Некоторые классы сетей в проективно-метрическом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.756

Н. В. Кондратьева

(Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары)

НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЕТЕЙ В ПРОЕКТИВНО-МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В работе рассматриваются некоторые вопросы нормализованного «-мерного проективно-метрического пространства Кп. Найдены приложения этой геометрии к изучению некоторых классов плоских сетей Е п с Кп .

Ключевые слова: проективно-метрическое пространство, нормализация, связность, сеть, псевдофокус.

Результаты работы получены с использованием инвариантных методов дифференциально-геометрических исследований [4; 5; 9]. Индексы принимают следующие значения:

1, к, I, s, t = 1, п; 1, I, к = 0, п .

1. Известно [5], что пространством с проективной метрикой, или проективно-метрическим пространством Кп, называется проективное пространство Рп, в котором задана неподвижная гиперквадрика Qn _1 (абсолют):

= 0 = §Ш . (1)

Считая §00 Ф 0 (это равносильно тому, что А0 £ Qn_1), за счет нормировки коэффициентов гиперквадрики и вершин репера Я уравнение (1) абсолюта Qn_1 и условия его неподвижности можно записать [7] соответственно в виде:

+1 (gl0x' + cx0)2 = 0 , (2)

сv 7

da,k - aa®'k - aiA = -1 {angko + akig,o) alo, (3)

dg,o - giо- c®,° = a,i®'o, (4)

где

a,k = g,k - gi0gk0, a,k = att, с = gоо = const Ф 0 . с

Предположим, что в проективно-метрическом пространстве Kn задано поле ковектора v- , v0 = -1:

dVr-VM + =Vk®0 ; (5)

геометрически последнее означает, что проективно-метрическое пространство K n нормализовано полем гиперплоскостей П 1 : X x' - x0 = 0 .

n-1 ,

Отметим, что в силу (4), (5) система функций

с, =v, +1 g,0 (6) c

образует тензор:

dc, - Ск®г = C,k®0 , (7)

где

Ск = Угк + 1 агк • (8) С

Продолжая уравнения (5), с учетом (6) имеем

4Угк - УгУк - + Ск^г = • (9)

Система функций

К =^к -^Ск, (10)

согласно уравнениям (5), (7), (9), образует тензор:

4Ъгк - ЪгА - Ь1к®\ = ЪгкМ> • (11)

Будем считать, что тензор Ь,к невырожденный: |Ь,к| Ф 0. Следовательно, в случае невырожденной нормализации пространства Кп существует поле взаимного тензора Ь'к, компоненты которого определяются из соотношений

ак

ьпь1к = Ь,,Ьк1 = дк.

к,

к

(12)

Согласно [2], при невырожденной нормализации проективно-метрического пространства Кп полем квазитензора у индуцируются два двойственных [8] пространства аффинной связности

0 _0

без кручения Ап, п и Ап, п, которые определяются системами форм Пфаффа {»0,в'к} и {»¿в } соответственно, где

= » + д^с», + ук®\), ;к = »к + + у»;

в»0 = »0 А в;, Бвк = вк а в; + 2Як» А »0, £»0 = »0 А в;, В01 = в А в; + 2Щ» А »0.

(13)

(14)

0 _с

Тензоры кривизны пространств А п,п и Ап,п соответственно имеют строения:

Щ,^ = 2Ь,АЗ] _ 2Ь[stЗ, = 2ЬЫЛ] _ 2Ь[„З, (15)

^ к[ ] ^"[ъ^к? к[$ ^ ] [ st ] к">

где

К = Ьк,, с, =с, +

Л,

п + 1

2

Л, = В _2(п + 1),, В = Ь%к1 +-

§10

(16) (17)

»к =»к + ь,ъА» ,вк =вк +

ь™ а, +дк

Л, V,

п +1

»0, (18)

Агк1 = Ьгк1 _ УЬ1к _ УкЬИ---ТЬгкВ1 .

п + 1

(19)

Уравнения (11) тензора bik в силу соотношений (15), (16) — (19) можно записать в виде:

dbk - ЬД - bßl = 0, (20)

что выражает собой обобщенную сопряженность связностей

0 _0

пространств An,n и An,n относительно поля тензора bik . Замыкая уравнения (20), с использованием (12), (14) имеем

R st ] + Rist ] = 0, (21)

где Rst = Rlkktk, Rst = Rkk — тензоры Риччи связностей V и V

0 _0

пространств An,n и An,n . Таким образом, справедлива

Теорема 1. Внутренние геометрии пространств аффин-

0 _0

ной связности An,n и An,n, индуцируемых невырожденной нормализацией проективно-метрического пространства Kn, могут быть эквиаффинными лишь одновременно.

