Расширенное нормализованное риманово пространство Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

РАСШИРЕННОЕ НОРМАЛИЗОВАННОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО

EXTENDED NORMALIZED RIEMANNIAN SPACE

Л. А. Лукичева L. A. Lukicheva

ГОУВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева», г. Чебоксары

Аннотация. В настоящей работе изучается двойственная геометрия пространств проектив-

1 - 4

ных связностей Pn n , индуцируемых в расширенном нормализованном римановом пространстве

V" = P .

n n ,n

1 - 4

Abstract. This article deals with dual geometry of space with projective connections Pn n in-

i

duced by the extended normalized Riemannian space Vn* = Pnn .

Ключевые слова: расширенное риманово пространство, нормализация, тензор, пространство проективной связности, кручение, двойственность.

Keywords: extended Riemannian space, normalization, tensor, space with projective connection, torsion, duality.

Актуальность исследуемой проблемы. Вопросами изучения геометрии подмногообразий, вложенных в n-мерное риманово пространство V n , занимались многие математики. При этом следует заметить, что вопросы двойственной геометрии различных подмногообразий, вложенных в риманово пространство, до настоящего времени оставались не изученными.

Материал и методика исследований. Результаты работы получены с использованием инвариантных методов дифференциально-геометрических исследований, а именно метода внешних форм Э. Картана [7], метода нормализации А. П. Нордена [4], метода продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [2].

Результаты исследований и их обсуждение. Полученные результаты являются новыми, актуальными и достоверными, они доложены на VI Международной научнопрактической конференции «Наука и современность - 2010».

На протяжении всего изложения индексы принимают следующие значения:

Г, K, L = o7n ; I, K , L = rn.

1. Рассмотрим риманово пространство V n , определяемое системой форм Пфаффа ^1, } и полем симметричного невырожденного тензора S IK (S [IK ] = 0 , Is ik | ^ 0 ):

DвI — 6ь л в[г Ов1к — вЬ л в[ + 1 глкР2 6Р л в2 , (1)

^§1К = 1К - §1Ь6К - ёьк 61 _ 0 , ёиё _ $I .

Согласно работе [5] система форм Пфаффа {о К }:

«0 = 61, «0 = —Ц- вЬ, оК — 0, ®к = в к —Ц- $к вЬ (3)

п + 1 п + 1

1

определяет пространство проективной связности Рп п . Формы этой системы в силу (1) удовлетворяют уравнениям Картана - Лаптева [1], [2]:

D«о = «0 л (®ь $ь®0 ), Dоо _ 0, D о к _ 0, к _ О к л О ь + 2 Ркр2 О 0 л ,

2 (4)

ь_л /? I — Р 0 _ О о _ 0 Р I _ г I

ОЬ _ 0 , л0 Р2 ~ 1ХКР(2 ~ л0 р<2 ~ и , кр<2 ~ 'крд .

1

Пространство проективной связности Рп п без кручения со структурными уравнениями (4) назовем расширенным римановым пространством и обозначим Vп ; каж-

77 * Т/ *

дый слой Е п пространства V п оказывается отнесенным к проективному реперу

К, А,}.

2. Пусть в пространстве V п задано поле ковектора у г :

VV0 = ау + у0®0 -у0к°т _утк. (5)

Предположим, что компонента V 01 этого тензора отлична от нуля: геометрически это означает, что в каждом слое Е п (А 0) расширенного риманова пространства выбрана гиперплоскость «0 (А) , не проходящая через точку А 0 . Поэтому, следуя [4], пространство V п с введенной структурой по аналогии с проективным пространством Рп назовем нормализованным.

, 0

Считая у0 - _1, из уравнений (5) находим:

л'ж ш о

у у г + ю°( = 0) - уК соГК . (6)

Обращение тензора у, в нуль равносильно тому, что нормализующая гиперплоскость

£о(А0) = [Аі + уіА0] совпадает с несобственной гиперплоскостью П п_! (Ао )=[А/ ]

слоя Е п (А 0) ; поэтому везде, где не оговорено, предполагается, что тензор у, - не нулевой.

Продолжая уравнения (6), получим:

.0 + у о „ о _ .. о „ I

ІК

Согласно (6) и (7) система функций

г-7 0.0 0 0 L (П\

у у ІК + у ІК ®0 - у ІІХ ®0 . ( )

0 ^ 0 0 0 Пік - ук _уУк (8)

образует тензор:

У < + < < - ^ < , 2 А* ]- у 0^ _ 2у,° П[К ]_ 2У[К ^ ], (9)

У П ІКи + 2 ПІКЬ Ю0 - ПІКир Ю0 , 2 ПІК [ир ] П^^КЬр + ПQKRІLP ,

(10)

где

0 0 0 0 0 0

Піки - ук _у1уК1 _укуи ;

тензор ПІК назовем основным тензором нормализации пространства

У,

т т * 0

Нормализацию пространства V п с симметричным тензором М ж по аналогии с нормализованным пространством Рп [4] назовем гармонической.

