного деления, для которого выполнены требуемые условия: функция Р(Ум) = 0 - непрерывна на отрезке [уМ(нач),Ум(кон)1 и Р(Ум(нач)) • Р(Ум(кон)) < 0 . Переменные координаты x,y,z в трансцендентном уравнении определяются формулами №1 - №7. Блок 9 позволяет вычислять по формулам №10 координаты ^,ЯТ точки осевого сечения дисковой фрезы при фиксированных параметрах Я,ю,ф. Блок 10 определяет текущее значение параметра ф торцевого профиля 1Д винтовой детали из интервала фнач < ф < фкон при помощи счетчика 1 шагов Дф. Блоком 11 определяется продолжение работы блоков 8-10 по вычислению координат ^ и ЯТ при изменении ф либо ее завершение с переходом к блоку 12. В блоке 12 после формирования массива п точек ^Т,ЯТ)предусмотрен алгоритм определения аппроксимирующей окружности для этого массива по методу наименьших квадратов. При этом алгоритм определения может быть следующим. Запишем уравнение окружности а(х2 + у2) + Ьх + су +1 = 0. Запишем также минимизирующую функцию:

п

р =Е[а(х2 + У,2) + Ьх; + су; +1]2 = шт,

1=1

где х; и у; представляют собой соответственно координаты и ЯТ; точек массива ^Т,ЯТ) . Запишем

„ дР дР дР

систему уравнений — = 0;— = 0;— = 0 , которая в

да да дс

развернутом виде выглядит так:

а Х(х.2 + у.2)2 +ьХ(х.2+У2)хі + і-1 і-1

+СЕ(х2 + У,2)Уі ■-]С(х.2 + У2), і-1 і-1

аЕ(х2 + У2)хі +ьЕх2 +<ЕхіУі --Ехі,

і-1 і-1 і-1 і-1

аЕ(х>2 + У.2)Уі +Ь]СхіУі +сЕу>2 ■-]^Уі-

і-1 і-1 і-1

Решение этой системы позволяет получить координаты центра ,Та, ЯТа аппроксимирующей окружности и значение ее радиуса Яа:

Ь „ с %/Ь2 + с2 — 4аё ,

tTa =— ;ЯТа =— ;Яа =--------------------, где а = 1.

I I*

При точном профилировании и сложном торцевом профиле IД винтовой детали, состоящем из множества состыкованных участков различной геометрической формы, после блока 12 должна следовать блок-схема алгоритма проверки полученного инструмента на наличие интерференции [5]. После этого, в случае обнаружения интерференции, варьированием параметров установки оси инструмента относительно винтовой детали (кратчайшее расстояние, угол скрещивания и положение точки скрещивания на оси детали) добиваются ее исключения. Следующей после проверки интерференции должна быть блок-

«ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64) МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ «ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64)

Рис. 5. Дисковый инструмент

схема алгоритма обратного профилирования, то есть определение профиля винтовой детали по профилю инструмента, полученного окружностной либо другой аппроксимацией после проверки интерференции. Полученный в результате обратного профилирования массив точек торцевого профиля винтовой детали сравнивается с исходным торцевым профилем для определения погрешности профилирования, которая ограничивается полем допуска на форму исходного торцевого профиля винтовой детали. При решении рассматриваемой производственной задачи профилирования вышеупомянутые этапы точного профилирования после блока 12 не выполнялись ввиду простой формы (дуга окружности с центром за пределами окружности торцевого сечения цилиндра винтовой детали) торцевого профиля детали и отсутствия интерференции при выборочных проверках обратным профилированием. Алгоритм определения погрешности р аппроксимации выполняется блоком 12. При

эт°М АЯі ■ Яа - ^ , где ^ Ота - ,Ті)2 + (ЯТа - ЯТі)2 ;

,ті, ЯТі - координаты точек из блока 9. Затем определяется по массиву точек (,Т,ЯТ) наибольшее положительное АЯ1 , наименьшее отрицательное значение АЯ2 и сумма абсолютных величин р—АЯ^ + |АЯ2|. Блок 13 выполняет вывод (печать) полученных в результате вычислений значений параметров: ф,,Т,ЯТ, ,Та,ЯТа,Яа, р. Блок 14 начинает новый цикл работы предшествующих блоков 6-13 по новому значению параметра ю = юнач +Аюк, где к- счетчик циклов. Блок 15 либо обеспечивает продолжение цикловой

работы блоков 6-13 по параметру ю, либо завершает ее с переходом к блоку 16, обеспечивающему цикловую работу блоков 3-15. Блок 17 обеспечивает по параметру R продолжение цикловой работы блоков 3-16 или завершает ее. На основании приведенной блок-схемы алгоритма профилирования дискового инструмента разработана программа на языке C + + в оболочке Borland Builder 6 с использованием Open GL, при этом использован объектно-ориентированный подход для построения собственных классов. Так, например, создан класс MyPoint и MyRotate для моделирования точек и матриц поворотов объектов задачи профилирования и др. Минимальные системные требования: Pentium 2, 64 Mb RAM, видеокарта с полной поддержкой OpenGL. Рекомендуемые системные требования: Pentium 4/Athlon, 256 Mb RAM, видеокарта Radeon или GeForce. Компьютерная визуализация результатов профилирования дискового инструмента представлена на рисунках 4 и 5 (AutoCAD, 3-D модель). В завершение работы отметим возможность применения и обобщения предложенной геометрической модели для профилирования других инструментов и деталей машиностроения: сверл, концевых фрез; обкаточных инструментов: реек, долбяков, червячных фрез; роторов винтовых насосов и др.

Библиографический список

1. Панчук, К.Л. Кинематический метод профилирования дисковых инструментов / К.Л. Панчук // Известия вузов. Машиностроение. — 1979. - №11. — С. 125-129.

2. Лашнев, С.И. Расчёт и конструирование металлорежущих инструментов с применением ЭВМ / С.И. Лашнев, М.И. Юликов. — М.: Машиностроение, 1975. — 391с.

3. Щегольков, Н.Н. Алгоритм формирования рабочего профиля режущего инструмента / Н.Н. Щегольков // Вестник машиностроения. — 2002. — №1. — С. 42-44.

4. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. — М.: Наука, 1970. — 664с.

5. Щегольков, Н.Н. Проверка интерференции при обработке винтовых поверхностей дисковыми инструментами / Н.Н. Щегольков // Вестник машиностроения. — 2001. — №6. — С. 47-51.

ПАНЧУК Константин Леонидович, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики. ВИВДЕНКО Юрий Николаевич, доктор технических наук, профессор кафедры технологии машиностроения.

КЛИМОВ Артем Васильевич, студент.

Дата поступления статьи в редакцию: 20.02.2008 г.

© Панчук К.Л., Вивденко Ю.Н., Климов А.В.