Предположим, что нормализация проективно-метрического пространства — полярная (ci = 0), тогда с использованием (6) — (8), (10) имеем

b,k = -1 a,k . (22) c

Соотношения (22) говорят о том, что полярная нормализация пространства Kn является гармонической (b[ik] = 0).

Можно доказать, что имеет место

Теорема 2. Связности V и V двойственных пространств

0 _с

An,n и An,n совпадают тогда и только, когда невырожденная нормализация пространства Kn — полярная.

Уравнения (3) с использованием (13j) и ck = 0 (см. (6)) запишутся в виде:

dalk - аД - аД = 0. (23)

Таким образом, доказана

0

Теорема 3. Связность пространства Ап,п, индуцируемого невырожденной полярной нормализацией проективно-метрического пространства Кп, является вейлевой, с полем невырожденного тензора а1к (Ь,к).

2. Следуя работе [1], будем говорить, что в некоторой области пространства Кп задана плоская сеть Еп, если в этой области задано п семейств линий так, что через каждую точку А0 е Кп проходит точно по одной линии каждого семейства с линейно независимыми касательными направлениями к ним в точке А0. В проективном репере Я = {А0, Ак}, отнесенном к

сети Еп с Кп, ее дифференциальные уравнения имеют вид [1]:

а» = а,»0,, Ф к . (24)

Условием параллельного перенесения направления А^М ,

где М = , вдоль некоторой кривой I в связности простран-

0

ства Ап,п является выполнение уравнений [5]

ёЛк + Я в; = ОЛк (шоа I), БО. = О, а ^0. (25)

Из (131), (24), (25) следует, что условие параллельного перенесения направления касательной А0Ак (все Л = 0,1 Ф к) к к-й линии сети Еп с Кп вдоль ее 1-й линии (все » = 0 , кроме

, о

») в связности пространства Ап,п выражается равенствами

ак, +УкЗ\ = 0,1 Ф к . (26)

Аналогично с использованием (132) можно показать, что условие параллельного перенесения направления касательной А0Ак к к-й линии сети Еп с Кп вдоль ее ,-й линии в связности _0

пространства Ап,п имеет вид:

а'к1 +ук8\ + ЬиАт = 0,1 Ф к . (27)

Сеть Еп с Кп назовем чебышевской (геодезической) первого или второго рода, если все направления касательных А0Ак переносятся параллельно вдоль любой другой линии сети (вдоль соответствующей ей линии со^) в аффинной связности 0 _0 пространства Лп,п или Лп, п.

Для чебышевской сети первого рода Еп с Кп из (26) находим:

1) при п > 2 :

а'ы +ук = 0,1 Ф к; (28)

2) при п > 2 кроме (28) справедливо

а'к1 = 0, все индексы различны. (29)

Соотношения (28) говорят о том, что чебышевская сеть Еп с Кп при п > 2 является сетью с совпавшими псевдофокусами ^ [1]; соотношения (29) доказывают, что при п > 2 чебышевская сеть первого рода Еп с Кп является п-сопряженной системой [8].

Из соотношений (26), (27) следует, что геодезическая сеть первого рода, чебышевская и геодезическая сеть второго рода Е п с Кп характеризуются соответственно равенствами

акк = 0,1 Ф к, (30)

а'к1 + Укд\ + Ь-А±1 = 0, к Ф1,1, (31)

акк + VяА^ = 0, к Ф1 . (32)

Предположим, что сеть Еп в Кп сопряжена относительно

поля конусов направлений аяюг0т0 = 0; в выбранном репере это равносильно тому, что

а,к = 0,1 Ф к . (33)

В случае полярной нормализации пространства Кп из соотношений (22) с использованием (33) находим

Ьк = 0,1 Ф к . (34)

Таким образом, справедлива

Теорема 5. В случае сети Еп сКп, сопряженной относительно поля конусов направлений а,^,»^»!) = 0, полярная нормализация пространства Кп является нормализацией, гармоничной сети [3].

