CC BY
12
УДК 514.756
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ ПРОЕКТИВНО-МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА К ИЗУЧЕНИЮ ПЛОСКИХ СЕТЕЙ
SOME APPLICATIONS OF GEOMETRY OF PROJECTIVE-METRIC SPACE TO THE STUDY OF FLAT NETS
Н. В. Кондратьева
N. V. Kondratyeva
ГОУВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева», г. Чебоксары
Аннотация. В работе найдены приложения геометрии нормализованного проективно-метрического пространства K n к изучению некоторых классов плоских сетей 2 n С K n .
Abstract. The applications of a normalized geometry of projective-metric space Kn to the study of some classes of flat nets 2 n С Kn have been found in this work.
Ключевые слова: проективно-метрическое пространство, абсолют, нормализация, двойственность, связность, сеть, псевдофокус, голономность.
Keywords: projective-metric space, absolute, normalization, duality, connection, net, pseudo-focus, holonomy.
Актуальность исследуемой проблемы. Внутренняя геометрия плоских многомерных сетей в проективно-метрическом пространстве ранее геометрами практически не изучалась, исключение составляют некоторые работы Е. Голубевой.
Материал и методика исследований. Результаты работы получены с использованием инвариантных методов дифференциально-геометрических исследований [4], [5], [9].
Результаты исследований и их обсуждение. Полученные результаты являются новыми, достоверными и актуальными; они докладывались на II Всероссийской научной конференции «Научное творчество XXI века» (г. Красноярск). Работа была признана лучшей в секции «Алгебра, геометрия и математический анализ».
Индексы принимают следующие значения:
i, k , l, s , t = 1, n ; i , l , k = 0, n
1. Известно [5], что пространством с проективной метрикой или проективно-метрическим пространством K n называется проективное пространство P n , в котором задана неподвижная гиперквадрика n -1 (абсолют):
gi¥x7xk = ^ gik = . (1)
Считая ёоо * 0 (это равносильно тому, что ^о & Qn 1 ), за счет нормировки коэффициентов 8 тг гиперквадрики и вершин репера R уравнение (1) абсолюта Q п — 1 и условия его неподвижности можно записать [7] соответственно в виде:
а,кХхк + 1 (ёг о хг + сх0 } = 0, (2)
Лагк — аП®1 — а1к®1г = — - (аг1ёк 0 + ак1ё, 0 К , (3)
с
¿ёг 0 — ё10— С^г = аи®0 , (4)
агк = ёгк — ёг°ёк0 , агк = акг, С = ё00 = СОП^ * 0 . С
Предположим, что в проективно-метрическом пространстве п задано поле ко-
где
вектора У г, У 0 = 1 :
Луг — У1®1 + ^ =Угк®к0 ; (5)
(8)
геометрически последнее означает, что проективно-метрическое пространство К п нормализовано полем гиперплоскостей П п—1 : Хгх' — х0 = 0. Отметим, что в силу (4), (5) система функций
1
Сг = Уг +~ ёг0 (6)
С
образует тензор:
кк
¿Сг — Ск®г = С*®0, (7)
где
1
Сгк = Угк +~ агк .
С
Продолжая уравнения (5), с учетом (6) имеем
1 5 5 0 !
Лук — Уг^к — Ук®г + Ск= УШ®0 . (9)
Система функций
Ьгк = Угк —УгСк , (10)
согласно уравнениям (5), (7), (9) образует тензор:
ЛЬгк — Ь11®к — Ь!к ®! = Ьгк! ®0 . (11)
Будем считать, что тензор ь к невырожденный: |ьл | * 0 . Следовательно, в случае
невырожденной нормализации пространства К п существует поле взаимного тензора
1 гк «
Ь , компоненты которого определяются из соотношений
ЬаЬш = ЬЬ = 8! . (12)
Согласно [2] при невырожденной нормализации проективно-метрического пространства к п полем квазитензора у i индуцируются два двойственных [8] пространства аффинной связности без кручения Лп, п и Лп, п , которые определяются системами форм Пфаффа р 0,9к } и А0г, в к } соответственно, где
9 =4 +5^4 , (13)
V —I, сг^__I
99 =рк +5'кср +уА;
ш0 =р( л9, шк =9 л$ + 2 КА 4,
ш0 =4 лв;, щ =99 лв; +2 КА 4 • Тензоры кривизны пространств Лп,п и Лп,п соответственно имеют строения:
(14)
К* = 2Ьк[55] - 2Ь{5, К* = 2К5 - 2Ь{5,
(15)
где
ь,к = К, с1 = с1 +
Л,
п + 1
2
ЛI = Бг - 2(п + 1>г, Б, = ЬШЬШ + -£10,
рк = рк + Ь"Лмр0 , вк = вк +
Ьг'Лм + 5к
ЛI ^ I р
п +1
о,
Лгк1 = Ьгк1 -УгЬ1к - У кЬг1 -
п + 1
Ь1кВ1 •
(16)
(17)
(18) (19)
Уравнения (11) тензора Ь гк в силу соотношений (13), (16)-(19) можно записать в
виде
м * - ь; - Ь; = о
(20)
что выражает собой обобщенную сопряженность связностей пространств
относительно поля тензора Ь гк .
