CC BY
31
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 151, кн. 4
Физико-математические пауки
2009
УДК 514.756
СВЯЗНОСТИ НА ОСНАЩЕННОЙ
ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ В ПРОЕКТИВНО-МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
A.B. Столяров
Аннотация
Изучается внутренняя геометрия гиперповерхностей Vn-i, вложенных в проективно-метрическое пространство Kn, n > 3, и оснащенных в смысле А.П. Нордена и Э. Карта-на. Построены аффинные и проективные связности на Vn-1, индуцируемые указанными оснащениями. Найдены условия, при которых оснащение индуцирует па Vn-1 плоскую связность.
Ключевые слова: проективпо-метрическое пространство, двойственность. оснащение гиперповерхности, пространство аффинной связности, пространство проективной связности, пространство постоянной кривизны.
Известно [1, с. 81], что п-мерным пространством Кп с проективной метрикой называется проективное пространство Рп, в котором задана неподвижная гиперквадрика (^солют); уравпение в проективном репере Е записывается в виде
дш х1 хк = 0, дш = дш. (1)
Согласно работе [2, с. 339] пространство Кп будем называть ниже проективно-мет-рическим.
Фундаментальной группой пространства Кп является стационарная подгруппа абсолюта Qn_1; эта подгруппа сохраняет некоторый поляритет [1, с. 81], назван-
Кп
абсолют Qn_1 овального типа, поляритет называется гиперболическим [1, с. 86].
Кп
представляет собой проективную интерпретацию геометрии Лобачевского. С помощью этой интерпретации Ф. Клейн дал строгое доказательство ее непротиворечивости.
В работе изучается внутренняя геометрия гиперповерхности Уп_1, вложенной в проективно-метрическое пространство Кп, п ^ 3 и оснащенной: 1) в смысле А.П. Нордена полями геометрических объектов {Огп,С^} и {Нгп2) в смысле Э. Картана полем геометрического объекта {И1п,Ип}. Доказано, например, что пространство проективной связности Рп_1,п_1, индуцируемое оснащением в смысле Э. Картана гиперповерхности Уп_1 С Кп, п ^ 3 полем геометрического объекта {Нгп, Нп}, является плоским тогда и только тогда, когда ее нормализация полем объекта {Нгп,Оп} в касательном расслоении индуцирует риманово пространство Еп_1 постоянной кривизны К = — 1/е.
Настоящая работа выполнена с привлечением инвариантных методов дпффе-реициальио-геометрических исследований [1 3].
На протяжении всей работы индексы принимают следующие значения: I,J,K,L = 0, ...,n; I,J,K,L =l,...,n; i,j,k,l,s,t =l,...,n — 1.
Оператор V действует по следующему закону:
тла
Ljuui + Tiuup .
VTZ = dTU — та uu — ТЫ + Tfu^a.
1. Рассмотрим n-мерное проективное пространство Pn. Деривационные формулы проективного репера R = {Bj} записываются в виде dBj = uf Bк, где формы Пфаффа инфинитезимальных перемещений репера удовлетворяют структурным уравнениям проективного пространства Pn [3]
Duf = uf A uf, uf = 0. (2)
Условием неподвижности гиперквадрики (1) является [2. с. 359] выполнение дифференциальных уравнений
dgIK — 9IL"R — gLKuf = в9 IK, De = в A 0°. (3)
Доказано [4], что в предположении goo = 0 (последнее равносильно тому, что Bo = Qn-1) за счет нормировки коэфф ициентов g jf и вершин реп ера R уравнение (1) абсолюта Qn-1 и условие (3) его неподвижности можно записать соответственно в виде
aiK x TxK + -(gi0xi + cxo)2 = 0, (4)
dai k — ai l^k — aff =--(a i l9ko + a,KL9i o) ,
c
dg i o — 9lou L — cuo = a i ,
где
9iO9kO , , „
ai к = gif--, ai к = af i, c = goo = const = 0;
c
при этом форма становится главной:
(5)
o gLo L
uo =--uo .
