CC BY
14
УДК 514.756
ДВОЙСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ ТКАНЕЙ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГИПЕРПЛОСКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ПРОЕКТИВНО-МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
DUAL GEOMETRY OF MATERIALS ON DISTRIBUTION OF HYPERPLANE ELEMENTS IN PROJECTIVE-METRIC SPACE
Н. В. Кондратьева
N. V. Kondratyeva
ГОУВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева», г. Чебоксары
Аннотация. В работе для (n—1)-ткани, заданной на регулярном распределении гиперпло-
скостных элементов М в проективно-метрическом пространстве K n , указаны пути построения ее двойственной теории.
Abstract. In this paper for (n-1)-material, defined by the regular distribution of hyperplane elements М in projective-metric space K n , the ways for the construction of its dual theory are given.
Ключевые слова: проективно-метрическое пространство, нормализация, распределение гиперплоскостных элементов, ткань, псевдофокус, псевдофокальная гиперплоскость, двойственность.
Keywords: projective-metric space, normalization, distribution of hyperplane elements, material, pseudo-focus, pseudo-focal hyperplane, duality.
Актуальность исследуемой проблемы. Двойственная геометрия тканей на него-лономных подмногообразиях, погруженных в проективно-метрическое пространство, ранее не изучалась.
Материал и методика исследований. Результаты работы получены с помощью инвариантных методов дифференциально-геометрических исследований, а именно методом внешних форм Э. Картана [11], методом нормализации А. П. Нордена [6] и методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [4].
Результаты исследований и их обсуждение. Полученные результаты являются новыми, достоверными и актуальными; они докладывались на заседаниях научноисследовательских семинаров по геометрии.
Индексы на протяжении всей работы принимают следующие значения:
Г, K~, L = 0 , n ; I , K , L = 1, n ; i, j , k , l, s , t = 1, n - 1 .
1. Рассмотрим n-мерное проективное пространство P n ; деривационные формулы
проективного репера R = \AI } и уравнения структуры проективного пространства имеют соответственно вид [11]:
dA y = a K A — , D wf = wL л wK , wL = q . (1)
Проективно-метрическим пространством К n [6] называется проективное пространство Pn , в котором задана неподвижная гиперквадрика Q n-1 (абсолют):
giKx‘xK = ^ g[iK] = q; (2)
условие его неподвижности определяется уравнениями [4]:
dgIK - gIL WK - gLK WI = © • gIK , D © = © л © 0 . (3)
Считая g qq ф q (это равносильно тому, что A q £ Q n -1), за счет нормировки коэффициентов g IK гиперквадрики и вершин репера R уравнение (2) абсолюта Q n -1 и условия его неподвижности (3) можно записать [9] соответственно в виде
aKxIxK + ^( gj q x1 + cx0)2 = 0, (4)
c
da IK - aiLaK - aLK WI = (aiLgK 0 + aKLgI 0)w0, dg 10 - gL 0W I - cWI = aILW0,(5)
c
где
alк = gK 1О к О , alк = an, c = gОО = const ^ О ;
при этом форма « О становится главной:
О 1 L
«О = g О Ь°О . (6)
c
Структурные уравнения проективно-метрического пространства к n в силу (1), (6) имеют следующий вид:
пО L О г. I О I , L I L 1 L
D« О = «О л « L , D« к = «к л «О + «к л « L , « L = — gL О« О ,
c
1 1 (7)
DюG = gL« л «О + (оО) л «, Dа!G = — gLл « + «I л ю^.
c c
В проективно-метрическом пространстве к n рассмотрим распределение М гиперплоскостных элементов I рода [5], [7]; в репере нулевого порядка дифференциальные
уравнения такого распределения имеют вид [5]:
« =Кк«к . (8)
Продолжение уравнений (8) приводит к следующим дифференциальным уравнениям для компонент поля фундаментальных объектов первого порядка {Лпк } распределения М :
d^ik -Лш«і - л"a«k + Kk«l = KkL«0 , (9)
d л Пп -л >/ - «О -Л nik « =Л nnL« , (10)
где
1 2
лn — лn лn + _!_ Лn о Лп -Лп =Лп Лп + — Лп о ivi[ kt ]— 1 '■in1'- [ kt К с i[ t ]0 , ikn ink ~ in kn 1 vi[ k&n ]0 .
Из уравнений (9) видно, что система функций {Лnk } образует тензор первого порядка (в общем случае несимметричный).