3. Рассмотрим частные классы плоских сетей Е п с Кп . а) Пусть сеть Еп с Кп сопряжена относительно поля невырожденных конусов направлений а»») = 0 . Из дифференциальных уравнений (3) для этих равенств (33) с учетом (24) имеем

а,,аа + акк4 =1 (аиёк0 + аыёг0^, Ф к . (35)

с

Из равенств (35) при п > 2 находим

aiia'kl + аккак = 0, все индексы различны . (36)

В случае голономной сети Е п с Кп, п > 2 , то есть при а{ы] = 0, к,, Ф, из последних равенств, циклируя по индексам ,, к, ,, получим систему из трех линейных однородных уравнений с тремя «неизвестными» а'ы, а^, а\к . Определитель этой системы в силу невырожденности конуса направлений a,■sa(,la;S = 0 отличен от нуля: А = -2айанаи Ф 0 , следовательно, она имеет только нулевое решение:

а'ы = 0, все индексы различны . (37)

Таким образом, справедлива

Теорема 6. Сопряженная относительно поля невырожденных конусов направлений aisа10а'oS = 0 сеть Еп с Кп при п > 2 голономна тогда и только тогда, когда она является п-сопряженной системой в смысле Р. В. Смирнова [6].

б) Из равенств (35) при , =, с использованием (33) получим

а,,а'к, + акк4 = 1 (апёк0 + ак,ё,0 ^ , Ф к . (38)

с

Если при этом сопряженная относительно поля тензора ая сеть Еп с Кп, п > 2 при нормализации Кп полем квазитензора у1 является чебышевской первого рода, то с использованием (6), (26) равенства (38) запишутся в виде

акк4 = аггСк , 1 Ф к . (39)

Равенства (39) доказывают следующее предложение:

Теорема 7. Если сопряженная относительно поля невырожденного тензора ая сеть Еп с Кп, п > 2, при некоторой нормализации пространства Кп есть чебышевская первого рода, то она не может быть геодезической первого рода, и это равносильно тому, что нормализация пространства Кп не может быть полярной. в) Справедлива

Теорема 8. Если относительно невырожденной нормализации (\Ъгк\Ф 0) пространства Кп, гармоничной сети Еп с Кп, п > 2 (Ь1к = 0,1 Ф к), сеть Еп является геодезической второго рода, то Еп есть сеть с совпавшими псевдофокусами и пространство Кп нормализовано полем ее гармонических гиперплоскостей [¥1]. В условиях теоремы 8 равенства (31) записываются в виде

а'кк + Ь%кк = 0,1 Ф к . (40)

Из дифференциальных уравнений (11) с использованием

Ь1к = 0, 1 Ф к , (24) имеем

Ьиагк1 - Ьккаи = Ьш, 1 Ф к . (41)

Тензор (19) в силу (41) имеет вид:

Акк = -Ьц^кк - Ькк (а'к +К ). (42)

Из соотношений (40), (42) находим

^ =-акк, 1 Ф к , (43)

что и доказывает теорему 8.

Согласно Ьк = 0,1 Ф к, (19), (31) и (41), справедлива

Теорема 9. Если относительно невырожденной нормализации (\bik | Ф 0) пространства Kn, гармоничной сети Еn с Kn, n > 2 (bik = 0, i Ф к), сеть En является чебышевской второго рода, то En есть геодезическая сеть первого рода и при n > 2 она является геодезической первого рода и n-сопряженной системой одновременно.

Список литературы

1. Базылев В. Т. К геометрии плоских многомерных сетей // Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. 1965. № 243. С. 29—37.

2. Голубева Е.А. Двойственные аффинные связности, индуцируемые нормализацией пространства проективно-метрической связности // ВИНИТИ РАН. М., 2005. № 1743 Деп.

3. Гольдберг В. В. Об одной нормализации р-сопряженных систем n-мерного проективного пространства // Тр. геометр. семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. 1966. Т. 1. С. 89—109.

4. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. матем. об-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.

5. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

6. Смирнов Р. В. Преобразования Лапласа р-сопряженных систем // ДАН СССР. 1950. Т. 71, № 3. С. 437—439.

7. Столяров А. В. Внутренняя геометрия проективно-метричес-кого пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград: Калининградский ун-т, 2001. Вып. 32. С. 94—101.

8. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1994.

9. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М., 1948.

N. Kondrateva

SOME CLASSES OF NETWORKS IN PROJECTIVE-METRIC SPACE

This work deals with some issues of the normalized n-dimensional projective-metric space Kn. Applications of this geometry to studying some classes of flat networks Е n с Kn have been found.