CC BY
4ПРОФЕС1ЙНО-СПРЯМОВАНА ЛЕКЦ1Я З МАТЕМАТИКИ -ШЛЯХИ УДОСКОНАЛЕННЯ
Н.М.Полякова, викладач,
ДВНЗ «Донецький державний коледж харчових технологш i торгiвлi»,
м. Донецьк, УКРА1НА
Профестно-ор1ентована лекцЫ - це елемент курсу навчання математики, який застосову-еться для викчадення об 'емного теоретичного матергалу г забезпечуе цткшстъ I зактчешстъ сприйняття студентами можливостей застосування математичних методгв до розе 'язання завданъ профыьних дисгртлЫ, залежно вгд професшноХ направленоспп навчалъного закладу.
Основними формами оргатзацп на-вчального процесу у вищих закладах освии е: навчальт заняття, виконання шдивщуальних завдань, самостiйна робота студенпв, практична пiдготовка i контрольт заходи.
Вiдповiдно, основними видами на-вчальних занять е: лекцiя, лабораторт, практичнi, семiнарськi заняття, консу-льтащя [7].
Мета дано! статтi - проанашзувати недолiки, переваги, шляхи удоскона-лення лекцiйного заняття - як форми проведення професiйно-орiентованих занять з математики, розкрити пробле-ми, як виникають пiд час пiдготовки лекцшних занять, надати методичнi рекомендаций молодим викладачам.
Аналiз недолiкiв i переваг лекцш-них занять.
В поданому вище перелiку лекцiя, i професiйно-орiентована лекцiя зокрема, на нашу думку, виступае як провщний елемент всього курсу навчання математики i слугуе для викладення значно! кiлькостi теоретичного матерiалу, за-безпечуючи гармонiйне сприйняття на-вчального матерiалу студентами. Досвь дчений лектор надае систематизоват основи наукових математичних знань, пов'язуючи !х з профшьними дисципль нами, розкривае стан i перспективи роз-витку вщповщно!" галузi науки i технiки, концентруе увагу студенпв на найбiльш складних, вузлових питаннях.
Як правило, лекщя е елементом систе-
ми занять, який охоплюе основний теоре-тичний матерiал окремо! або кiлькох тем навчально! дисциплiни. Обсяг лекцiйного курсу визначаеться навчальним планом, а його тематика - робочою навчальною програмою навчально! дисциплiни. Лектор, якому доручено читати курс лекцiй, зобов'язаний перед початком вщповщно-го семестру подати на предметну або ци-клову комгсдо складений ним конспект лекцiй, контрольт завдання для проведення тдсумкового контролю, передба-ченого навчальним планом i програмою для дано! навчально! дисциплши [7].
Можливе читання окремих лекцш з проблем, якi стосуються дано! навчально! дисциплiни, але не охопленi навча-льною програмою.
Вщомий педагог С. Зинов'ев дав таке поширене означення лекцп: «Лекщя - це лопчно стрункий, систематично послщо-вний виклад того чи iншого наукового питання, часто супроводжуваний демон-страцiею дослiдiв та очних посiбникiв. Лекцп впроваджують студента в науку, вони дають перше знайомство з основни-ми науково-теоретичними положеннями дано! галуз^ ознайомлюють з методологь ею науки. Очевидно, що лекцп не можуть вичерпати увесь предмет науки, !хня фу-нкця - закласти пiдвалини наукових знань, визначаючи напрямок, основний змiст i характер усiх рiзновидiв навчаль-них занять, а також (i головним чином) самостшно!" роботи студентiв».
Але, водночас, досить часто можна
почути висловлювання, що:
- лекцiя привчае студентiв до паси-вного сприйняття чужих щей;
- чим бшьш досвiдчений лектор, i чим краща лекцiя, тим бшьша можли-вiсть того, що самостшна розумова дiя-льнiсть студенпв не буде розвиватись;
- значна кшькгсть слухачiв лиш па-сивно записуе слова лектора, не встига-ючи гх осмислити, що суперечить принципу шдивщуашзацп навчання;
- i взагалi, лекцп доцiльнi лише то-да, коли кiлькiсть пiдручникiв недостат-ня, або 1х не мае зовам.
