CC BY
16
УДК 514.756
А. В. Столяров
(Чувашский государственный педагогический университет,
Чебоксары)
АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ В ПРОЕКТИВНО-МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Изучаются некоторые вопросы геометрии двух двойственных эквиаффинных связностей, индуцируемых нормализацией регулярной гиперповерхности, погруженной в проективно-метрическое пространство Кп, п>2; при этом нормализация определена внутренним образом в третьей дифференциальной окрестности.
Ключевые слова: проективно-метрическое пространство, двойственность, нормализация, пространство аффинной связности, тензор Риччи, тензор Дарбу.
В работе индексы принимают следующие значения:
I, J, К, Ь = 0, п; 1,3, К, Ь = 1, п; г, у, к, 1,5, t = 1, п -1.
Оператор V действует по закону:
УТ" = dTa - TaС - T"а]. + Трю" .
ги г и гу и уи г ги р
1. Рассмотрим п-мерное проективное пространство Рп. Деривационные формулы проективного репера Я = {В I} записываются в виде йв I = со ¡К В к, где формы Пфаффа а>К удовлетворяют структурным уравнениям проективного пространства Рп [8]:
БюК =С АаК, сЬ = 0. (1)
Известно [4], что пространством К п с проективной метрикой называется проективное пространство Рп, в котором зада-
на неподвижная гиперквадрика Qn_1 (абсолют), уравнение которой в репере Я записывается в виде
ёж*'хК = ° ёш = ёш• (2)
Согласно работе [3], пространство К п ниже будем называть проективно-метрическим. Условием неподвижности гиперквадрики (2) является [3] выполнение дифференциальных уравнений
йёш ~ ёк^К ~ ёьКа! = вёш, °в = в Л во°. (3) Отметим, что фундаментальной группой пространства К п является стационарная подгруппа абсолюта Qn_1 •
Доказано [6], что в предположении ё°° ^ ° (последнее равносильно тому, что В ° £ Qn_1) за счет нормировки коэффициентов ёк и вершин репера Я уравнение (2) абсолюта Qn_1 и условие (3) его неподвижности можно записать соответственно в виде:
ажх1хК + - (ё'° х1 + сх0 )2 = 0; (4)
dlK
c (5)
L 0 L
c
L L
aL&K-а LK®I
dgl 0 - gL0®
gl 0 gK 0 • a[ IK ]
c
= 0, c = g00 = const Ф 0; при этом
c ' ' форма а>0 становится главной:
gL0 L ¡г\
®0 =--®0 • (6)
c
2. В проективно-метрическом пространстве К n рассмотрим гиперповерхность Vn_i, n > 3, текущая точка которой не принадлежит абсолюту Qn_1. В репере R первого порядка
(В0 ёУв-1, вершины Вг репера принадлежат касательной гиперплоскости Тп-1(В 0) к гиперповерхности в ее текущей точке В0) дифференциальное уравнение Уи-1 имеет вид [3]
< = 0. (7)
Трехкратное продолжение уравнения (7) с использованием (1), (6) приводит к следующим дифференциальным уравнениям:
< = Л>0, А^ ] = 0; (8)
уА =ЛХ, А м = 1А ^ (9)
улу-Л"(1]А"к)Х„ + лпк(1 ®0) =к]к<,= 1 л;^; (10)
поля геометрических объектов {Л^ }, (Л^, Лп } относятся соответственно ко 2-й и 3-й дифференциальным окрестностям точки В 0 е Уп-1.
Предположим, что гиперповерхность Уп-1 с К п является
^ . йвП А п I /\
регулярной, то есть Л = Л Л Ф 0; следовательно, существует взаимный тензор Л^ второго порядка:
Лпл л* = */, УА = -Акп Ап ЛП^0, (11)
2
й 1пЛ + (п + 1)< = Акак0, Ак =ЛПл;^ + -ёк0. (12)
с
Продолжая уравнение (12), имеем
УАг - (п + 1)АХ = , V] = 1 А ёк]0 ,
УАу + А^ -лпАуп - (п + 1)(лпк1уп +лпуп )= А, (13)
ААук] = СС АУёк]0.
