Двойственные аффинные связности в нормализованном римановом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

ДВОЙСТВЕННЫЕ АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ В НОРМАЛИЗОВАННОМ РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

DUAL AFFINE CONNECTIONS IN NORMALIZED RIEMANNIAN SPACE

Л. А. Лукичева L. A. Lukicheva

ГОУВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева», г. Чебоксары

1-4

Аннотация. В работе созданы основы двойственной геометрии пространств A аффинной связности, индуцируемых в расширенном нормализованном римановом пространстве V n .

1-4

Abstract. We created the basis of the dual geometry of spaces A n with affine connection induced in the extended normalized Riemannian space V„ .in this article.

Ключевые слова: расширенное риманово пространство, нормализация, тензор, пространство аффинной связности, кручение, двойственность.

Keywords: extended Riemannian space, normalization, tensor, space with affine connection, torsion, duality.

Актуальность исследуемой проблемы. Вопросы двойственной геометрии различных подмногообразий, вложенных в риманово пространство, до настоящего времени оставались неизученными. Исследования по двойственным аффинным связностям в нормализованном римановом пространстве значительно обогащают известные ранее результаты.

Материал и методика исследований. Результаты работы получены с использованием инвариантных методов дифференциально-геометрических исследований, а именно методом внешних форм Э. Картана [8], методом нормализации А. П. Нордена [4], методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [2].

Результаты исследований и их обсуждение. Во всей работе индексы принимают следующие значения:

Г, K, L = oTn ; I, K , L = rn.

1. Рассмотрим риманово пространство V n , которое определяется системой форм Пфаффа д1, д K } и полем симметричного невырожденного тензора g ik (g [ IK ] _ 0 ,

\s IK \ * 0 ):

DвI = вь л в[г Ов1к = вК л в[ + 1 г^ вР л в2

^ёж = ІК - ёивК - ёьк в1 = 0 .

Замыкая уравнения (2), в силу (12) имеем

ё іь гкР2 + ё ьк гірд = 0

Согласно работе [5] система форм Пфаффа р к

{°г }:

а>0 = в1

1

п + 1

в

со'К = 0

рк = вк

п + 1

зК вЬь

Рп

определяет пространство проективном связности

Система (4) в силу (1) удовлетворяет уравнениям Картана - Лаптева [1], [2]:

DюK = ^К л 0)1 + 1 R^Pg ор л о2 , аК = 0 ,

где

К 0Р2 = 0 , К кР2 = 0 , К0Р2

2

1

-г К — г

гьР2 , ^КР2 ~ ГКР2

1

п + 1 ^ ^ “ п + 1

В силу соотношений (2), (4) справедливо

^1К + 2gIK 00 _ gIL0K ~ gLK °1 = 0.

Замыкая квадратичные уравнения (11), находим

I — I , I , I г,

г( КР2 ) - ГКР2 + ГР2К + Г2КР = 0

откуда, свернув по индексам

1,2

имеем

2 г

\кр ]

— - г„

где Гкр

гга — Гг

есть тензор Риччи пространства

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(7)

(8) (9)

Так как риманово пространство 'п - эквиаффинное (г[кг ] = 0 ), то из (9) находим

грРв — 0 . (10)

х (5) имеет место

(11)

Из (6) и (10) следует, что в уравнениях (5) имеет место

к I = к 0 = К 0 = 0 К I = г1

Л0Р<2 ~ ^кР2 ~ Л0Р2 ~ и ЛкР2 ~ 'кР2 .

В силу (11) и (43) структурные уравнения (5) запишутся в виде

D®o = ®0 лрь 3ь®0 )

Dffl00 = 0,

(12)

ОоК = 0 , DоK = сок л + — гКСРд о0 л ю0) .

Пространство проективной связности Рп, п , определяемое системой (4), со структурными уравнениями (12) назовем расширенным римановым пространством и обозначим V п ; метрическим тензором этого пространства является симметричный тензор

g 1К .