Предположим, что распределение М гиперплоскостных элементов в проективнометрическом пространстве K n является регулярным (то есть Л — |Л”■ | ф 0 ); введем в рассмотрение обращенный тензор Л lkn :
Л ; Л”к] —Л " Л njk = 5 j , (11)
dл”„ + Лкак + Aik®/ - л;а; — -Л* лпл;а. wqk . (12)
Функция Л является относительным инвариантом первого порядка:
2
d ln Л + (n + 1)wn = Л K а0 , Л K = Л “n ЛijK + с0 0 K . (13)
2. Возьмем систему из (n + 1 )2 форм Пфаффа w / [1]:
ai — а’ + Л" Л{wi, W° — а? -1 - 0kq WK, W" — а
,0~UJ0^1 0>ш0 ~ш0 \ 1 “'О? ^0 _ “'О -
7 1 n +1 ~ 1
— n_ <n j —n _ n 1 Лк Ок0 К к —0
« = -Л „ -1-----------«л , ««
Л*Л> -Sk^
J n + 1
она в силу (5), (7), (9), (12), (13) удовлетворяет уравнениям структуры проективнометрического пространства, аналогичным (7), следовательно, определяет новое проективно-метрическое пространство к п .
Преобразование 1: ^ ® / структурных форм по закону (14) является инволю-
тивным, т. е. I = I ~1 ; в силу этого пространства к п и к п являются двойственными [7]; при этом формы ® / служат формами инфинитезимального перемещения тангенциального репера ^§1 }: d^J = , где
1 я-1 г , (15)
1 х—> * п
= тт^£ ЛА А-А_1 АА + г.. Ап_1 ].
Дифференциальные уравнения геометрического образа М , двойственного данному распределению М гиперплоскостных элементов в силу (8), (14), имеют вид
К =Кк К , (16)
где Л] =-л;, а,, = л;л 1 лт .
Уравнение тангенциальной гиперквадрики (2 , -1 в двойственном пространстве к п запишется в виде [1]
а1кХ1хк + о х1 + сх0)2 = 0, (17)
с
где х1 - координаты гиперплоскостей, образующих абсолют (17), в тангенциальном репере (15). Справедлива теорема 1.
Теорема 1. Регулярное распределение М гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве к п индуцирует:
1) в третьей дифференциальной окрестности проективно-метрическое пространство к п , двойственное к п относительно инволютивного преобразования структурных форм по закону (14); при этом уравнение абсолюта Qn -1 пространства кп относительно тангенциального репера (15) имеет вид (17);
2) в первой дифференциальной окрестности - многообразие М , двойственное исходному М ; его дифференциальные уравнения в тангенциальном репере (15) имеют вид (16).
Согласно [5] оснащение в смысле А. П. Нордена [6] распределения М с кп ги-перплоскостных элементов равносильно заданию на М двух полей квазитензоров у П , -г°.
^у‘п -уП®П +укпа1 + Кп = у'п£а0 , ^у1° -укК1 + = у^ко . (18)
Пусть регулярное распределение М оснащено в смысле А. П. Нордена; можно проверить, что система форм 7 }. где
«0 = К АК , «] = к]-у'К+в] (^ К +еу°)+у>0 - (у1,,-л\/у„ +*» К ,(19)
удовлетворяет структурным уравнениям Картана-Лаптева [3], [4]:
^« , = «, л «1с + 2 г]ят К0 л ®о , г0&т = 0 ; (20)
следовательно, система форм (19) определяет пространство аффинной связности А п, п —1 без кручения.
Доказано [8], что нормализация одного из регулярных распределений М с к, и М е к, равносильна нормализации другого; при этом оснащающие объекты (у,,у0) , (у П ,у г°) связаны соотношениями
К = -ЛгкпУ°к,У,° =ЛпыУкп . (21)
В силу соотношений (9), (11), (12), (14), (18), (21) можно убедиться, что функции (21) удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:
й у, — упк; + кпК + к, = у'„к0 , йУ - у П°К + К = у,°к0
п п п п П п пЬ 0 ’ г П г г гЬ 0?
К = — л гп где в частности уп, ~ ^п
Следовательно, система форм «] } вида (19), где входящие в них формы и функции пишутся с черточкой сверху с последующей заменой их по соответствующим формулам, определяет второе пространство аффинной связности А , — 1 без кручения; пространства Ап, п — 1 и Ап, п — 1 двойственны относительно инволютивного преобразования
I.