3. Рассмотрим новую систему из (п +1)2 форм Пфаффа а>к :
тт' -^п ,, п п —0 „0 ё),, я
о о =®0, а>0 = ©0 = 0, ®0 = ©0 —I---1®0,
^ п +1 с )
О =< — М+г — —)©0© =© +{А1кА"* — , (14)
^п +1 с ) ^ п + 1)
— п \п к — 0 дп к —г к'к 0 —0 0
©г = —АгkО0, ©г = Агк°п , ©п = —Ап°к , ©п = ©п •
Согласно соотношениям (1, 52, 6, 8—11, 13), формы системы (14) удовлетворяют структурным уравнениям проективного пространства Рп , то есть
Бо-К =О7ь Л ©К, © = 0, (15)
причем они являются формами инфинитезимального переме-
%К }: ^К = °жк =
щения тангенциального репера {^к}: й^к =©¥%т, где
^0 = 0В1 " Вп—1 ], = пВ1 -ВП—1 ],
1 п—1 (16)
= 1Ак [В 0 В1 •••В к—1В п В к+1 •••В п—1].
л/Л к=1
Согласно соотношениям (8, 14) имеем
©п =А1©к, (17)
где
А =—АПУ • (18)
Дифференциальные уравнения (9) в силу (14, 18) можно переписать в виде
+АП© —Акок —К© =АП© ,
где
А!. =А1к — АП М
с п +1
Ак = АПф —АП I ёк0 + |• (19)
С использованием соотношений (6, 7, 14) получим
—0 ёк 0 — к
Ж0 =--Ж , (20)
с
где
с
ёк 0 =-г А к . (21)
п + 1
Аналогично с использованием равенств (18, 19, 21) находим,
что функции А к = а;; а;, + 2 ё„ (см. (12)) имеют строение
с
-г п +1
а к =-ёк 0. (22)
с
Доказано [7], что: 1) преобразование У :юЖ ^Ж-К структурных форм по закону (14) является инволютивным, то есть У = У-1; 2) регулярная гиперповерхность Уп_1, погруженная в проективно-метрическое пространство К п , п > 3 , индуцирует:
а) в 3-й дифференциальной окрестности проективное пространство Рп, двойственное [5] К п относительно инволютив-ного преобразования структурных форм по закону (14), причем пространство Рп в 4-й дифференциальной окрестности имеет внутренним образом определяемый тангенциальный абсолют Qn-1, двойственный Qn-1; следовательно, регулярная гиперповерхность Уп-1 с К п в 4-й дифференциальной окрестности внутренним образом индуцирует проективно-метрическое пространство К п, двойственное К п ;
б) во 2-й дифференциальной окрестности подмногообразие Уп-1 с К п , двойственное исходной гиперповерхности Уп-1; его дифференциальное уравнение в тангенциальном репере (16) имеет вид Ж0п = 0 , причем тангенциальная гиперповерхность Уп-г представляет собой регулярное (п—1)-параметрическое семейство касательных гиперплоскостей к Уп-1.