Замыкая уравнения (20), с использованием (12), (14) имеем
п , п и
Л
К [ й ] + К [ й ] = 0
(21)
где Rst = К^к , Rst = К^к - тензоры Риччи связностей V и V пространств
п ,п и
Л
Таким образом, справедлива
1
Теорема 1. Внутренние геометрии пространств аффинной связности An,n и A n, n , индуцируемых невырожденной нормализацией проективно-метрического пространства n , могут быть эквиаффинными лишь одновременно.
Предположим, что нормализация проективно-метрического пространства - полярная (ci = 0 ), тогда с использованием (6) - (8), (10) имеем
1
bik =--aik . (22) c
Соотношения (22) говорят о том, что полярная нормализация пространства n является гармонической (b[ ik ] = 0 ).
Можно доказать, что имеет место
Теорема 2. Связности V и V двойственных пространств An,n и A n, n совпадают тогда и только тогда, когда невырожденная нормализация пространства K n - полярная.
Уравнения (3) с использованием (13 1 ) и ck = 0 (см. (6)) запишутся в виде
daik - ашв! - аав1к = 0 . (23)
Таким образом, доказана
Теорема 3. Связность пространства A n,n , индуцируемого невырожденной полярной нормализацией проективно-метрического пространства K n , является вейлевой с полем невырожденного тензора a ik (b ik ).
2. Следуя работе [1], будем говорить, что в некоторой области пространства K n задана плоская сеть ^ n , если в этой области задано n семейств линий так, что через каждую точку A0 е K n проходит точно по одной линии каждого семейства с линейно независимыми касательными направлениями к ним в точке A 0 .
В проективном репере R = {Ao, Ak }, отнесенном к сети ^n с Kn, ее дифференциальные уравнения имеют вид [1]
ф' = a>0, i * k . (24)
Аналитическим условием параллельного перенесения направления A 0M , где
M = AsAs, вдоль некоторой кривой l в связности пространства A n, n является выполнение уравнений [5]
d!k + Xl0? =Q.Xk (mod l), D0. = 0.л0.0 . (25)
Из (13 1 ), (24), (25) следует, что условие параллельного перенесения направления касательной A 0 Ak (все ^ = ^ ' * k ) к k-й линии сети ^ n с Kn вдоль ее l-й линии (все ®0 = 0 , кроме ф 0 ) в связности пространства A n, n выражается равенствами
ah +vk5l = 0, i * k . (26)
Аналогично с использованием (13 2 ) можно показать, что условие параллельного перенесения направления касательной Л оЛ к к к-й линии сети 2 п с Кп вдоль ее 1-й ли-
нии в связности пространства Л п, п имеет вид
и
<1 + ук51 + Ь Лш = 0 г * к • (27)
Сеть 2 п с Кп назовем чебышевской (геодезической) первого или второго рода,
если все направления касательных Л о Лк переносятся параллельно вдоль любой другой
к
линии сети (вдоль соответствующей ей линии а 0 ) в аффинной связности пространства
Л Л
Л п , п или Л п , п .
Для чебышевской сети первого рода 2 п с Кп из (26) находим:
1) при п ^ 2 :
а'кг +ук = 0 г * к; (28)
2) при п > 2 , кроме (28), справедливо
а'к1 = 0, все индексы различны . (29)
Соотношения (28) говорят о том, что чебышевская сеть 2 п с Кп при п ^ 2 является сетью с совпавшими псевдофокусами Fк [1]; соотношения (29) доказывают, что
при п>2 чебышевская сеть первого рода 2 п с Кп является п-сопряженной системой [8]. Из соотношений (26), (27) следует, что геодезическая сеть первого рода, чебышев-
ская и геодезическая сеть второго рода 2 п с К п характеризуются соответственно равенствами
акк = 0, г * к , (30)
а'а + ук51 + ^Лы = 0 к * г, 1 , (31)
акк + ^Лкк = 0 к * г • (32)
Предположим, что сеть п в п сопряжена относительно поля конусов направлений аг!,р10Р0) = 0 ; в выбранном репере это равносильно тому, что
агк = 0 г * к . (33)
В случае полярной нормализации пространства К п из соотношений (22) с использованием (33) находим
Ьгк = 0 г * к . (34)
Таким образом, справедлива
Теорема 5. В случае сети 2 п с Кп , сопряженной относительно поля конусов направлений агАг0Р0 = 0 , полярная нормализация пространства К п является нормализацией, гармоничной сети [3].
3. Рассмотрим частные классы плоских сетей 2 п с Кп .
а) Пусть сеть 2 п с К п сопряжена относительно поля невырожденных конусов направлений агА0р0 = 0 . Из дифференциальных уравнений (3) для этих равенств (33) с учетом (24) имеем
аи ак1 + аккак = 1 (аиёк 0 + ак!ёг 0 \ г * к .