Пространство V п , как и * п , имеет нулевое кручение (

К

0 Р2 Р2

), компо-

ненты тензора кривизны-кручения его R ^рд имеют строение (11).

1

®0 = -

Если Е п (А) - локальное касательное евклидово пространство в точке А базы в п риманова пространства * п и {а, е1} - репер пространства Еп (А)

, то геометрически

переход от риманова пространства * п к пространству V п означает, что каждый слой Е п пространства * п расширяется до проективного пространства рп = Е п , являющегося слоем пространства V п , причем (е1 ' еК )= §1К , то есть в пространстве р п имеется метрика, определяемая тензором g 1К . Пространства V п и V п имеют общую базу в п , и их слоевые формы связаны соотношениями (4), при этом слой Рп = Е п пространства Vп оказывается отнесенным к проективному реперу {А0, А1 }, А0 = А :

0 А = ГК А п К = о К \ I „ 0 = а I I .

0А1 = ГI ль , 1 1 о 01 = 0 , О 0 = 0 .

Так как 3AI = л! Аь , то «несобственная» гиперплоскость П п-1 — \Ак ] слоя

е; ( а 0)

0) является инвариантном.

-гг ; 0

2. Пусть в пространстве ' п задано поле ковектора У I

V у0 . а у°г + г>00 - уКоК = у0к 00К . (13)

Предположим, что компонента у о этого тензора отлична от нуля: геометрически это означает, что в каждом слое Е п (А 0) расширенного риманова пространства выбрана гиперплоскость «о ( Ао ) , не проходящая через точку А о . Поэтому, следуя [4], пространство V п с введенной структурой по аналогии с проективным пространством Рп назовем нормализованным; при этом риманово пространство V п также назовем нормализован-

ным.

0

Считая у0 = -1, из уравнений (13) находим:

V у0 + <(- 0) = у°к ®0к . (14)

Обращение тензора у(° в нуль равносильно тому, что нормализующая гиперплоскость

<?о( А0) - [ AI + У! а0] совпадает с несобственной гиперплоскостью П п-1 (А0 )-[AI];

0 „

поэтому везде, где не оговорено, предполагается, что тензор У I - не нулевом.

Продолжая уравнения (14), получим:

V у0к + у к < = у0кь . (15)

Согласно (14) и (15) система функций

образует тензор:

0 0 0 0 (16) Мік = Ук -УУк

(17)

т т ; 0

Нормализацию пространства V п с симметричным тензором М ж по аналогии с

V7 0,0 0 0 К V7 0 0 0 0 Р

V №ж + №ж О0 = ^1КЬ О0 , V ^1КЬ + 2^1КК О0 = ^1ККР О0 .

;ацию пространства V п с симметричным тензоре нормализованным пространством Рп [4] назовем гармонической.

Предположим, что соответствие A0 ^ «О (A0 )

о) является взаимно однозначным, это

о , def I 0 I п л

значит, что тензор ,ik является невырожденным: h = rnIK ^ 0 . Следовательно, суще-

,,ik

ствует поле взаимного тензора ,0 , компоненты которого определяются из соотношений

,,0 ,, LK _ о K ,,0 ,,KL _ cK (18)

№il М0 = °i , №li M0 = °i

и удовлетворяют дифференциальным уравнениям

V м0к - м0к + м0Р М2 М°Р2Ь о0ь = 0 . (19)

Функция h есть относительный инвариант и в силу (17), (18), (19) удовлетворяет

дифференциальному уравнению

й 1п Н + 2(п + 1)ю00 = Нк со к , Нк = м! м0ьк . (20)

Продолжая уравнения (20), получим:

v Нк + Нк ®0 = Нкь °0 . (21)

Согласно уравнениям (14) и (21) система функций

йе/ 0 (22)

Л к =Нк - 2( п + 1)у0к

образует тензор:

VЛк + Л к= Лкь о0ь , Л[кь ] = -2(п + 1)М[кь ]. (23)

Тензор Л к есть аналог чебышевского вектора [4]; при этом нормализация пространства

V п необязательно гармоническая.