Предположим, что соответствие А0 ^ «0 (А0 ) является взаимно однозначным, это

0 , ае/ I 0 I ^ ^

значит, что тензор является невырожденным: h — ш1к ^ 0 . Следовательно, существует поле взаимного тензора М0 , компоненты которого определяются из соотношений

,,0 „ІК _ оК ,,0 ,,КЬ _ оК

Піи П0 - &І , Ми П0 - °І

и удовлетворяют дифференциальным уравнениям

у п0к _ П0ІК ®00 + п0Р ПоQK П

PQL Ю 0 - 0

(11)

(12)

^ 1п А + 2(п + 1)ю00 - hксоК

Функция к есть относительный инвариант и в силу (9), (11), (12) удовлетворяет дифференциальному уравнению

(13)

(14)

(15)

где

АК - П0 Піик .

Продолжая уравнение (13), получим:

V кк + кк ®0 _ ккь ®0 , к[кь ] Согласно уравнениям (6) и (15) система функций

^е/ 0

Лк _ кк — 2(п + 1)ук

- 0

(16)

образует тензор:

уЛ к + Л к ю0 - Л ^ юц, Л [кц ]-_ 2(п + 1) П[ки ]. (17)

Тензор Л к есть аналог чебышевского вектора [4]; при этом нормализация пространства

У п необязательно гармоническая.

Каждая из систем функций

М

гки

*/ 0

- Пгки

уГпИк

уК Пж

А

п + 1

Пж

N0 - М 0

іки 1У1 іки

1

п (п + 1)

ПІк Л,

в силу уравнений (6), (9), (10), (15), (17) образует тензор:

УМГкц + 2МГкц Юо0

М

- М і КНР ю о

0 0 ,00 0 0 , А 0 7

ІК [ир ] - Пік [ир ] +уі [и ПР ]к _уі П[и|К|Р ] + п + 1 Пгк [иАр ] _

У№кц + 2№кц Юо0

- NІКИР Юо

(18)

(19)

0

ПІК 1 0 0 0 0

1 А[ир ] _ Пі[ир у К _ Пі[иу\к\Р ] п + 1 (20)

N ІК [ир ] - М ІК [ир ] + п (п + 1) (п ІК [и Л р ] П ІК Л [ир ] ) ,

*

1

- *

3. Согласно [3] на базе пространства Рп п = V* можно определить другое пространство проективной связности при помощи новых (п + 1 )2 форм Пфаффа О к , которые получаются из форм ® кг преобразованием

о к _ ® к + П ^ь°0ь . (21)

Формы о к в силу (4) удовлетворяют следующим структурным уравнениям

D О К -О К лО и + дп л юи (22)

где

АП к _ VПк + Пк® 00 — 2(ркр + 2П2,ьПОтрк. (23)

Согласно теореме Картана - Лаптева [1], [2] из уравнений (22) следует, что для того

чтобы в главном расслоенном многообразии, задаваемом формами ® о , о к , определялась проективная связность, необходимо и достаточно, чтобы было задано поле объекта

П кг , то есть

АП ГГь _П ^ ®0Р ; (24)

при этом совокупность функций \ 2 П к [рд ]/ есть тензор кривизны-кручения соответствующего пространства проективной связности.

Потребуем, чтобы в преобразованиях (21) О0 = ®; условием последнего является

П0к _ 0.

Уравнения (24) с использованием (23) равносильны системе (с учетом О _ 0 )

VП 0к + П 0к®о _ П 0ке ®0 , VП кь + П кь ®0 _ П кье ® 0 , (25)

VП ж + П ж ® о _П к ® о , VП о к + П о к ®о _П о кр ® 0 .

Формы О к должны быть подчинены линейному соотношению О ь _ 0 , аналогичному

(4); последнее требование накладывает на функции П кг условие П 0к + Пж _ 0 .