С
(35)
Из равенств (35) при п > 2 находим
а на'к1 + аккак = 0, все индексы различны . (36)
В случае голономной сети ^ п с Кп , п > 2 , то есть при а [к1 ] = 0, к,1 * г из последних равенств, циклируя по индексам г, к, 1, получим систему из трех линейных одно-
г к I
родных уравнений с тремя «неизвестными» а к1, аг1 , а гк . Определитель этой системы в силу невырожденности конуса направлений аг!1ю10ю0 = 0 отличен от нуля: ^ = — 2апаккаи * 0 , следовательно, она имеет только нулевое решение:
а'к1 = 0, все индексы различны . (37)
Следовательно, справедлива
Теорема 6. Сопряженная относительно поля невырожденных конусов направлений
а«®0®о = 0 сеть ^ п с Кп при п > 2 голономна тогда и только тогда, когда она является п-сопряженной системой в смысле Р. В. Смирнова [6].
б) Из равенств (35) при 1 = г с использованием (33) получим
аггак + аккак = 1 (аггёк 0 + акгёг 0 \ г * к . (38)
С
Если при этом сопряженная относительно поля тензора а ™ сеть ^ п ^ Кп , п — 2
при нормализации п полем квазитензора У г является чебышевской первого рода, то с
использованием (6), (26) равенства (38) запишутся в виде
к
аккагг = агСк , г * к . (39)
Равенства (39) доказывают следующее предложение:
Теорема 7. Если сопряженная относительно поля невырожденного тензора а™ сеть ^ п с Кп , п — 2
при некоторой нормализации пространства п есть чебышевская первого рода, то она не может быть геодезической первого рода, что равносильно тому, что нормализация пространства К п не может быть полярной.
в) Справедлива
Теорема 8. Если относительно невырожденной нормализации (|ьл | * 0 ) пространства К п , гармоничной сети ^ п с Кп , п — 2 (Ьгк = 0,г * к ), сеть ^ п является геодезической второго рода, то п есть сеть с совпавшими псевдофокусами и пространство
К п нормализовано полем ее гармонических гиперплоскостей [ ^ г .] В условиях теоремы 8 равенства (31) записываются в виде
акк + гкк = 0 г * к . (40)
Из дифференциальных уравнений (11) с использованием Ьгк = 0,г * к , (24) имеем
Ъпаы - Ъккаи = Ъш , . ф к . (41)
Тензор (19) в силу (41) имеет вид
Акк =-Ь11а'кк - Ькк (акк ). (42)
Из соотношений (40), (42) находим
V,. = -ак ,. ф к , (43)
что и доказывает теорему 8.
Согласно Ъ'к = 0,. Ф к , (19), (31), (41) справедлива
Теорема 9. Если относительно невырожденной нормализации (|Ъл | Ф 0 ) пространства К п , гармоничной сети 2 п с Кп , п — 2 (Ъ,к = 0,г Ф к ), сеть 2 п является чебы-
шевской второго рода, то 2 п есть геодезическая сеть первого рода и при п > 2 она является геодезической первого рода и п-сопряженной системой одновременно.
Резюме. В статье показано, что в случае сети ^ Кп, сопряженной относительно поля конусов направлений = 0 , полярная нормализация пространства к п является нормализацией, гармоничной сети.
Для чебышевской сети второго рода ^ Кп при п > 2 доказано, что она является геодезической первого рода и п-сопряженной системой одновременно, если невырожденная нормализация пространства к п гармонична сети.
ЛИТЕРАТУРА
1. Базылев, В. Т. К геометрии плоских многомерных сетей / В. Т. Базылев // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. - 1965. - № 243. - С. 29-37.
2. Голубева, Е. А. Двойственные аффинные связности, индуцируемые нормализацией пространства проективно-метрической связности / Е. А. Голубева. - М., 2005. - № 1743 Деп. в ВИНИТИ РАН. - 17 с.
3. Гольдберг, В. В. Об одной нормализации р-сопряженных систем п-мерного проективного пространства / В. В. Гольдберг // Тр. геометр. семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. - 1966. - Т. 1. - С. 89-109.
4. Лаптев, Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды Московского математического общества. - 1953. - Т. 2. - С. 275-382.
5. Норден, А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М. : Наука, 1976. - 432 с.
6. Смирнов, Р. В. Преобразования Лапласа />-сопряженных систем / Р. В. Смирнов // ДАН СССР. -1950. - Т. 71. - № 3. - С. 437-439.
7. Столяров, А. В. Внутренняя геометрия проективно-метрического пространства / А. В. Столяров // Диф. геометрия многообразий фигур. - Калининград : Калининградский ун-т, 2001. - Вып. 32. - С. 94-101.
8. Столяров, А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В. Столяров. - Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ун-т, 1994. - 290 с.
9. Фиников, С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. -М. ; Л. : ГИТТЛ, 1948. - 432 с.