Каждая из систем функций

Мжь 1=1 И-к -у(°Мьк -Ук М°0Ь---------Мж , ^^кь = М°их - -г—л М°0к Л ь ^24)

п + 1 пуп + 1)

в силу уравнений (14), (17), (18), (21), (23) образует тензор:

V М0кь + 2 М0кь о0 = М !кьР о0Р , V + 2 оР0 . (25)

3. В работе [3] доказано, что при невырожденной нормализации расширенного риманова пространства V п индуцируются три нормализованные пространства проективной

2 - 4

связности Р , определяемые системами форм:

2Л

«0 = °0 , «0 = «0 n + 1 «0 , «к = «к + м0 MLKP«0 ' «I = °(= 0) + V° + M^vKM°LIp - 2M[0IP]° ;

(26)

31 I 3o o 31 I IL л t 0 P

«o = «o , «o = «o , «к = «к + Mo Nlkp «o , (27)

«I = «I(= 0) + (MKLvKnLip - 2M[°P]°p ;

®0 = ®0 , °0 = Оо -

Лр -р (01 = 0)1 + 5 Г

Л

п +1

-О

р

п (п + 1)

о

(28)

соо° = оО(= 0) +1 ЛРор .

2 - 4

Пространства проективной связности Р попарно двойственны [6] как между собой,

так и по отношению к исходному пространству Рп п = Vn относительно соответствующих инволютивных преобразований 1 а их структурных форм по законам (26) - (28). Формы О— (У = 1 2, 3, 4 ) удовлетворяют структурным уравнениям

4 г 4 Г 4 г 1 г Р О D о>к = ®к л ®г +— Я — о л о о

2

крд

(29)

1 г 2 г

где тензоры кривизны-кручения Я —Р0 Я к~Ро

ЯI—

крд

Я

КРО

1 - 4

пространств Р

имеют строения (11) и

Я

о РО

Я

о РО

= у 0 ЯК ~ у к Л о РО

ЯI =-у0 ЯI - „Г „о ЯТ , п0 0 Я К

^кро ~ ук Лоро Но Итк ^гро ^О ~ к лро

(30)

Я

КРО

= Я

КРО

,,0 2 <? I * 4 X I .. 0

0\рлл>] 0к „\РО ],

К °\Р1УО Г

пп

(31)

2 Г\ 3 3

г)0 л О 11.^0 Г | 2 ^. О л п 0 1,0г> К . О 2 д сК /К,0 0

Яоро = 4„\ро]+ уг Яоро + у\рЛО], =vкRIPО + „1К~Л\р0О]- I „\РО];

п

Я

I

о РО

4

= л\р0о ] п

42 Я ОРО =-4„\РО ]- п У\р Л О ],

(32)

RІ = — 0І „0 + р!

якро ~ п \ро ] якро п

2

укЛ\р0о] ■

Я

№О

_ 2 ( Од 0 0 д ) 4(п + 1) О О

= ~\„о\рЛо] + у1у\рЛО])_| п УI „\РО].

4. Составим формы

р р I е I р о . е I о г, о I р = 1, 2, 3, 4-

и к — О ^ О О + 0 т О п -+Уу0с , ;

(33)

'Ку ГшО

Кш О

согласно (14), (29) каждая из четырех систем форм ным уравнениям Картана - Лаптева [1], [2]:

удовлетворяет структур-

р 1 р р р р 1 р

Dо0 = О0 л 6 Г + 2 ГРО О0 л О0 , D0K = О К л 6 Г + 2 ГКРО О0 л °0) ■

где

о 0,о К

РI Р I ^ - Я I ( Р~ Р~ - Р

Гр2 = К ^ , ГкР2 = К кР2 8 к

п 0 . -л 0 0 т-) Ь і -л * 0 с*.!. 0т-)