Крiм того, на наш погляд, до недо-лiкiв традицшног лекцп можна вiднести:
- усний виклад шформацп, що приз-водить до низького рiвня засвоення лек-цiйного матерiалу;
- рiзну тдготовлетсть слухачiв. Це пояснюеться, як рiвнем засвоення студентами вiдповiдних дисциплш, так i фiзiологiчними особливостями 1Х пам'я-тi (психологи розрiзняють короткочасну i довготривалу пам'ять);
- великий обсяг шформацп переван-тажений спещальною термiнологiею;
- колективний спосiб проведення ле-кцiй й iндивiдуальний характер сприй-мання матерiалу, iнтелектуальноi дiяль-ностi, емоцiйного реагування та розвит-ку кожного суб'екта навчання;
- нерегуляртсть, епiзодичнiсть зво-ротного зв'язку (студент-викладач);
- протирiччя мiж вербальним характером лекцшного заняття, тд час якого студенти слухають, читають, спостерша-ють, розв'язують запропонованi лектором задач!, i завданнями рiзнобiчного розвитку - молод!, здатног до творчого мислення;
- викладення матерiалу без «прив'я-зки» до потреб даног спецiальностi, без орiентацГi навчання на результат, не враховуючи можливють i вмiння практичного запровадження знань.
Однак, за думкою О.1.Скафи, вiдмова вiд лекцп, як форми проведення навча-льних занять у вищих навчальних закладах, призначених для засвоення теоретичного матерiалу, понижуе науковий рь
вень тдготовки слухачiв, порушуе сис-темнiсть гх роботи впродовж семестру.
Не викликае сумнiву, що в навчаль-ному процеа вузу, виникають так1 ситуа-цп, коли лекцiйна форма навчання не мо-же бути замшена шякою iншою. Так, на-приклад, коли юнують рiзнi погляди i пi-дходи до основних проблем курсу, то для гх об'ективного висвiтлення необхiдна саме лекц1я. В випадку, коли окремi теми курсу е особливо складними для самос-тiйного вивчення, допомога лектора, без-умовно, потрiбна. В умовах iнформацiй-ного прогресу, коли навчальний матерiал з конкретног теми ще не знайшов свого вщображення в iснуючих пiдручниках, саме лекцшне заняття стае дуже актуаль-ним. I звичайно ж, лекщя не може бути шчим замiнена, якщо особистий емоцiо-нальний вплив лектора на слухач1в в по-еднанш з глибоким науковим змiстом на-вчального матерiалу, створюе еднiсть думки, слова i сприйняття.
Пiдтвердження деяких з вищезазна-чених аспекпв, знаходимо ще у видатно-го педагога К. Ушинського, який вважав, що в лекщях не повинно бути матерiалу, який можна прочитати в пiдручнику.
Ступiнь розумiння та розв'язання ву-злових питань суттево впливае на ефек-тивнiсть лекцшного заняття.
Як зробити традицiйну лекцш ефек-тивною, iнновацiйною, професiйно-орi-ентованою, такою що вщповщае сучас-ним потребам навчання математики майбутнього фахiвця?
Важливо правильно застосовувати методику i рацiональну побудову мате-рiалу, який вивчаеться, знайти i проде-монструвати зв'язок теорп з практикою, широко використовуючи мiждисциплi-нарнi зв'язки.
Знаходити оптимальне поеднання лекцш з шшими методами навчання, ви-користовувати в навчальному процеа нетрадицiйнi види лекцiй - задача, яку повинен поставити перед собою лектор тд час пiдготовки i проведення профе-сiйно-орiентованого лекцiйного заняття.
У формувант майбутнього спецiалi-
ста, в нашому випадку фахiвця з вироб-ництва харчовог продукцп, викладач математики ввдграе не меншу рол, нiж викладач спецдисциплш. Важливо, щоб нашi студенти зрозумши, як багато мо-же дати математика як наука та п мето-ди для гхнього розвитку. Впевненiсть у силi математики треба виховувати у студенпв систематично, показуючи математику в дл, у розв'язаннi проблем i науки, i практики пiд кутом можливого застосування математичних методiв для вирiшення питань оргатзацп роботи i аналiзу дiяльностi пiдприемств вироб-ництва харчовог продукцп тощо.