В силу уравнений (6), (9), (12), (14), (16) - (19) очевидно, что каждая из следующих трех систем охватов удовлетворяет уравнениям (25):

П 0 _ Л к тть ,,ьР\{ 0 П о _ 2 >>0 | у0 Л к , ,,ьру0 м о (26)

П о к _ л , П Ж _ >0 м рк , П к _ 2М[Ж ] + VI 1 + >0 УьМРЖ ;

п +1 1 J п + 1

П0к _ 0, Пьк _ ц0ьР№РЖ , П 0к _ — 2М[к ] + м!ЪРу1 №Р1к ; (27)

П 0к _ — -Л+кт, П ьк _ , П 0к _ 1 у,” Л к . <28>

п + 1 п (п + 1) п

Формы О к с охватами (26) - (28) обозначим соответственно О ^ , Оо , со (О ^ _ со^г). Соответствующие пространства проективной связности обозначим через

2 3 4

Рп п , Р„ „ , Р„ „ . Следовательно, формы новых пространств с формами ® кг исход-

ного нормализованного расширенного риманова пространства У п связаны соотноше-

ниями:

2

Ю0 - Ю0 , Ю() - Ю() п + 1 Юо , ЮК - ЮК + П0 МикрЮо ' ЮГ - Ю/( = 0) + ^1 пЛ+р1 + По^КМир _ 2П[1р]]юор ;

(29)

3I I 3о о 3I I Ц о р

оо _ оо , оо _ Оо, ок _ ок + >о Кькеоо , (30)

01 _ о0(= 0) + кьу0кКие — 2М^р])эоР ;

<®0 _ ^0 , °о _ ®о0---“Р7°0> , 01 к _ ок + 5к (п + 1)®0 ,

00 п +1 п^п + ^ (31)

соI1 _ о?(= 0) +1 у”ЛРор . п

Формы (0^ (9 _ !, 2, 3, 4) удовлетворяют структурным уравнениям

к

9 - 9 — 1 9 -

D л а>1г +— оР л о2 , Эк _ о, (32)

'к ~к '' 1 ^^кр<2ш ’ юи - 0 :

2 Г 3 - 4 -

, о , и ,

2 3

где тензоры кривизны-кручения рк_ре , к‘грд , Р к_ре пространств Рп, п , Рп, п ,

Рп п в силу (4), (5), (8), (9), (10), (15), (17), (19), (20), (29) - (31) имеют следующие

строения:

2 2 2 Р1 _— ,,1ьу о рк О о _ у о рк

роро _ >0 уккьрр , роро _ ук рс

Чре ~ Г0 у кАЧре ’ *Чре ~ у К *ЧPQ ’

? г -_у° 2? г _ ##ш ,,0 ?Т , -уо 2 к

^кр^ ~ уК Л0PQ ЛЧ А1 ТК ^ире ~ уК

(33)

3 2 3 2 2 4

- RІPQ + п5[рЛQ], Екрв - 2кре _ уК п5[рЛе]_п5кП[0ре], (34)

3 2 2 3 3 2

г)0 „ ,,0 |1*0о и . 2 ,, 0 А О 0 1*0о К . »»0 2 Л К

?оре - 4п[рє ]+ у и ?оре + у[р Л е ], ?/рє -ук?іре + Пік~ Л[р^е ]_ 4у/П[ре ];

п п

4 2 4 2

?ор - пЛ[р^<2], ?0ре - _4Пре] _ пу[0рЛЄЬ (35)

4 I 4 7 0 / 2 о I

?кре - п ^к П[ре ] + ?.кре _ ~ ук Л[р$е ] ■

4

?,ре - '2(П/[рЛе] + уІІу[0рЛе])+ 4(пп+ уГП[0ре].

Таким образом, справедлива

Теорема 1. При невырожденной нормализации расширенного риманова простран-

Т7 *

ства V п индуцируются три нормализованых пространства проективной связности

3

, Рп

Рп п , базой которых служит база исходного пространства V п , причем формы

связности и тензоры кривизны-кручения индуцированных пространств имеют соответственно строения (29) - (31) и (33) - (35).

В силу соотношений (33) - (35) очевидно, что R

0 PQ

= R+ R 0IPQ , то есть справедлива

>і

10 PQ

2-4

Теорема 2. Если из трех пространств проективной связности Рп п , индуцируемых невырожденной нормализацией риманова пространства V п , два пространства имеют нулевое кручение, то и третье - без кручения.