К 0Р2 + 2 М [Р2 ]~ У ь К 0Р2 + 2 М к [р Я 2 ] + У к К

.0.0 ,20 ,3.0 1.0 ,40

0 Р2 ,

(35)

Следовательно, каждая из систем форм |о 0 ,в к | определяет пространство с фундаментально-групповой аффинной связностью; эти пространства назовем соответственно первым, вторым, третьим и четвертым пространствами аффинной связности, индуцированными невырожденной нормализацией расширенного риманова пространства V п , и обор р

значим через Ап п ; соответствующие связности этих пространств обозначим через V .

Доказана

Теорема 1. Невырожденная нормализация расширенного риманова пространства

і/ ; р

V п индуцирует четыре пространства аффинной связности А , которые соответ-

ствуют четырем двойственным друг другу пространствам проективной связности

р р Т

Рп п ; при этом тензор кручения гр,о совпадает с тензором кручения соответствующего пространства проективной связности, а тензор кривизны имеет строение (35).

р

Замечание. В силу двойственности нормализованных пространств Рп п соответ-

р

ствующие им пространства аффинной связности А также являются попарно двойст-

венными относительно надлежащих инволютивных преобразований

I

р р

Формы вI связностей V в силу (26) - (28) можно записать в виде:

а I „I XI „0 . с/ о1 л о I в І = в І + ( ц10ЬМЬкр + 81 Л р О

вк = ок - 8 к о0 + 8кУьо0 + Укоо, к к Xй 0 ькр п + 1)

(36)

3 1 4 1 Л

вк = в к+м0Ь №кр о0Р, вк =вк+8к

п

ря р я

Если через т I обозначить тензор деформации аффинных связностей V и V ,

КГ

р я ря

р ^ Ч (то есть О1 -д1 = TI оГ ), то из соотношений (36) в силу (24) имеем:

К К КГ О

тК = „ОРмОкг + 0К ^7, ТКг = ТКг - 20К ^,

п +1 п (37)

TТ = TТ = 8Т _____— тО

КГ КГ К п ’ Ткг = Ткг = „ о ^ ркг '

Из соотношений (37) непосредственно следует

Теорема 2. Если из четырех аффинных связностей какие-либо две совпадают, то совпадают между собой и две другие; справедливы утверждения:

1 2 3 4 (38)

V = Vo м0КГ = 0 oV = V, ()

V = V о N0kl = 0 = 'V, (39)

1 4 2 3 (40)

VeVoA k = 0 oVeV .

Замечание 1. Согласно (24) очевидно, что условие (38) равносильно двум другим условиям (39), (40), взятым вместе.

Р

Замечание 2. При совпадении проективных связностей двух пространств Pn п и

q p q — Р

Pn n (” и ч фиксированы и различны) соответствующие аффинные связности V

q

и v также совпадают.

1 4

Из (37) следует, что тензор деформации симметрированных связностей v и v ,

2 3

а также связностей v и v имеет вид:

231 = TI = 1 XI А (41)

V )= T ( KL ) = nд(К АL) . v '

Так как объект аффинной связности Г 1KL и симметрированный объект связности ГKl = 2 (ГKl + Гlk ) определяют общие геодезические [7], то в силу (41) справедлива

14 2 3

Теорема 3. Аффинные связности v и v , а также связности v и v , индуцируемые нормализацией расширенного риманова пространства V n , обладают общими

14 2 3

геодезическими линиями, то есть пространства An n и An n (An n и An n ) проек-

тивны [4] друг другу.