Тому навчивши студента математи-цi, давши йому знання основних теорем i математичних понять, але не показавши, як щ теореми i поняття використо-вуються в реальних умовах, ми не змо-жемо перетворити математику в знаря-ддя пiзнання. Звiдси випливають, зок-рема, такi два взаемно доповнюват за-вдання: полiпшити викладання, ^ як результат, засвоення студентами самог математики та активiзувати взаемодiю з викладачами спещальних дисциплiн у справi застосування математичних ме-тодiв в гх щоденнш роботi [3].
Для розв'язання цих важливих питань необхщно навчити студента самос-тiйно думати, знаходити розв'язки проблем, критично ставитись до досягнуто-го. Досвiдчений лектор робить це, за-звичай, на власному прикладь Студенти вiдчувають бездоганне знання предмету i цiнять у викладача розум, ерудицiю, вмiння вшьно викладати матерiал з означеног теми, а не диктувати. Якщо лектор-математик доступно, але, водно-час, не знижуючи науковий рiвень, по-дае матерiал, аргументовано виконуе дп, демонструе високий рiвень доведен-ня теорем, наводить можливi варiанти постановки i розв'язку задач, якi навiть, можуть виходити за рамки необхщного рiвня даного курсу математики, реагуе на поведшку студентiв, вiдчувае аудитора, постiйно проводить зворотний зв'язок, захоплюеться сам i захоплюе
студентiв, читае легко, i невимушено -така лекщя буде стимулювати не лише зростання штересу до математики, як до науковог дисциплiни, а й спонукати сту-дентiв до серйозних мiркувань, шукати вiдповiдi на питання, як були сформу-льованi тд час лекцiйного заняття, або як виникли у них самих в процес ви-конання домашнього завдання.
Вченьпсихологи зауважують, що ро-зумова дшльшсть студента зростае при слухант нового навчального матерiалу. Саме на лекщях з математики студент намагаеться усвщомити новi формулю-вання, положення, аксюми i тереми. Лектор-математик мае багато можливостей для того щоб тдтримати щ намагання i сприяти систематичному розвитку розу-мових здiбностей студента, формуючи при цьому: вмшня аналiзувати i система-тизувати; абстрагуватись вщ конкретних об'ектiв, створюючи математичну модель; виконувати зворотну дш - перенести, наприклад, властивоси геометрич-ного тiла на конкретний об'ект; визнача-ти головне; обгрунтовано висловлювати свог думки; робити лопчт висновки, ро-звиваючи при цьому швидюсть реакц11, гнучкiсть розуму, довготривалу i зорову пам'ять, абстрактне мислення i, навпаки, вмiння побачити можливiсть застосування фактiв з математики для розв'язання завдань спецдисциплш.
Можна стверджувати, що одним з чинниюв тдвищення ефективносп тра-дицiйноi лекцГг' i вiдповiдно тдвищення рiвня засвоення математики студентами, е визнання практичног цiнностi математики для шших наук, що пов'язана з ви-користанням математичних теорш при читаннi iнших навчальних дисциплш. 1ншими словами, професiйна спрямова-тсть лекцiй - фактор, необхiдний на сучасному етат розвитку математичног освии. Тобто, чим бiльше лектор вико-ристовуе професiйно-орiентованi завдання для тдтвердження теоретичних положень, чим вищий рiвень застосов-ностi математичних методiв у спецiль-нiй та загальнш пiдготовцi, тим свiдо-
мiше та вщповщальтше ставляться студенти до вивчення математики. Ви-кладач повинен зважати на те, що задачi прикладного характеру в кура математики розкривають витоки математичних понять i методiв, розкривають зв'язки математики з iншим науками, показу-ють глибину загальност математичних методiв, та уявлення про сучаст про-блеми застосування математики в iнших галузях знань, сприяють розвитку та т-дтримщ iнтересу студентiв до ща науки. Зв'язок взаемодл математики та iн-ших наук можна показати на прикладах виникнення диференцiального та штег-рального числення, створення теорл ма-тематичного програмування i т. д.
