Двойственные проективные связности на оснащенной в смысле Картана гиперповерхности в пространстве аффинной связности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.764.3

А. В. Христофорова

Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации, Чебоксарский филиал

Двойственные проективные связности на оснащенной в смысле Картана гиперповерхности в пространстве аффинной связности

Найдены двойственные проективные связности, индуцируемые оснащением в смысле Э. Картана регулярной гиперповерхности, заданной в пространстве аффинной связности.

Ключевые слова: пространство аффинной связности, двойственность, проективные связности, регулярная гиперповерхность.

Индексы в работе принимают следующие значения:

1,3,Ь, К,Т, 5 = 1, п; 1,3 = 0, п; /, I, к, г, s = 1, п - 1. В пространстве аффинной связности Ап п, заданном системой форм Пфаффа {в1, О!К}, подчиненных структурным уравнениям [1]

Вв = вК АвК + 2 гТв5 аОт, Б в] =вК АвК + 2 г15Тв5 аОт,

Г^Т)= 0, 0, О1 аО2 а ... Авп Ф 0,

г5т и г[5т — тензоры кручения и кривизны пространства Ап п, рассмотрим гиперповерхность Уп-1. Гиперповерхность Уп-1 с Ап пв репере первого порядка имеет уравнение [1]

© Христофорова А. В., 2014

сэ0 = 0, последовательно продолжая которое получаем поля фундаментальных геометрических объектов второго ], третьего Л/,Л^ } порядков и т. д.:

®1 = Л1С ;

+ Л%С =Л%.14. (1)

Согласно [4], система форм Пфаффа сС:

а1 „0 1 аК 0 п д/ 1 с/^К

С0 = в , С0 =--~вК , С1 = 0, С = --~°ЬвК

п +1 п + 1

определяет расширенное пространство аффинной связности Ап,п с тензором кривизны-кручения }.

Определение. По Э. Картану [6], будем говорить, что регулярная гиперповерхность Уп_1 в пространстве аффинной связности Ап п оснащена в смысле Э. Картана, если каждой

точке А е Уп_1 в соответствующем слое А* расширенного

*

пространства аффинной связности Ап п поставлена в соответствие точка Ып, Ып(А0) = Ап + У1пА1 А, не принадлежащая касательной гиперплоскости Тп_1(А).

Оснащение регулярной (то есть Л Л^-1 Ф 0) гиперповерхности Уп_1 в смысле Э. Картана равносильно ее оснащению полями квазитензора у'п и относительного инварианта [5; 6]:

_У'псИ +у1пс) +с'п = У'пкс0 , + _у°с/ = УИс0 .

Согласно [6], рассматриваемое оснащение гиперповерхности Уп-1 с Ап п индуцирует проективную связность; эта связ-

1 -

ность определяется [3] системой форм Пфаффа сС :

1 1 1 1 1 п 1 1

с0 = С, с= с - <с , с00 = с00, с =с0 (= 0) - У0„с . (2)

Формы (2) удовлетворяют структурным уравнениям Кар-тана-Лаптева [2]

^ 11 1 к 11 1 Д1 з ' Ва_=а- аю_ +—л- со ас ,

] 1 к 2 ]зг 0 0

11

Л- — тензор кривизны-кручения соответствующего про-

1

странства проективной связности Р п-1 п-1 имеет строение

11 . . п

Л0з! = ^ -у'пЛ0вг, 10 0 0

= Л0з! -УпК0)зГ,

(3)

л0 л/ 4п Лп I 0 . лп 0 \ 0 г>п Кр( = 2(Л/[з Л| Г Кп + Л ]) -КпЛУзг,

1

Л з = 2Щ,] + КЛпАД] + уупЛ![зЛ]]) + ] - у'пЛ% .

В случае вырождения пространства аффинной связности в аффинное Ап п = Ап смещение оснащающей точки Ып имеет вид

ёЫп = « +КС)Nп + (у'пкС + КС0)А, +

+ (КС-К^С) Ас,

откуда находим условие неподвижности точки Ып :

У°пк _ уУпЛп1к = 0, У'пк _ Лпзк + = 0. (4) В случае Ап,п = Ап из соотношений (3), (4) следует, что

1

если точка Ып неподвижна, то пространство Рп_хп_х является

плоским. Справедливо и обратное: если пространство проек-1

тивной связности Рп_1 п_1, индуцируемое оснащением в смысле Э. Картана гиперповерхности Уп_1 с Ап, п, является пло-

1 -

ским (то есть = 0 , см.: (3)), то из выражений (3) следует Л% К\п\г ] =0, Л% (У\п\1]+У\п\ Ц _ЛЙ УУп) =0;

откуда в силу невырожденности тензора Л^ (Л = Лп Ф 0)

получим условие неподвижности оснащающей точки Ып (4).

Теорема 1. Оснащение гиперповерхности Уп_1 с Ап п в

смысле Э. Картана индуцирует пространство проективной 1

связности Рп_1п_1, определяемое системой форм Пфаффа (2). В случае Ап п = Ап оснащающая точка Ып гиперповерхности Уп_1 с Ап неподвижна тогда и только тогда, когда 1

пространство Рп_1 п_1 является плоским.