4. Уравнения (5) в силу (7, 8) примут вид:
Va, =-1 {а ik S j 0 + ajkgt0 к + am®nj + anX,
Van - ^k^ = -1 (kSn0 + ankSi0 К + ann< , (23) c
2
Va — 2a ,ak =— a O®0,
nn nk n nk n0 0
c
7 k 0 k n
dSi0 — Sk0®i — С®г = aik®0 + Sn0®i ,
i k n 0 k
dSn0 — Sk0®n — Sn0®n — C®n = ank^0 . Следуя Г. Ф. Лаптеву [3], в работе [1] на регулярной гиперповерхности Vn_i с К n в 4-й дифференциальной окрестности найдено поле соприкасающихся гиперквадрик Q2—1 :
A",xixj + 2xixn + Sn ( xn )2 = 2 x0 xn, (24)
J n +1
где
A г =A г + (n + Щ , Gi =— 1 Si0,
c
VAi + (n + 1)(®г0 — A\œsn ) = A,œj, (25)
^n = -21- Asn îa„ — ^ + Afit
n2 — 1 ^ n + 1
Известно [1], что необходимым и достаточным условием вырождения гиперповерхности Vn_i с К n в гиперквадрику (24) является обращение в нуль симметричного тензора Дарбу
D;k = (n + 1)(Aj — G,А,к — G,Anik)— Ai,A^. (26)
5. Пусть гиперповерхность Vn-1 с К n нормализована [4] полями квазитензоров соответственно третьего G'n и первого Gi порядков,где
G'n =--Аj, VG'n +K = G'nW, VG. + W = G.W; (27)
n +1
в силу (11, 131) и (234) имеют место соотношения Gfflk = n1+1 A(AniftА( - А^), Glk = -1 [alk + gMAnlk). (28)
Нетрудно заметить, что нормализация гиперповерхности Vn-1 с Кn полями квазитензоров G'n, Gl является взаимной относительно поля соприкасающихся гиперквадрик (24).
1. 1.
Возьмем систему форм Пфаффа {в1,вв} , где
1 1
в1 = W ,в;. = wj - GW + GW -Sj (W -GW); (29)
эта система в силу (1, 6, 8, 27) удовлетворяет структурным уравнениям Картана — Лаптева [2; 3]
1 ■ 1 к 1 ■ 1 ■ 1 к 1■ 11 ■ 1 1, У"» 7 У"» ¿Г У"» 7 Т-\ у-> Г y-.iT у-> Г А 7 у-» С у-> I
2
De1 =вк лвгк, Dej =вк лвгк + -j es л в', (30)
где
j =-2
Gk„Gn
Aj[s At]k + Ак (л-Рп А p Akl[s At]j А k[s At ] j )_
n +1
- GnGk A"[sS] + 1 (aj[sSt] + g n0 A"[S)
(31)
Следовательно, нормализация (ОП , Gг■) гиперповерхности Уп_1
1
с К п индуцирует аффинную связность V без кручения; ее тензор кривизны имеет строение (31) Так как 2 Г[ ^ ] = — г] = 0,
11 ■ 1
где ] = г^ — тензор Риччи, то связность V является экви-аффинной [4] Таким образом, справедлива
о
Теорема 1. Нормализация регулярной гиперповерхности Уп-1 с К п, п > 3, определяемая внутренним образом в 3-й дифференциальной окрестности полями квазитензоров Огп и О' (см. (25, 27)), является взаимной относительно поля соприкасающихся гиперквадрик (24) и индуцирует эквиаффин-1
ную связность V со структурными формами (29) (эквиаф-финная связность первого рода).
6. Согласно монографии [5], нормализация одной из регулярных гиперповерхностей Уп-1 с К п и Уп-1 с Кп равносильна нормализации другой; при этом компоненты полей оснащающих объектов {О'п, О'}, Оп, О'} связаны соотношениями
оп = -А'пО], О =АГсп; (32)
эти функции в силу (9, 11, 14) удовлетворяют дифференциальным уравнениям вида (27):
- О'®" + О®) + а' = ,
п п п п ] п п] и'
- + ®{г = О]®0 ;
О] =Акп а- - ОкО] 1 +1 gn0Sj, (34)
с ) с
О = °п
А; 1
Апгк-+- - А]--
п +1
/
По аналогии с (29) возьмем систему форм Пфаффа
2 2 О' О]}, где
2 2 _ _ / _ \
О' =®с,О- =®) -оп®п + Оа-3]-Окш]). (35)
Согласно (15, 33), система форм (35) удовлетворяет структурным уравнениям пространства аффинной связности без кручения, ибо
222 2 2 2 1 2 2 2 ВО' =ОклОк, ПО' =ОклОк + 2г), о'л О ; (36)
2 . 2 тензор кривизны I аффинной связности V имеет строение
2
Г = 2
V
ОкОкпЛп}[ Д + 1 Л"; + ;)- Окп Л^Д
1 -А, А[ .,8' +А ,т 8
,1 ,1 I [] л; ;] п +11 п +1
(37)
2
В силу (9, 13г, 37) справедливо = 0 , то есть тензор Рич-
2 2 чи г,; связности V симметричен; следовательно, аффинная
2
связность V является эквиаффинной.