Из уравнений
йЛ"] — Л,п« 7 -Л"п]«1п = —ЛП7 (кП + у Кп + у кК0 + 01К0 ) + а0 (у )к0 следует, что связ-
ности двойственных пространств Ап, п — 1 и , — 1 обобщенно сопряжены [6] относительно тензора Л"] вдоль любой кривой, принадлежащей [5] распределению М с к п .
3. Пусть на распределении М гиперплоскостных элементов в проективнометрическом пространстве к п задано п — 1 линейно независимых гладких полей направлений А 0в г , где = аг А,,1 аг \ф 0 ; линии, огибающие эти направления, принадлежат распределению М и образуют на нем (п 1) -ткань ^ п — 1 . В репере, отнесенном к ткани ^ п — 1 ,уравнения [2]
= ак К , г * ], (22) вместе с (8) являются ее дифференциальными уравнениями. Из соотношений (14), (22) следует К = а/кю0к, г * ] , что вместе с (16) представляют собой уравнения «тангенциальной (п — 1) -ткани» ^,—1 с м , двойственной исходной ^ п—1 с М .
Составим охваты:
Ч = (п — 1)вп — Л]Л;, Щ + Ь](к] — *п) = 0, V*; = ] = в , (23)
Ь, = г г (а] - в] Ап )Л'П, 5Ь„п — ь; (< — ) + Ь]п'„ = 0 . (24)
г ]
Таким образом, согласно (23), (24) на регулярном распределении М с кп гиперплоскостных элементов внутренним образом определяются ' - 1 инвариантных полей
квазитензоров q ' :
q'n d= ~‘ЬП, Sq' + q'n (я‘ - яі ) + яі = 0. (25)
Таким образом, доказана
Теорема 2. Поля n - 1 квазитензоров q'„ в первой дифференциальной окрестности элемента распределения М в к п и ткани ^ п-і с М определяют поле инвари-
антных нормалей первого рода на многообразии М .
Замечание. В случае ткани ^ п-і с М сопряженных линий (Л' = 0, ‘ * j ) в охватах нормали q І (см. (23), (24)) участвуют лишь компоненты подобъекта {fiti , Л "і |; следовательно, в этом случае поле нормалей q І имеет место и на гиперповерхности Vn-і с Kn и представляет собой поле гармонических прямых сети [10]:
q'n = —Ц-IaliЛІ . (2б)
п - 2 I * ‘
Зная закон (23), (24) охвата нормали первого рода q П распределения М с Kn ,
можно строить охват квазитензора q І двойственного образа М , по виду аналогичный охвату (23), (24), после чего по закону (21) найти соответствующую нормаль второго рода q І . В случае сопряженной ткани ^ п-і с М имеем
0 1 J
q‘ =- 1 aj . (27)
п — 2 і * г
Следовательно, справедливо предложение:
Теорема 3. Для сопряженной ткани ^ п-і с М поле нормалей q, относится к первой дифференциальной окрестности элемента распределения М и совпадает с полем ее гармонических гиперпрямых (т. е. с полем гармонических плоскостей сети в
смысле В. Т. Базылева [2]); при этом двойственные поля квазитензоров q І и q, определяют инвариантную нормализацию многообразия М .
Пусть на распределении М гиперплоскостных элементов в проективнометрическом пространстве к п задано поле инвариантных нормалей первого рода, определяемое полем квазитензора v І . Точки F/ (i * J) на касательных A о Ai к линиям ткани ^ п-і с М с к п , определяемые по формуле
FiJ = (Л"jvІ - aj )A0 + A‘, ‘ * j , (2S)
являются инвариантными. В случае поверхности Vт с Рп эти точки В. Т. Базылевым
названы [2] псевдофокусами касательных к линиям сети ^ с Vт ; в работе [2] дано и геометрическое определение этих образов, эквивалентное их аналитическому определению (28). В случае ткани ^ п—1 с М с кп за точками Fi1 (г * ]) мы сохраним аналогичное название.
Приведем построение образов Л / , двойственных Fi1 и определяемых тканью
^ п—1 с М с к, . Если на распределении М с к п задано поле нормалей второго рода,
определяемое полем квазитензора у 0 , то для тангенциальной ткани ^,—1 с М с кп
каждую из п — 2 инвариантных гиперплоскостей Л / пучка £ 0 п , определяемую по формуле
л {=(Л;— )£ 0 +£ г, г * ], (29)
назовем псевдофокальной.