c
(6)
2. В проективно-метрическом пространстве Кп рассмотрим гиперповерхность Уп-1, п ^ 3, текущая точка которой не принадлежит абсолюту Qn-1■ В репере Я первого порядка (Во € Уп-1, вершины В^ репера принадлежат касательной гиперплоскости Тп-1(В0) к гиперповерхности в ее теку щей точке В0) дифференциальное уравнение Уп-1 имеет вид [2, с. 359]
"п = 0. (7)
Трехкратное продолжение уравнения (7) с использованием (2). (6) приводит к следующим дифференциальным уравнениям:
"П = лп "о, Л^] = 0; (8)
Улп = л10к, л1[ок] = 1 лп[0 9к]0; (9)
ул«к — Л(уЛк)8^п + Лк(п^0) = л«^] = 1 Л^д8]0; (10)
поля геометрических объектов {Л"- }, {Л°к, Л- } относятся соответственно ко второй и третьей дифференциальным окрестностям точки В0 € Уп_1.
Предположим, что гиперповерхность Уп_1 С Кп является регулярной, то есть
def
симметричный тензор второго порядка Л° невырожден: Л = |Л°1 = 0, следовательно, существует взаимный тензор Лд0 второго порядка:
лпдлд0 = ¿0, vлпо = — лпдл^°Л^о, (и)
Л 1пЛ + (п + 1)< = Ад , Ад = ЛП'Л"к + 2 дко. (12)
с
Двукратное продолжение уравнения (12) приводит к дифференциальным уравнениям
VAi — (п + 1)Л>п = Апк А[пк] = цА[пдк]о,
+ А° ¿0 — Лп° Ад — (п + 1)(Лпп° шкп + Лп° ^п) = А°к ¿к, А^] = дд]о;
(13)
поля геометрических объектов {Ап, Лп° }, {Ап°, Л°к, Л°} относятся соответственно к третьей и четвертой дифференциальным окрестностям текущей точки Во € € Уп_1 С Кп.
3. Рассмотрим новую систему из (п + 1)2 форм Пфаффа ¿>К:
¿0 = 4, ¿¿п = ¿п = 0, ¿>0 = ¿0 — Г4г — —) ¿П,
\п +1 с у
^ _ д^V.,п ^ _ ЛV.,п (14)
п п
¿П, = + ЛпкЛ" —
п +1 с/"0' -п-^^п-Ьп-^ п+у, ¿0,
— кп к о _ 1П к -г _ дгк 0 -0 _ 0
Ч = —Лпк¿0 > Ч = Лпк¿п ¿п = —Лп ¿к ¿п = ¿п.
Согласно соотношениям (2), (52), (6), (8)-(11), (13), формы ¿¿К системы (14) удовлетворяют структурным уравнениям проективного пространства Рп, то есть
= ^ Л ¿К, ¿¿£ =0, (15)
причем они являются формами инфинитезималыгого перемещения тангенциального репера {£к}: = ¿>К£ь> где
ео = [ВоВ1... Вп_1], еп = [впв1... Вп_1],
1 п_1
е» = / , ЛЬ[В0В1 . . . Вк_1ВпВк+1 . . . Вп_1].
^ кг}
Согласно соотношениям (8), (14) имеем
¿¿п = Лп^к, (17)
Л п° = —Лп°. (18)
Дифференциальные; уравнения (9) в силу (14). (18) можно переписать в виде йЛ" + А" Г" А" Гк А" Гк — Л" Гк
аЛг] + ЛгзГ" — ЛгкГ] — Лк] Гг — Лг]кГ0 >
Ць —Л";к - Л"Л + П+т) • (19)
' 9к0 +
с п +1
С использованием соотношений (6). (7). (14) получим
-о — 9к0 Гк
Г0 =--Го,
с
где
(20)
9к0 — ^тАк• (21)
п +1
Аналогично с использованием равенств (18). (19). (21) находим, что функции
9 9 9 " 2 _
Ак — Л™ Л1зк + _5к0 с
(см. (12)) имеют строение
п +1
Ак — -9к0. (22)
с
Доказано [5], что: 1) преобразование 1 : —К ^ —К структурных форм по закону (14) является инволютивным, то есть 1 = 1-1; 2) регулярная гиперповерхность У"_1, погруженная в проективно-метрическое пространство Кп, п ^ 3, индуцирует:
а) в третьей дифференциальной окрестности проективное пространство Рп,
К"
Р"