Професшну спрямованiсть лекцл можуть забезпечити прикладт задачi. Практичнi завдання на основт поняття (границя, похiдна та диференщал, штег-рал, ряди, диференщальт рiвняння, iмовiрнiсть, випадкова величина, мате-матичне сподiвання, дисперсiя та ш.) показують хiд процесу абстрагування, створюють передумови для розгляду задач, як мають практичну професiйну спрямоватсть, або безпосередньо на основну профшьну дисциплiну, або на навчальнi дисциплши, якi забезпечують весь комплекс професшно'г' пiдготовки молодшого спецiалiста.
Наприклад, практичну, прикладну спрямоватсть диференцшних рiвнянь можна прошюструвати на таких задачах.
Задача 1.
Для тдприемства харчовог промис-ловостг скласти математичну модель зростання випуску продукци. Врахувати умову, що в початковий момент часу 1=0 обсяг випуску продукцл Qo зафш-совано (задано).
Результат - рiвняння вигляду
Q ■= k Q(t), k=lmP, (1.1)
де - Р - фiксована цiна за якою реа-лiзуеться продукцiя;
0(1) - кшьюсть ща продукцл, реаль зованог на момент часу 1;
1/1 - норма акселерацл (економiчний показник, який характеризуе зв'язок мiж
приростом кшцево'г' продукцГг' i обсягом iнвестицiй);
т - норма iнвестування - постшне число, причому 0 < т < 1.
З точки зору математики рiвняння (1.1) е не що шше, як диференцiйне рiв-няння першого порядку з роздшьними змiнними.
Задача 2.
Знайти функцт, яка буде характе-ризувати обсяг реалгзовано'г продукци Q = Q(t), якщо вгдомо, що крива спожи-вання задаеться ргвнянням P(Q)=4-3Q, норма акселеращг 1/1 =1,8, норма Ыве-стищй m=0,7, Q(0)=0,5.
Задача 3. Скласти диференщйне ргв-няння, яке описуе динамгку ринкових щн (макромодель Домара). Знайти загальне ршення цього ргвняння г надати його економгчну ттерпретащю.
Задача 4.
Для тдприемства з переробки сиь-ськогосподарськог продукци пропозищя товару доргвнюе швидкостг змтення запасу товару I задаеться ргвнянням
F
xt, Pt,
V
dt
¡Рг
-4
xtPt
dt
де х, ф,
запас товару; рг - цгна товару; величина, яка характеризуе змг-
dt
нення щн.
Визначити, як змтюеться цгна товару залежно вгд його киькость
Розв'язок. Вщповщно до умови за-дачi маемо рiвняння
х,
-4Р.
dpt dxt
dt dt
або
(Х, Х, яке е однорщним.
Р
Введемо постановку —=г , тодi
х
А = х2
¡Рг
¡г
-2 +--Х{.
¡Х,
Будемо мати рiвняння з роздшьними змшними, розв'язуючи яке послщовно отримуемо:
х
У
х
dz i— dz dxt xt-= -V z, —-¡= =--L.
dx
Тода
4~z
x
z = -ln2 4
C
x
Функщя змши цiни залежно вiд кь лькосТ товару мае такий вигляд:
=^ ln2 4
C
x
Задача 5.
Модель формування нацюнального прибутку, в якш допускають, що вироб-ниче накопичення пропорцтне приросту нацюнального прибутку в той же момент часу i що динамта споживання незалежна, мае вигляд
dY
Y (t)=B—+c(t), dt
де В - коефщент капiталоемностi, тобто вiдношення виробничого накопичення до приросту нацюнального прибутку; ф) - функщя споживання.
Знайти функцт, яка характеризуе змтення нацюнального прибутку Y(t), якщо вiдомо, що величина споживання задаеться функщею c(t) = 2t, коефщ-ент капiталоемностi приросту прибутку B = У2, Y(0) = 2.
Розв'язок. Вщповщно до умови за-вдання отримуемо piB^Hra,
Y(t) = 2 Y (t) + 2t,
яке е лшшним неоднорщним piвнянням першого порядку. Для його розв'язку використаемо метод постановки.