Очевидно, что для ткани ^ п—1 с М с к п , сопряженной относительно поля тензора
Лпг; , (Л"г, = 0,г * ] ) псевдофокусы FiJ и псевдофокальные гиперплоскости Л / не зависят от выбора полей нормалей первого и второго родов; они определяются формулами:
FiJ = — а7А0 + Аг, Л1 = Л]п Л£0 + , г * ]■ (30)
Условие параллельного перенесения направления касательной А 0 Аг к г-й линии
ткани ^ п—1 с М вдоль ее линии к ; в аффинной связности пространства А п,, — 1 или
Ап, п — 1 , индуцируемого нормализацией { у", у г0} регулярного распределения М гиперплоскостных элементов, имеет соответственно вид [8]:
ак — у "К; + у °вП = 0, г * ] , (31)
ап+л ; К;+вп] у п к— у ,0 л ; лп=°г *,. (32)
Если соотношения (31) или (32) справедливы при ; = г для любого г (для любых г * п ), то ткань ^ п—1 с М с к п называется геодезической (чебышевской) соответственно первого или второго рода относительно данной нормализации распределения М .
Для ткани ^ п—1 с М с к п , сопряженной относительно поля тензора Л п; , условием ее геодезичности первого или второго рода соответственно является:
1 - - 1 л п - 0, * - 1 ,
(33)
а1 - - ПЛ\ - 0, * - 1
а1 + - * - 0, * - у.
Аналогично рассматриваемая ткань является чебышевской первого или второго рода тогда и только тогда, когда справедливы соответственно соотношения:
аи + в/ у г0 = 0, г * ], 1,
и ^ и I .
_ _ (34)
11
ЛПал - - П - 0, * - 1, 1.
Справедливы следующие утверждения:
Теорема 4. Сопряженная ткань ^ п — 1 на регулярном распределении М гиперп-лоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве к п является тканью с совпавшими псевдофокусами Fiп (псевдофокальными гиперплоскостями Л г ) тогда и только тогда, когда относительно поля гармонических гиперпрямых q ° (гармонических прямых q1n ) данная ткань является геодезической второго (первого) рода.
Замечание 1. Согласно (34) к классу сетей ^ п — 1 с совпавшими псевдофокусами (псевдофокальными гиперплоскостями) принадлежит сопряженная чебышевская сеть первого (второго) рода.
Замечание 2. Из соотношений (26), (27), (34) следует, что при п = 3 всякая сопряженная относительно поля тензора Л п; 2-ткань на распределении М в к п , нормализованном полями ее гармонических нормалей q 3 и является чебышевской первого и второго рода одновременно; в силу замечания 1 и теоремы 4 данная 2-ткань является также геодезической первого и второго рода.
Резюме. В данной работе показано, что на нормализованном в смысле А. П. Нордена распределении М гиперплоскостных элементов в проективно-
метрическом пространстве к п индуцируются две двойственные аффинные связности без кручения, найдены некоторые приложения этих связностей к изучению внутренней геометрии (п — 1) -тканей на М .
ЛИТЕРАТУРА
1. Абруков, Д. А. Внутренняя геометрия поверхностей и распределений в проективно-метрическом пространстве / Д. А. Абруков. - Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ун-т, 2003. - 140 с.
2. Базылев, В. Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства / В. Т. Базылев // Известия вузов. Математика. - 1966. - № 2. - С. 9-19.
3. Евтушик, Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик, Ю. Г. Лумисте, Н. М. Остиану, А. П. Широков // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. - М. : ВИНИТИ, 1979. - Т. 9. - 246 с.
4. Лаптев, Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды Московского математического общества. - 1953. - Т. 2. - С. 275-382.
5. Лаптев, Г. Ф. Распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности / Г. Ф. Лаптев, Н. М. Остиану // Труды Геометрического семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. -1971. - Т. 3. - С. 49-94.
6. Норден, А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М. : Наука, 1976. - 432 с.
7. Остиану, Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / Н. М. Остиа-ну // Труды Геометрического семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. - 1973. - Т. 4. - С. 71-120.
8. Столяров, А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В. Столяров. - Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ун-т, 1994. - 290 с.
9. Столяров, А. В. Внутренняя геометрия проективно-метрического пространства / А. В. Столяров // Диф. геометрия многообразий фигур. - Калининград : Калининградский ун-т, 2001. - Вып. 32. - С. 94-101.
10. Столяров, А. В. О двойственной геометрии сетей и полярно сопряженных конфигурациях на гиперповерхности / А. В. Столяров // Известия вузов. Математика. - 1972. - № 4. - С. 109-119.
11. Фиников, С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. -М. ; Л. : ГИТТЛ, 1948. - 432 с.