окрестности нмеет внутренним образом определяемый тангенциальный абсолют О"_1, двойственный О"_1, следовательно, регулярная гпперповерхность Уп-1 С
С К™ в четвертой дифференциальной окрестности внутренним образом индуци-
К" К"
б) во второй дифференциальной окрестности подмногообразие Уп-1 С Рп,
двойственное исходной гиперповерхности V"_1; его дифференциальное уравнение
в тангенциальном репере (16) имеет вид Г"" — 0, причем тангенциальная гиперповерхность Уп_1 представляет с обой (п — 1)-параметрическое семейство касательных гиперплоскостей к Уи_1-
4. Уравнения (5) в силу (7). (8) примут вид
1
уаг^ — — - (агк9]0 + а^к 9ю)го + а™гг" + г"
Уат — агкг" —--(а,гк9"0 + а"к9%0 )гк + а—г",
-
Ус — 2а"кг" — — 2*„О 9-0—1, -
к
¿9г0 — 9к0Г° — сг0 — агкГ° + 9"0г" , ¿9Г10 — 9к0—" — 9"0г" — сг" — а"кГ°
Следуя Г.Ф. Лаптеву [2], в работе [7] па регулярной гиперповерхности У"_1 С С К"
гиперквадрик О1
"_1
Лг
Л" хгх3 + 2-хгх" + Бп(х"У — 2х0х", (24)
3 п +1
Лп = Ап + (п + 1)Сп, Сп = —1 дпо, (251)
с
VЛi + (п + 1)(ч0 — Л"<) = Лп°, ^п = п21-Лп^Лп4 — + ЛпсЛ . (252)
п2 — 1 п + 1
Известно [7]. что необходимым и достаточным условием вырождения гиперповерхности Уп_1 С Кп в гиперквадрику (24) является обращение в нуль симметричного тензора Дарбу
дп°к = (п + 1)(Лп°к — СпЛпк — Лпк) — Лп° Ак). (26)
Пусть гиперповерхность Уп_1 С Кп нормализована [1] полями квазитензоров соответственно третьего Сп и первого порядков, где
сп® —л«А°, ^п + ¿п = ^ + = а^, ,27,
п +1
в силу (11), (1З1) и (234) имеют место соотношения
апк = -I-ТЛп (ЛпЛП(кА — А«к), апк = — -(«пк + дп0Лпк). (28)
п +1 с
Нетрудно заметить, что нормализация гиперповерхности Уп_1 С Кп полями квазитензоров Сп, ап является взаимной относительно поля соприкасающихся гиперквадрик (24).
1п 1п
Возьмем систему форм Пфаффа {0®, 0°}, где 11
0п = ¿0, 0° = ¿п — ап^п + а°¿0 — (¿о — Ск¿к), (29)
эта система в силу (1), (6), (8), (27) удовлетворяет структурным уравнениям Кар-тана Лаптева [81, [21
1- К 1- 1- 1^1- 1 1-1 1
1 „к- . 1 т—\ 1 „к- . - . „с . ^
2
где
= 0к л 0», ^0° = 0к Л 0* + - 0п Л 04, (30)
° = —2
апапл-^к + п-+1лпк (л^Л^Л^. — АфЛ° —
—апакЛп[п^п +1 (а,^ + дпоЛп^)
.
Следовательно, нормализация (Сп,Сп) гиперповерхности Уп_1 С Кп индуцирует 1
аффинную связность V без кручения; ее тензор кривизны имеет строение (31). Так как 2 Г[°я] = — = 0 (при доказательстве этого следует использовать тождества
Риччи г(°я4) = 0 и соотношения (9), (131)), где г°п = г°п - тензор Риччи, то 1
связность V является эквиаффинной [1]. Таким образом, справедлива
Теорема 1. Нормализация регулярной гиперповерхности Уп_1 С Кп, п > 3, определяемая внутренним образом в третьей дифференциальной окрестности полями квазитензоров агn и Gi (сд<. (25), (27)), является взаимной относительно
поля соприкасающихся гиперквадрик (24) и индуцирует жвиаффинную связность 1
V со структурными формами (29) (зквш$$мннал связность первого рода).