1 2
Из строений (29, 35) форм вв и вв с использованием (14, 32) находим
в) = в]+опж -Ож0 +А"(л( -скЖ)+
+ Ап]кОкж0 +8'вЖ.
(38)
Теперь дифференциальные уравнения (9) с учетом (29, 38) запишутся в виде
йАпц -Л"к вк-л; вк =-л;(( + окпж); (39)
1 2
это говорит о том, что аффинные связности V и V сопряжены [4] относительно поля асимптотического тензора Л" .
0
Аффинная связность V , средняя [4] по отношению к связ-
1 2
ностям V и V, определяется системой структурных форм
( 1 2 М
. Для средней связности из уравнений
I . 0 . 1 К 2
к в I = 2
в1] + в]
(39) имеем
1
йлпц - А"1к в к - л; = -лп« + о„Чп). (40)
0
Последние уравнения говорят о том, что средняя аффинная связность является вейлевой [4] с полем метрического тензора
0 1 Л. . Отметим, что средняя связность V , как и связности V и
2
V , является эквиаффинной; последнее подтверждается и тем, что дополнительная форма 0 (см. (40)) в силу (1, 7, 34) есть полный дифференциал некоторой функции: Б 0 = 0. Следова-
0
тельно, средняя аффинная связность V является римановой с полем метрического тензора Л. .
Таким образом, справедливы следующие предложения.
Теорема 2. Нормализация регулярной гиперповерхности Уп-1 с К п, п > 3 , внутренним образом определяемая в 3-й дифференциальной окрестности полями квазитензоров Огп и О1,
1
кроме эквиаффинной связности первого рода V индуцирует эк-
2
виаффинную связность второго рода V, двойственную первой.
1
Теорема 3. Эквиаффинные связности первого V и второ-
2
го V родов, индуцируемые на гиперповерхности Уп-1 в проек-тивно-метрическом пространстве К п, нормализованной полями квазитензоров О'п и О1, являются сопряженными относительно поля асимптотического тензора А). .
0
Теорема 4. Аффинная связность V, средняя по отноше-
12
нию к эквиаффинным связностям первого V и второго V родов, является римановой с полем метрического тензора Лп .
1 2
Теорема 5. Двойственные аффинные связности V и V, индуцируемые нормализацией регулярной гиперповерхности Уп-1 с К п, п > 3 полями квазитензоров О'п, О', совпадают тогда и только тогда, когда гиперповерхность вырождается в гиперквадрику (24).
Последнее предложение непосредственно следует из соот-
2 ' 1 ' 1 к ношений ОО = ОО +--А)пВк],,ю1, которые получаются из (38) с
п + 1
использованием (26) строения тензора Дарбу гиперповерхности.
Список литературы
1. Абруков Д.А. Внутренняя геометрия поверхностей и распределений в проективно-метрическом пространстве. Чебоксары, 2003.
2. Евтушик Л. Е. и др. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М., 1979. Т. 9.
3. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Моск. матем. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.
4. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.
5. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1994.
6. Столяров А. В. Внутренняя геометрия проективно-метрического пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 32. Калининград, 2001. С. 94—101.
7. Столяров А . В. Двойственные проективно-метрические пространства, определяемые регулярной гиперповерхностью // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. 2009. № 1 (61). С. 29—36.
8. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана. М.; Л., 1948.
A. Stolyarov
AFFINE CONNECTIONS ON HYPERSURFACE IN A PROJECTIVE-METRIC SPACE
We study questions of geometry of two dual equiaffine connections induced by the normalization of regular hypersurface immersed in a projective-metric space Kn, n > 3; the normalization defined internally in a differential neighborhood of the third order.