Позначимо, що Y(t) = u (t)v(t), тодi
Y\t)=uv + vu . Поставивши функцiю Y(t) i li похщну в початкове piвняння, отримаемо:
uv=—(u V+uv') + 2t,
або
V
1 ,
v — v 2
- - uv - 2t = 0. 2
Виберемо v так, щоб вираз в дужках доpiвнював нулю. Тодi
1 dv л dv | , _ 2t >=--=0, — =2 v, lnv=2t, v =e2.
2 dt ^ 1 1
v=
Пiдставимо знайдене значення в piв-няння, будемо мати:
Звщки
1 2, du
—e21— + 2t = 0.
2 dt
u
dt
= Ж=2te-2t + е~2 + е~ъ + С.
Тодi
У(0=2t+1+Се? .
Значення постшно! С знаходимо з початково! умови У(0) = 2. Будемо мати: С=1. В результатi отримаемо: У (г) = 2t +1 + е2t.
Таким чином функщя
У (г ) = 2t +1 + е21 характеризуе змшу нацiонального прибутку.
Наведет приклади, на наш погляд, т-дтверджують глибину загальностi математичних методiв i можливiсть застосування, як для розв'язання завдань з про-фiльних дисциплiн, так i для обчислення конкретних ситуацiй державного рiвня.
Вiзуальна п1дтримка лекцiйних занять.
На сучасному етат для досягнення бшьш ефективного засвоення лекцшно-го матерiалу бажано придiляти значну увагу застосуванню засобiв наочностi.
Важливим засобом тдвищення яко-стi сприйняття лекцшного матерiалу е застосування не лише аудiальних (мате-рiалiв, якi сприймаються на слух), але i вiзуальних наочних матерiалiв.
В цьому випадку тдвищення ефек-тивностi засвоення матерiалу вщбува-еться за рахунок активiзацil одночасно кiлькох рецепторiв. Ефективнiсть засвоення е особливо значущою, коли наоч-нiсть демонструеться за допомогою те-хнiчних i комп'ютерних засобiв. Що до-зволяе подавати матерiал динамiчно, крупним планом. Позитивнi моменти використання комп'ютерних технологш неодноразово описат в перюдищ. В да-нш статтi проаналiзуемо можливiсть застосування, i наведемо приклади опор-них конспектiв i схем.
1снуе думка, що мало який викладач може прочитати лекщю на високому
u
науковому рiвнi, не користуючись хоча б якимись записами, як допоможуть йому тдтримувати послщовтсть роз-думiв, доведень, надавати фЫгранно вiдточенi формулювання означень i ви-сновкiв. Все ж таки, для бшьшосп ви-кладачiв, не беручи до уваги стаж робо-ти, юнуе потреба користуватися опор-ним матерiалом з коротким записом по-ложень i прикладiв, якi розкриваються на занятп, як приклад, можемо навести опорний конспект за темою «Випадковi величини» (додаток 2).
Незважаючи, на нагальну потребу користування наочними поабниками, пiд час проведення лекцшних занять з математики, слщ мати на увазi, що пла-кати, опорнi конспекти, моделi, вщеофь льми, презентацп та iншi наочт поаб-ники повиннi бути на занятп в мМма-льно необхдаш кiлькостi. Вони лише доповнюють матерiал, який викладаеть-ся на дошщ. Варто зазначити, що пояс-нення користуючись лише плакатами (опорними конспектами), в якш би фо-рмi вони не подавались, i велика кшь-кiсть самих плакапв не залишае нiякого слiду в конспект! Бажано, щоб цi мате-рiали були виданi додому в якосй роз-даткового матерiалу. Таким чином велика кшьюсть наочного матерiалу не може бути визнаною доцшьною.
Успiх професiйно спрямованог лекцй залежить i вiд пiдготовки лектора. Нема единого рецепта, як готуватись до лек-цп. Деякi лектори готують лекщю з усь ма деталями, щоб рацюнальтше розмь стити матерiал, iншi - складають тiльки
план-схему ii.
Спираючись на досвiд читання лек-цiй у вищiй школ^ вважаемо можливим запропонувати молодим викладачам та-ку методичну схему-рекомендацiю (додаток 1).