5. Согласно [6] нормализация одной из регулярных гиперповерхностей У"_1 С К" и У"_1 С К" равносильна нормализации другой; при этом компоненты полей оснащающих объектов {О", Ог}, {О", Ог} связаны соотношениями
О" — —Л" Оз, Сг — Л" Сп, (32)
эти функции в силу (9). (11). (14) удовлетворяют дифференциальным уравнениям вида (27):
¿О" — О"—" + О"Г3 + Г" — О"з —0, аОг — О" Г3 + —0 — Ог" г" , (33) О"з — Л"к ^ 1ак0 — ОкО^ + 19"0$0, Ог0 — Л"к п + 1 — Л"г^ • (34)
1г 1г
По аналогии с (29) возьмем систему форм Пфаффа {вг, в"}, где
1 — -0, в" — Г) — О"Г" + О0—0 — ¿)(—0 — Ок—к). (35)
Согласно (15). (33) система форм (35) удовлетворяет структурным уравнениям пространства аффинной связности без кручения, поскольку
1. 1, 1. 1. 1, 1. 1 1 в вг — вк л вк, в в" — вк л вк + 2 в3 л в* (36)
1г 1 тензор кривизны гг-3* аффинной связности У имеет строение
" — 2
ОкО"Л"[861] + -(Л"° ak[sЛ"]o + ^¿[.зК1]") — О"Л"o[.sK] —
——( А,• а[з5) + А.и ¿[А
п + 1 Vп + 1 ° [3 * °[3 *)
11 В силу (9), (13^, (37) справедливо г)3* — 0, то есть тензор Риччи г^ связности 11 УУ
1г 1г
Из строений (29), (35) форм в" и в" с использованием (14), (32) находим
в" — в) + О"г" — О" —0 + Л"0^, г, — Ок Г") + Л"к О"г0 + ¿г О"г"• (38)
Теперь дифференциальные уравнения (9) с использованием (29), (38) запишутся в виде
¿Л" — Л"к вкк — Л"" вк — —Л""(г"" + О"г"), (39)
11 УУ
Лг"
0 1 1 Аффинная связность У, средняя [1] то отношению к связностям У и У, определяется системой структурных форм |—0, в" — 1 (в" + ) | • Для средней связности из уравнений (39) имеем
00
¿л)" — Л)о вк — Лк" вк — —л)" (г" + О "г") . (40)
Последние уравнения говорят о том. что средняя аффинная связность является вейлевой [1] с полем метрического тензора Лп. Отметим, что средняя связность 0 1 2
V, как и связности V и V, является эквиаффинной; последнее подтверждается
и тем, что дополнительная форма © (см. (40)) в силу (2), (7), (34) есть полный
дифференциал некоторой функции: Д© = 0. Следовательно, средняя аффинная о
связность V является римановой с полем метрпческого тензора Л"-. Таким образом, справедливы следующие предложения.
Теорема 2. Нормализация регулярной гиперповерхности С Кп, п >
3, внутренним образом определяемая в третьей дифференциальной окрестности
. 1 полям,и квазитензоров Огп и Gi, кроме эквиаффинной связности первого рода V
2
индуцирует эквиаффинную связность второго рода V, двойственную первой.
12
Теорема 3. Эквиаффинные связности первого V и второго V родов, индуцируемые на гиперповерхности в проективно-метрическом пространстве Кп, нормализованной полями к ваз итензоров Gгn и Gi, являются сопряженными относительно поля асимптотического тензора Л"-.
12
Заметим, что тензоры кривизны (31) и (37) аффинных связностей V и V связаны соотношениями
Г" = Л "I Л п ¿0 = ЛпЛ0,;
которые получаются в результате замыкания уравнений (39).
0
Теорема 4. Аффинная связность V, средняя по отношению к эквиаффин-
12
ным связностям первого V и второго V родов, является римановой с полем, метрического тензора Л -.
12
Теорема 5. Двойственные аффинные связности V и V, индуцируемые нормализацией регулярной гиперповерхности С Кп, п > 3, полями квазитензоров Gn, Gi, совпадают тогда и только тогда, когда гиперповерхность вырождается в гиперквадрику (24).
Последнее предложение непосредственно следует из соотношений
2- 1- 1 -и
л, _ л" I Л "^п в
= + ГГЛп
и и п+1 и
которые получаются из (38) с использованием (26) строения тензора Дарбу гиперповерхности.
