Проективные связности в нормализованном римановом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

Л. А. Лукичева

(Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары)

ПРОЕКТИВНЫЕ СВЯЗНОСТИ В НОРМАЛИЗОВАННОМ РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Путем расширения риманова пространства Уп до

1

пространства проективной связности Рпп = V* показано, что невырожденная его нормализация индуцирует

2-4

три пространства проективной связности Рп п .

Ключевые слова: расширенное риманово пространство, нормализация, тензор, структурные уравнения, пространство проективной связности, кручение.

Результаты работы получены с использованием инвариантных методов дифференциально-геометрических исследований [1; 3; 5]. Во всей работе индексы принимают следующие значения:

1,К,Ь = 0п ; 1,К,Ь,... = Тп . 1. Рассмотрим риманово пространство Уп, которое определяется системой форм Пфаффа {в', в'К } и полем симметричного невырожденного тензора gIK (gyIK] = 0, | Ф 0):

Бв1 = вь Ав[ , БвК =вК ав[ + 1гКрдвР а ве ; (1)

^'К - - gILвK - gLквL = 0 . (2)

Возьмем систему форм Пфаффа }:

Вю0к = 0, БюК Ааь +— К-крдао л ®о , (4)

®0 =в1, < = - ——; в, < = о, ®к = в - ¿в • (3)

п +1 п + 1

Система (3) в силу (1) удовлетворяет уравнениям Картана Лаптева [1]:

,О®0 = ®0> л (а[ - ¿>1®°), = 0 ,

1 2

¿ёж + 2ёж®0 - ёь®К - ёьк®Ь = 0 ;

где

^0Ре = ^крд = ^0рд = 0 , В-крд = гкрд • (5)

Следовательно, система форм Пфаффа (3) определяет про-

1

странство проективной связности рп п без кручения со структурными уравнениями (4), которое назовем расширенным ри-мановым пространством и обозначим У*п ; метрическим тензором этого пространства будет симметричный тензор ёж • 2. Пусть в пространстве У *п задано поле ковектора :

уто 10,00 0 к о к 1г\

УУi = аVi + У-®0 -Vкю- ®0 • (6)

Предположим, что компонента этого тензора отлична от нуля: геометрически это означает, что в каждом слое Е*п(Л0) выбрана гиперплоскость Е,0 (А0), не проходящая через точку Л0. Поэтому, следуя [3], пространство УЩ с введенной структурой по аналогии с проективным пространством рп назовем нормализованным; при таком оснащении расширенного пространства Уп исходное риманово пространство У п также назовем нормализованным. 0

Считая V0 = -1, из уравнений (6) находим:

= 00^ • (7)

Обращение тензора к0 в нуль равносильно тому, что нормализующая гиперплоскость В,0(А0) — [AI + к°А0] совпадает с несобственной гиперплоскостью Пп-1 (A0 ) — [А' ]; поэтому везде, где не оговорено, предполагается, что тензор к0 — не нулевой. Продолжая уравнения (7), получим:

+ ^0 = к^ь^в . (8)

Согласно (7) и (8), система функций

образует тензор:

где

0 def 0 0 0 /Г1\

Mk = , (9)

Y7 0 , 0 0 0 L dm

vMik + Mik®o = Mikl^o ; (10)

V7^,T00 0 P /114

VMkl + 2Mkl®o = Mklp^o , (11)

mokl =<l -ГУкъ ;

тензор juJk назовем основным тензором нормализации пространства V .

Нормализацию пространства V*n с симметричным тензо-

0 г>

ром juik по аналогии с нормализованным пространством Pn [3] назовем гармонической.

Предположим, что соответствие A0 ^£0(A0) — взаимно

однозначно; последнее равносильно тому, что тензор juJk является невырожденным: h =j jJK| Ф 0 . Следовательно, в случае невырожденной нормализации пространства УЩ существует

поле взаимного тензора м0)К , компоненты которого определяются из соотношений

..о ..LK с К ,,0 ,,KL с К /10ч

milmo = 5i , mlimo = 5i (12)

и удовлетворяют дифференциальным уравнениям

VM0K - MIOK^0 + m0pmqkm°pql^l = 0. (13)

Функция h есть относительный инвариант и в силу (10, 12, 13) удовлетворяет дифференциальному уравнению

dlnh + 2(n + 1)ю°0 = hKa>K , (14)