1. Анисимов П.Ф., Коломенская АЛ., Ярошенко ИТ. Тенденции развития прак-тико-ориентированного образования в контексте международного образовательного пространства // Среднее профессиональное образование. - 2004. - №8. - С.2-13.
2. Бандурка A.M., Бочарова С.П., Земля-нская Е.В. Психология управления. - Харьков: Фортуна-пресс, 1998. - 464 с.
3. Бгрченко КО. Hapucu з методики ви-кладання вигцог математики. - К., 2006. -396 с.
4. Волинсъкий В.П. Можливоспй aydioei-зуачъних засобгв навчання // Педагогжа i психологЛя. - 1997. - № 3. - С.7-13.
5. Колемае в В А. Математическая экономика /В.А.Колемаев. - М., 1998.
6. Михайлов а К И. Microsoft Power Point //Информатика и образование. -1997. - № 1. - С. 7-12.
7. Морозов А. В. Психология влияния. Хрестоматия. - СПб.: Питер, 2000. - 240 с.
8. Оргашзаг^я навчачъно-вшовного про-ifecy. Досвгд роботи вшцих навчачъних за-кладгв I-IIpienie акредитаци. 2005. - № 6. -196 с.
9. Скафа O.I., Мазнев О. В. Мехашзми керування якктю oceimu: внутршнъо-
//
: -
дження. - 2007. - № 26. - С. 14-18.
10. Ушин ский К Д. Избранные педагогические сочинения: в 2-х т. - М., 1974. - 488с.
Резюме. Полякова Н.М. ПРОФЕССИОНАЛЫЮ-Н^^^ЛЕННАЯ ЛЕКЦИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ - ПУТИ УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ. В статье проведен анализ недостатков и преимуществ профессионачъно-ориентированного лекционного занятия по математике, даны рекомендации молодым преподавателям.
Summary. Polyakova N. PROFESSIONALLY-DIRECTED LECTURE - IMPROVEMENT WAYS. The analysis of lacks and advantages math professionally-focused lecture is made. The recommendations for young teachers are given.
Надшшла до редакци 17.09.2008 р.
Додаток 1
Схема - рекомендащя
Дидактичт цШ лекцшних занять:
Ь Надати студентам сучаст, цтст, взаемопов'язат знання, рiвень яких ви-
значаеться цiльовою настановою до кожно! конкретно! теми; Ь Забезпечити в процесГ читання лекцп творчу роботу студентГв разом з викла-дачем;
Ь Виховувати у студентiв професiйно-дiловi якостГ, зацiкавленiсть у вивченнi.
Основм типи лекцшних занять:
• вступна лекщя;
• оглядова лекщя;
• тематична лекщя з елементами евристично! бесщи;
• лекщя з елементами проблемних ситуацш;
• лекщя з використанням ЕОМ i ТЗН;
• тдсумкова лекщя;
• настановча лекщя.
Додатково:
Академiчна; Описова; Аналиична; Популярна.
Види лекцшних занять
• Лекщя - вiзуалiзацiя;
• Лекщя - вдвох;
• Лекщя з запланованою помилкою (лекщя-провокащя);
• Лекщя-бесща (дГалог з аудиторь ею);
• Лекцiя-дискусiя;
• Лекщя Гз застосуванням технiки зворотного зв'язку;
• Лекщя - консультащя;
• 1нформацшна лекцГя;
• Проблемна лекщя;
• Лекщя-запрошення до колективно-го дослщження (поточна "мозкова атака");
• Комбшована лекцГя.
Запам'ятайте! Основнi вимоги до лекцц':
►► високий науковий фаховий рГвень лекцГйних занять;
►► високий органГзацГйно-методичний рГвень лекцГйних занять; ►► лекцГя повинна читатись суто за програмою, Гз дотриманням тем лекцГйних занять;
►► лекцГя повинна мютити новини га-лузц
►► надаеться право читати лекцГю най-досвГдченГшим викладачам; ►► дотримання вимог мГждисциплшар-них зв'язкГв.