6. Пусть гиперповерхность ^-1 С Кп оснащена в смысле Э. Картана [9] полем геометрического объекта , ^п}:
^ + ^ = ^ + ^п ^ + ^п = . (41)
Система п2 форм Пфаффа {©^}, где
©о=4, ©о = Gо^^ ©} = ц - <^п, ©о = ^о - ^п, (42)
в силу (2), (41) удовлетворяет структурным уравнениям Картана Лаптева [2, 8]
=©| Л ©о + 1 4^0 Л (43)
а следовательно, определяет пространство проективной связности Р"_1,"_1 без кручения (Кг0з* = 0). Тензор кривизны-кручения пространства Р"_1,"_1 имеет строение
Щ0з* —0 Щз* —2 (""ЩА] — "У"л"[зл"]к — V"^
; ; (44)
К0зг — 0, К0, — 2 [V"Л",О*] — »"„"Л"[8Л"]к — »п[вЛ"ъ) •
Замыкая квадратичные уравнения В©0 — ©к Л ©о (см. (43), (441,3)), имеем тождества Кг"кз*) = 0.
Предположим, что симметричный тензор а^ (см. (23)) невырожден, следовательно, существует обратный тензор а", компоненты которого определяются из соотношений аго о0" — ¿"и удовлетворяют дифференциальным уравнениям
¿а'" + агкг0 + а0" г) — а*к> —0, (45)
ак — 1(аг^к + а3" ¿к )д30 — (а)з а"* + а"3 а)*)а"3Л"к. (46)
Согласно уравнениям (23^), (271), (45), поле геометрического объекта {Н",И"}, где
Яг _ „гк„ тт _ гч ттк 9"0
" — —а а"к; Н" — СкН"--(47)
УН"" + Г"" — Н"к —к, УН" + Нкг° + г"" — Н"кг0к,
в первой дифференциальной окрестности внутренним образом определяет оснащение в смысле Э.Картана гиперповерхности Уи_1 С Ки; оснащающая точка Б" имеет разложение
Б" — В" + Н"Во + H"Bо• (48)
В уравнениях (47) функции Н"к и Н"к с учетом (28^, (47^ имеют следующие строения:
Н"к — + (Н"Н" — T""aгs)Л"k, ,
3 " , " , ( ^ Н"к — Н"(Н" Л"к — О к ) — Т""0)03 Л"к , Т"" — а"" — а 3 а"*а"з •
Заметим, что в соотношениях (49) функция Т"" есть относительный инвариант. Так как
¿Б" — (г" + Нкг")Б" — Т""акз(г"Вк + 0з—"Во), (50)
то справедлива
Т""
только тогда, когда гиперповерхность У"_1 С К", п > 3, есть проективная гиперсфера с цент,ром в точке Б" (т. (48)).
При оснащении в смысле Э. Картана гиперповерхности У"_1 С К" полем { Н"г , Н" }
странства проективной связности Р"_1,"_1 в силу (44), (47), (49) имеют строение
Коз* — К0з* — 0 Щз* — 2Т""а)' Щ)зг — ОЩ0st • (51)
Соотношения (51) с учетом теоремы 6 доказывают следующее предложение:
Теорема 7. Пространство проективной связности Рп-1,п-1, индуцируемое оснащением в смысле Э. Карта на гиперповерхности С Кп, п > 3, полем
геометрического объекта {НП, Нп}, является плоским тогда и только тогда, когда подмногообразие есть проективная гиперсфера с центром в точке .
7. Предположим, что гиперповерхность проективно-метрического про-
странства Кп нормализована полями квазитензоров НП и С® (см. (47) и (27)). Возьмем систему форм Пфаффа {П®, П*}, где
П® = 4, П* = ^ - НПс* + С*4; (52)
эта система в силу уравнений (27), (47) удовлетворяет структурным уравнениям Картана Лаптева [2, с. 315], [8, с. 82]:
= пд л пд, яп* = пд л пд + 2л П4,
где
1
(53)
Следовательно, система форм (52) определяет пространство аффинной связности 0
Ап-1 п-1 без кручения, тензор кривизны этого пространства имеет строение (53). '
Так как тензор Рпччп ЭТ* = удовлетворяет соотношенпям =
= — ЭТ* (последнее непосредственно следует из тождеств Риччи = 0), то
0
из (53) находим = 0, то есть пространство Ап-1,п-1 является эквпаффинным.