На оснащенной в смысле Э. Картана гиперповерхности Уп_1 с Ап п с полем симметричного тензора Л1^ система п2

2 -

форм Пфаффа с-

с2 0 = с, С = С0, С = С+^ Л^пС,

с 0 = Сс 0+ГЛ% +у'я 1ь>0к, (5)

1 1 п +1 ^ п +1 )

(где Ь, = Л]Л, = (п + 1)Лп1]к -Л\Ьк)) (6) удовлетворяет структурным уравнениям Картана—Лаптева [2]:

21 2 к 2 1 1 21 з г

Вю = Ю- АС _ +—К- СО А СО , (7)

] 1 к 2 ]!1г 0 0

2 -

следовательно, система форм юС определяет второе про-

2

странство проективной связности Рп-1 п-1 с базой Уп-1.

В случае Ап п = Ап в структурных уравнениях (7) компоненты тензора кривизны-кручения соответствующего про-

2

странства проективной связности Рп-1п-1 имеют следующее строение:

] = 0, = 0,

Л] = Л] + 2

(п Ь? +Л "ЬкЬ[з К ]-

+т [ [з лп ] + -+1К [ь^з] + ьп [з Лп1]1Лпк)

2

2

2 1 и

Я 0 = я 0 + Ьк "г

п + 1

( 2 1 ^

Я] _ я1

+

2

+-~ [ [У] _\п Ь Л\Ч+ Ь Л\Ы ]]

(п + 1)2

' ]]

+

п+1

[ лп] _ ь1 [4лп] _ Ь[ лП]] \п _ ьпАУН{]

, VЛИп (ькЬфЬ] + у]пЬп]к[У]) (п +1)3

+

Покажем, что преобразование 1к форм связности по закону (5) является инволютивным. Уравнения (1) в силу выражений (2), (5) можно переписать в следующих видах:

1 111

¿Лпк]. + лп (с0+с) _ лпк1 с _ лп с = ЛI] с0,

¿Л% + Л% (с0 + с"п) _ Л1] сс _ лп с]к = Лпк]1 с0;

где

1 2 1 2

Л] =Лпт + (Л^ Л] +Лп]] Лпк К, Лпк]1 = Л ] _ —1Ь]. (7)

Компоненты объектов квазинормалей

1 ¿вг

2 ¿вГ

Ьк =Л] Лпк]1, Ьк =Лп Л"]

в силу симметрии тензора Л^, согласно (6), (7), имеют следующее строение:

1 . 2 1

Ьк = Ьк + пЛ"к]\]п ,Ьк = Ьк .

2

2

2

2

2

В силу уравнений (7), (8) тензоры

1 с1е/ 1 1

ЬЩк = (п +1) Л] — Ьк)+пЛп1}ЛпК — (Л\Л] + Л]Л^ К ,

2 ¿е/ 2 2

ЬППк = (п +1) Л] -Л\] Ьк)+пЛП]лпк — (Лп1кЛ] +Лп]кЛ1К

имеют вид

Ь!к = ЬЩк,Ь] = —Ь] • (9)

Теперь в силу соотношений (8), (9) формулы преобразования по закону (5) можно переписать в виде

2 2 2 1 1 1 п к

Со = , с0 = ®с0, сС = +-7Л» Ь1к <,

0 11 п +1

2 1

со = со +

1 1

(

\

(п + 1)

Ь + К

2 п

ип к Ь1к со •

Из последних соотношений, согласно (8), (9), очевидно, что преобразование форм по закону (5) является инволютив-

1 2

ным 1К = I— , то есть пространства Р , , и Р , , явля-

К К ' г г п—1,п—1 п—1, п—1

ются двойственными [3]. Справедлива

Теорема 2. Оснащение в смысле Э. Картана регулярной гиперповерхности Уп—1 с Ап п кроме первой проективной связности (с формами связности (2)) в случае симметрии тензора Л1, индуцирует вторую проективную связность (с формами

связности (5)), двойственную первой.

Из соотношений (5) видно, что условием совпадения связно-12

стей пространств Рп—1 п—1 и Рп—1 п—1 является обращение в нуль

тензора Ь^ . Если Ап п = Ап (а следовательно, А*п п = А*п), то в силу выражения (6) и строения тензора Дарбу [7]:

2

1

Пп п +1 п п Ь

°ук Л (]к) Л (]Ьк),

тензор Ьп^к и тензор Дарбу совпадают, то есть Щк = Оп^ . Следовательно, согласно работе [2], справедлива

Теорема 3. Необходимым и достаточным условием сов-

1

падения связностей двойственных пространств Рп_1п_1 и 2

Рп_1п_1, индуцируемых оснащением в смысле Э. Картана регулярной гиперповерхности Уп_1 с Ап, является вырождение этой гиперповерхности в гиперквадрику.

Список литературы

1. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Моск. матем. общества. 1953. Т. 2. С. 275—382.

2. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1994.

3. Столяров А. В. Двойственная геометрия нормализованного пространства аффинной связности // Вестник ЧГПУ. 2005. № 4. С. 21—27.

4. Христофорова А. В. Двойственная геометрия регулярной гиперповерхности в пространстве аффинной связности. Чебоксары, 2011.

5. Cartan E. Les espaces a connexion projective // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М., 1937. № 4. С. 147—159.

A. Khristoforova

Dual projective connections on hypersurface equipped in the sense of Cartan in space of affine connection

In the work the dual projective connections induced by equipment in the sense of Cartan of regular hypersurface were found in space of affine connection.