где

hK =Мо M0lk . (15) Продолжая уравнения (14), получим:

V^ + h^l = h^o , (16)

где в силу (5) справедливо

h [Щ= 0 . (17)

Согласно уравнениям (7) и (16), система функций

Лк = hK - 2(n + 1)v°k (18)

образует тензор:

^Лк + Лкоз° = Л^, Лко] =-2(n + 1)M[kl]. (19)

Тензор Лк есть аналог чебышевского вектора [3]; при этом

нормализация пространства V*n необязательно гармоническая. Системы функций

J Jf0 def О 0 0 0 0 hL О /лт

MIKL = Mikl - Vi Mlk - Vk Mil--Mik ; (20)

n + 1

kl=M!kl --ЛлМ0Л (21)

n\n +1)

в силу уравнений (7, 10, 11, 16, 19) образуют тензоры:

VM0KL + 2М0к;о0 = М0корОр, VN0KL + 2М0к;О°0 = N0^. (22)

i

3. Согласно [2] на базе пространства Рпп = V* другое пространство проективной связности можно определить при по-

мощи новых (п +1) форм Пфаффа 4'К, которые получаются из форм соК преобразованием

4 = 4 + ПКьш, . (23)

Формы 4К в силу (4) удовлетворяют следующим структурным уравнениям:

БОК = 4К а + АПК, А а>Ь , (24)

где

ЛП1 =УПКь + ПКьш0 -2(( +2ЩЬПКР) . (25)

Согласно теореме Картана — Лаптева из уравнений (24) следует, что для того, чтобы в главном расслоенном многообразии, задаваемом формами С, &К, определялась проективная связность, необходимо и достаточно, чтобы было задано поле объекта ПК, , то есть

АПК;, = П1ршр0 ; (26)

при этом совокупность функций (-2ПК|Ре]) есть тензор кривизны -кручения соответствующего пространства проективной связности.

Уравнения (26) с учетом (25) равносильны системе (с учетом С = 0 , см. (3))

^П0К + П0Кш0 = П0КРш0 , VПКЬ + ПКЬш 0 = ПКЬРШ0 ,

УП0К + ПК ш0 = П0КР шР . (27)

В силу соотношений (7, 13, 15, 18 — 22) очевидно, что каждая из следующих трех систем охватов удовлетворяет уравнениям (27):

П 0 = лк Пь = иЬРМ0

п + 1

Л (28)

ТР п-ш ж-п ^ '

П0 — —2 и0 +Лр К +иЬРлРМ0

Иж- ¿¡А'КУ1 1 г"0 УЬ^У1Р1К>

11 п +1

п00к = 0, пк = иЬрКк, П0к = -2 ^к ] + и0р <К1К; (29)

п0к =—-+Ч, пЬк = ¿ь^-, пк = I у0Ак • (30) п +1 п +1 п

Формы £20 с охватами (28 — 30) обозначим (соответст-

2 I 3 I 4 I 1 I I

венно) со к , С , (®к =ак )• Соответствующие простран-

2 3 4

ства проективной связности обозначим через рпп , рпп , рпп •

Следовательно, формы новых пространств с формами С исходного нормализованного расширенного риманова пространства У*п связаны соотношениями:

2 1 1 2 0 0 Лр р 21 I 1Ь \ г0 р

с0 =с0 , С0 = С0--С , ск =ск +М0 мькр®0 ,

п +1

Л Л (31)

р I ..кьх.0*'0 ~ 0 I р у '

+ ЦкЬо°кМ01р - 2^1р]\тРр ;

п +1

С0 =С0 , С0 = С0 , Ск =ск + м00М0крС0 ,

СС0 =(0К№Ш - 2; (33)

41 I 4 0 0 Лр р 41 I оь Лр р

с0 =с0 , С0 = С0--С , ск =ск +дк—(-Л с0 ,

п +1 п(п + 1)

п

ч

°к

41

С =-у0Лрюр • (32)

Формы т'к () = 1, 2, 3, 4) удовлетворяют структурным уравнениям

Всо0 = ССкл 6)0+1Я1к^ро ср л С , (34)

2 о

2 I 3 I 4 I где тензоры кривизны-кручения Я^ , К&о , Якро про-

2 3 4

странств рп п , рп п, рп п в силу (4, 5, 9, 17, 31 — 33) имеют следующие строения:

2 2

п1 __ .Л 0 пК 2по _ о 2пк 2по _ о пк 1Уорд ~ Мо ук1^ьрд> порд ~ ук порд > п2рд ~ ук п2рд >

П __у0П _и*и0 Ят • (35)

1Ккр<2 ук '-юрд го г-тк 1Кьрд > у '

31 21 2 2 з 2 2 I о 2 I 4 2 0 Порд _ Порд + — ¿[^Лд] ■ Якрд _ Якрд _ук~ ¿[рЛд]--¿к.[рд] ■

з 2 2

Г>0 А о 0 г,ь . ^ 0 л

Яорд _ 4 М[рд ] +У Яорд + пУ[рЛд] ■

ззу

Т>0 ,,0 г>к . ,,0 ^ Л с к л,,о ..0

п2рд _укк1рд+Лр°д] _4у1.рд]•

(36)

4 2 4 2 Порд _ — Лр3д]■ п°рд __4.[рд]--у[^рЛд]■

п

4

4 „I о 2

К'крд _ п¿к.рд] + Якрд _Щ^кЛ^бд] ■ (37)

Яо 2 (о оо ) 4(п +1) о о

П1рд _ Щ .[рЛд] + У у[рЛ] + п у1 .[рд] •

Таким образом, справедлива

Теорема 1. При невырожденной нормализации риманова пространства Уп индуцируются три нормализованные прост-

234

ранства проективной связности рпп, рпп , рпп, базой которых

служит база исходного пространства Уп , причем формы связности и тензоры кривизны-кручения индуцированных пространств имеют соответственно строения (31 — 33) и (35 — 37).

Из соотношений (35 — 37) непосредственно следует

2 3 4

Яр _ Я'1^ + Я0рд , то есть справедливо

Следствие. Если из трех пространств проективной связ-

2_4

ности рпп , индуцируемых невырожденной нормализацией

риманова пространства Уп , два пространства имеют нулевое кручение, то и третье — без кручения.

Следующее утверждение сформулируем без доказательства: Теорема 2. В случае невырожденной гармонической норма-

3 2

лизации риманова пространства Уп справедливо Рпп = Рпп,

4 2

Рпп = У*п . Если при этом пространство Рп п имеет нулевое

2 2 2

кручение (<^у°Я0рд = О, см. (34)), то Я^д = Я°°рд = Я°рд = °,

2

ЯРд = -/р1 /гТ°1ЯТьрд, причем в случае обращения в нуль тензо-

2

ра М°кь пространство Рп п вырождается в расширенное ри-

маново пространство, изоморфное У.

Из соотношений (5) следует, что риманово пространство Уп вырождается (грРд = 0) в евклидово пространство Еп тогда и только тогда, когда расширенное пространство У* вырождается (Я]7Рд = 0 ) в расширенное евклидово пространство

. 2 _

Е*. Так как согласно (35) справедливо Я0рд = ° ^ ЯкРд = ° ,

2 2 3

то имеем УЩ = Е* Рпп = Рп ; при этом пространства Рпп и

4

Рп,п необязательно вырождаются в проективные пространства, ибо в силу (36) и (37) имеют место соотношения

4 _ 3 _

КЕрд = - КЕрд , где

3 2 1 3 2 °

Яорд = п 3\^рАд ], Я°рд = 4/\рд]+ ^niv\рЛд], Якрд = - п ^к ^Р^Лд]+ 23к /\°^д]),

3

KPQ

rKpq = - n \uK [pAq ] + K^IpAq] +2(n + l)v°K ^Q]].

Последние соотношения в силу upPQ] = 0 ^ AK = 0 доказывают следующее предложение:

Теорема 3. При невырожденной нормализации евклидова

2

пространства En пространство Pnn является плоским, а

3 4

пространство Pnn (или Pnn) плоское тогда и только тогда, когда нормализация En гармоническая.

Список литературы

1. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Моск. матем. общества. 1953. Т. 2. С. 275—382.

2. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства // Труды 4-го Всесоюзн. матем. съезда (1961): сб. науч. тр. Л., 1964. Т. 2. С. 226—233.

3. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

4. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1994.

5. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.; Л., 1948.

L. Lukicheva

PROJECTIVE CONNECTIONS IN NORMALIZED RIEMANNIAN SPACE

In work by expansion Riemannian space Vn to space of projec-

i

tive connectivity Pn,n = V* it is shown, that its nondegenerate nor-

2-4

malization induces three spaces of projective connection Pn n . 96