0
Кроме того, пространство Ап-1,п-1 является вейлевым с полем невырожденного тензора а®*, ибо уравнения (231) в силу (52) можно переписать в виде
¿а®* — а®йПк — ад* Пд = 0.
Таким образом, справедлива
Теорема 8. В случае невырожденного симметричного тензора а®* (см. (231) поля квазитензоров НП и С® нормализуют гиперповерхность ^п-1 проектив-но-метрического пространства Кп взаимно относительно его абсолюта ^п-1 (см. (4)), причем эта нормализация индуцирует риманову связность V с полем метрического тензора а®*, при этом структурные формы и тензор кривизны этой связности имеют соответственно строения (52) и (53).
В условиях теоремы 8 из (53) следует, что тензор кривизны риманова
пространства Дп-1 имеет строение
* = — 2а*[Д®] (54)
тогда и только тогда, когда относительный инвариант Тпп (см. (49 2)) обращается в нуль. Известно [1], что риманово пространство Дп-1 постоянной кривизны К = = — 1/с характеризуется строением (54) его тензора кривизны Доказана
Теорема 9. Нормализация гиперповерхности У"_1, вложенной в проективно-метрическое пространство К", п > 3, полями квазитензоров Н", Сг индуцирует риманово пространство К"_1 постоянной кривизны К тогда и только тогда, когда относительный инвариант Т"" обращается в нуль, при этом К — —1/с.
Замечание. Из (54) следует, что тензор Рнччн тва К"_1 посто-
янной кривизны пропорционален метрическому тензору а"3 с постоянным коэф-
п—2
фициентом пропорциональности: —--а"3, следовательно, пространство
К"_1 является эйнштейновым [10, с. 268].
Теорема 9 с учетом теорем 6, 7 эквивалентна следующему результату:
Теорема 10. Пространство проективной связности Р"_1<"_1, индуцируемое оснащением в смысле Э. Карта на гиперповерхности У"_1 С К", п > 3, полем гео-{ Н"г , Н" }
ее нормализация полем объекта {Н",С0г} в касательном расслоении индуцирует риманово пространство К"_1 постоянной крив изны К — —1/с.
Summary
A.V. Stulyaruv. Connections on a Hypersurface in a Projectively Metric Space.
We study intrinsic geometry of liypersurfaces embedded into a projectively metric space Kn, n > 3, and normalized in the sense of A.P. Norden and E. Cartan. We construct affine and projective connections on Vn-i induced by normalizations of the indicated types and find conditions under which the induced connections are fiat..
Key words: projectively metric space, duality, normalizations of a hypersurface. afiinely connected space, projectively connected space, space of constant curvature.
Литература
1. Норде.и А.П. Пространства аффинной связности. M.: Наука, 1976. 432 с.
2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. матем. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275 382.
3. Фиников С.П. Метод внешних форм Картапа. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. 432 с.
4. Столяров А.В. Внутренняя геометрия проективпо-метрического пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград: Калипипгр. гос. ун-т. 2001. Вып. 32. С. 94 101.
5. Столяров А.В. Двойственные проективпо-метрические пространства, определяемые регулярной гиперповерхностью // Вести. Чуваш, гос. пед. ун-та. 2009. Л' 1 (61). С. 29 36.
6. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары: Чуваш. гос. пед. уп-т, 1994. 290 с.
7. Абруков Д.А. Внутренняя геометрия поверхностей и распределений в проективпо-метрическом пространстве. Чебоксары: Чуваш, гос. пед. уп-т, 2003. 140 с.
8. Евтухиик Л.Е. Дифференциально-геометрические структуры па многообразиях // Итоги пауки и техники. Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ, 1979. Т. 9. 246 с.
9. Cartan Е. Les espaces a connexion projective // Тр. семинара по векторп. и тепзорп. анализу. 1937. Вып. 4. С. 147 159.
10. Кобаяси Ш, Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981. Т. 1. 344 с.
Поступила в редакцию 02.09.09
Столяров Алексей Васильевич доктор физико-математических паук, профессор кафедры геометрии Чувашского государственного педагогического университета, г. Чебоксары.
Е-шаП: БШуагоьА УвсЬдри. edu.ru