Яккш характеристики лекцш
►► ефективнГсть наукового впливу на яюсть виховання студентГв; ►► ефективнГсть фахового впливу на яюсть знань студентГв; ►► тдготовка лектора, вмГння оргатзу-вати творчу роботу студентГв; ►► глибина обговорюваних питань, умшня встановлювати мГждисциплГнарнГ зв'язки; ►► зв'язок теоретичного матерГалу з практикою;
►► сприйняття матерГалу студентами.
Основнi ф у н к ц И лекцil:
тзнавальна (навчальна) розвиваюча виховна органiзуюча
Структура лекцil
Вступ - визначае тему, план i мету лекцп. Вступ призваний налаштувати аудитора на сприйняття матерiалу, повiдомити актуальтсть, основну iдею (проблему, основне питання), зв'язок з попередтми i наступними заняттями. Вступ повинен бути коротким 1 щлеспрямованим!
Викладення матерiалv - основна частина лекцп, в якш реалiзуеться науковий змют теми, формулюються всi основнi питання, приводиться вся система дока-зiв з використанням найбшьш доцiльних методичних прийомiв. Кожне теоре-тичне положення повинне бути обгрунтованим i доведеним, означення чики-ми, насиченими глибоким змiстом. Вс доведення спрямованi на досягнення поставлено! мети, розкриття основно! iдеí. Кожне питання закшчуеться короткими висновками, як логiчно пiдводять до наступного питання лекцп.
Заключна частина - тдсумовуе в коротких висновках основш ще! лекцГ!, за-вершуючи !! як едине цiле. В заключит частит можуть надаватися рекоменда-цп стосовно порядку подальшого вивчення основних питань лекцп самостшно.
Оформлення лекщ!':
повний текст лекци
лекцil
Додаток 2
Випадков1 величини.
Випадкова величина. Закон и розподшу.
Означення1. Випадковою величиною називаеться числова функщя, визначена на прос-торi елементарних результатiв.
Означення2. Функцiя, яка ставить у вщповщтсть кожному значенню х випадково!! величини Х iмовiрнiсть Р(Х=х), з якою вона приймае це значення, називаеться законом розподЫу випадковог величини.
Схема створення закону розподЫу випадковог величини.
1. Побудувати для даного експерименту проспр елементарних результапв i задати в ньому ймовiрностi;
2. Виписати значення випадково! величини, як вщповщають кожному елементарному результату;
3. Виписати вс можливi значення х1, х2, ..., хп i вiдповiднi 1м ймовiрностi р1, р2, ..., рп. Ймовiрнiсть р; знаходиться додаванням усiх елементарних результапв, якi вiдповiдають значенню х .
1спити Бернулль
ОзначенняЗ. ¡спитами Бернулл1 називаються
,
умовам:
1). ктьюсть ¡спилв фасована;
2). кожний ¡спит прИЗВОДИТЬ ДО ОДНОГО 3 двох
взаемио виключиих результате, як! умовио иазивають «усшх» та «иевдача»;
3). ймов!ршсть «усшху» вщ ¡спиту до ¡спиту не
;
4). ¡спити незалежш.
Математичне сподiвання випадковог величини.
Нехай випадкова величина мае закон розподшу:
Xi Xi X2 Xn
Pi Pi P2 Pn
де xi, х2, х3, ..., xn - Bci можлив1 значення випадково! величини, а p; = P(X=Xi), i=i,..., n.
Означення 4. Сума добутюв значень випадково! величини на вщповщт ймовiрностi називаеться математичним cnodieaHHHM або середнт значенням випадковог величини Х i позначаеться МХ:
n
MX = X xlPl i=1
або
MX = Xi Pi + X2 p2 + ... + XnPn ©-
Формула БЕРНУЛЛ1
Iмовiрнiсть того, що в п iспитах Бернуллi «успiх» наступить рiвно т разiв, дорiвнюе
рт _ (-1 т т п-т
Рп = Сп Р Ч
де р -iмовiрнiсть «устху» в кожному iспитi, а q =1-р (m = 0,1,2, ...,n )
Властивосп математичного сподшання: 1).
МС=С; М(СХ) = СМХ
2). М(Х+У) = МХ + МУ;
3). якщо Х>=0, то МХ>=0
4). якщо Х>=У, то МХ>=МУ