В силу соотношений (30) - (32) выражения тензоров кручения и кривизны про-

p

странств An соответственно примут вид:

rPQ = R0PQ = ^ rKPQ = RKPQ — 2XК H[PQ ] + 2,К [PXQ] ; (42)

rPQ = R0PQ =— ^0 VK RLPQ , rKPQ = —,0 ,tkRlpq + 2X К M[pq ] + 2 M[p\k X Q ] ; (43)

= ЯI = о и К , 2 XI Л 31 = 21 4( п + 1) 01 „0 (44)

ГРО = ЯоРО = „о УКЯГРО + п 0\рЛО], кро = кро п 0к „\РО ] -

41 41 2 л а I 41 11 4(п +1) р I о (45)

ГРО = Яоро = пЛ\р0О], гкро = гкро + п °к „\ро ].

Из соотношений (42) - (45) с учетом равенств (40) непосредственно вытекает

1

Теорема 4. Требование того, чтобы пространства аффинной связности Ап п и

4

Ап п (или Ап п и Ап п ) одновременно имели одинаковое кручение либо одинаковую

14 2 3

кривизну, приводит к совпадению связностей каждой из пар ( V , V ), ( V , V ).

5. Рассмотрим частный случай - риманово пространство V n вырождается в евклидово пространство E п (rKpQ = 0 ), при этом расширенное риманово пространство

V n вырождается (R Ktpq = 0 ) в расширенное евклидово пространство E n . Соотношения (42) - (45) в силу R tpq = 0 примут вид:

1 1 2 2

rPQ _ rKPQ _~2Я K ,[PQ ] + 2,K [PSQ] ’ rPQ _ rKPQ _ 2Я K №[pq ] + 2,[p|k\Я Q ] ;

3i _ 2 Я i Л ,3i _ 2(n ^ 2) ЯI ,0 , 2,,0 si (46)

rPQ _ n Я[рЛQ] ’ Q _ n Як ,PQ] + 2,[p|kя q]; (

\,i _ 2 Л Я i r1 _ 2(n + 2) si ,o , 2 ,,o si

rPQ _ n A[p°Q], kpq _ n Як,[pq] + 2,k[psq] •

Справедлива

Теорема 5. Невырожденная нормализация расширенного евклидова пространства

Z7 * Р

En индуцирует четыре пространства аффинной связности Апп , два из которых

12 3 4

Ап n и A n n имеют нулевое кручение; пространства Ап n и An n имеют нулевое

кручение тогда и только тогда, когда нормализация E n гармоническая.

Из соотношений (46) получаем

1 , 2 , 1 г 2 , 3,4 3 , 4,

r _ r _ 0 r + r _ 0 r + r _ 0 r + r _ 0

f PQ f PQ ^ ’ r KPQ ^ 1 KPQ ^ ’ PQ PQ ’ KPQ ^ KPQ v *

Доказана

12 4 3

Теорема 6. Пространства аффинной связности Апп и Апп (или Апп и Апп )

являются плоскими лишь одновременно.

Резюме. Установлено, что невырожденная нормализация расширенного риманова пространства индуцирует четыре пространства аффинной связности, попарно двойственные между собой.

ЛИТЕРАТУРА

1. Евтушик, Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик, Ю. Г. Лумисте, Н. М. Остиану, А. П. Широков // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. - М. : ВИНИТИ, 1979. - Т. 9. - 246 с.

2. Лаптев, Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды Московского математического общества. - 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

3. Лукичева, Л. А. Двойственные проективные связности в нормализованном римановом пространстве / Л. А. Лукичева // Деп. в ВИНИТИ РАН 18.01.11, № 14 - В2011.

4. Норден, А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М. : Наука, 1976. - 432 с.

5. Столяров, А. В. Двойственная геометрия нормализованного пространства аффинной связности / А. В. Столяров // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. - 2005. - № 4 (47). - С. 21-27.

6. Столяров, А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В. Столяров. - Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ин-т, 1994. - 290 с.

7. Рашевский, П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Рашевский. - М. : Наука, 1967. -

664 с.

8. Фиников, С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. -М. ; Л. : ГИТТЛ, 1948. - 432 с.