Согласно (6), (29) - (31) поле ковектора

(у0 = -1)

определено в пространствах

2

Р„

3

, Рп

Р : следовательно, все четыре пространства нормализованы одним по-

п , п 0

лем ковектора у г , причем уравнения (6) с учетом (29) - (31) и соотношений (8), (11), (14), (18) можно записать в следующем виде:

Уи О О

Уі + =уш ®о

к

Уу0 + О =Ук <

уу; + о =у>к

Из этих уравнений находим

(36)

Теперь согласно (8) имеем

.3.0

2 о = о 3 о = о 40 = о ік = кі ік = кі ік = ік

(37)

(38)

Согласно (29) - (31), (38) из дифференциальных уравнений (9) тензора

имеем

У мік + Iіік °0 = Мікь °0

(д = 1, 2, 3, 4)

1 о = о

ік = ік

(39)

где

и

л,

п + 1

(40)

В силу (11), (14), (16), (18), (38), (40) очевидно, что чебышевские векторы нормали-

зованных пространств Р связаны следующими соотношениями:

п , п 2

Л к + л к = °, л к =л к ' при получении которых попутно находим:

л к + л к = 0

0

V

і

Уік = Укі

Уік = Уік

Ик = Ик - 2лк , Ик = Ик , Ик = Ик - 2лк

(42)

Тензоры м0кь

N

ные (18):

М

Я Лв/ Я 0 ..0

ікь

Я

.0 :.0

(я = 1, 2, 3, 4)

пространств Р имеют строения, аналогич-

Я

00

ікь

= Мікь Уі Мьк Ук Мь

Я Лв/ Я

№кь = М0кь

п (п + 1)

в силу (38), (40) - (42) между данными тензорами существует следующая связь:

М

^М\

Мікь =- М Рі М 0 М окь +

2

п(п + 1)

мк=мк -

2

:и і, л і

(43)

N

= N0 = - и 0 и ^ N0

ікь Н-РіН-0 JV QKL

п (п + 1) ‘

,Р^Т 0 лг0 _ лг0 (44)

4. Преобразование форм связности исходного нормализованного пространства проективной связности Рп п по закону (29) обозначим через і 1 , по закону (30) - через і 2 , по закону (31) - через і 3 :

12 13 1 4

і 1 (Рпп ) = Рпп , і2 (Рп,п ) = Рпп , і3(Рп,п ) = Рп,п • (45)

1

Преобразование (21), не меняющее формы связности пространства Рп , обозначим че-

і 1 1 рез 10 и назовем тождественным: 10 (Рп п ) = Рп п .

Преобразования і а (а = 1, 2, 3 ) форм связности являются инволютивными, то

есть іа 1 - іа . Действительно, из выражений (29) - (31) в силу (38), (41), (43), (44) находим

2

20 л

і 21 0 „

о0 = о0 , о0 = о0-

Р Р

Р оп

п + 1

ок = °К + и0 МьКР °0

0)0 (- 0) = о +

л

0 - Р I ,,кь 0 я у 0 о,,0

1 , 1 + и 0 У к М ьіР 2 и [іР ]

п + 1 1 J

■0 о,,=о к+Д0ь оР, о0( - 0)=03 0+1 ^ у 0 N -

0К = 00 , °0 = °0

Р о1, = о, + 5ь

4

л

о

Р

0

к

п(п + 1)

п + 1

Эти соотношения говорят о том, что

°1 ( Рп , п ) = Рп , п , 12 ( Рп, п ) = Рп, п , 13( Рп, п ) = Р;

4 1 4

00Р , ®!0(- 0) = оі0 + -у? лР оР • 0 п

Я

1

что вместе с (45) доказывает инволютивность 1 а . Следуя [6], будем говорить, что исход-

1

ное нормализованное пространство Рп п = V* двойственно с каждым из пространств

2 3 4

Р , Р , Р относительно соответствующего преобразования 1 а .

п , п ’ п , п ’ п , п ^ ' г г

В силу (38), (41), (43), (44) формы ю3 £ и ® £ связаны между собой соотношения-

К К

ми вида (29), то есть

О0 - °0_

3

Л р р 4 , 3 і 3 3 0

р 4 /

'о , тк -

V К 3

/р О >4

И + 1

Л

+ И о у к м ир 2 И [/р ]

3 4 4 3

Это значит, что 11 (Рп п ) = Рп п ; справедливо также 11 (Рп п ) = Рп п . Следовательно,

34

пространства Рп п , Рп п двойственны относительно инволютивного преобразования 11 форм связности. Аналогично доказывается, что

12 ( Рп, п ) = Рп, п , 12 ( Рп, п ) = Рп, п , 13( Рп, п ) = Рп , п , 13( Рп, п ) = Рп , п •

Доказана

Теорема 3. Преобразования 1 а (а = 1, 2, 3 ) форм связности по законам (29) - (31)

2

являются инволютивными. Индуцированные пространства проективной связности Рп п ,

34

Рп п , Рп п двойственны относительно соответствующих инволютивных преобразований

1 а как между собой, так и по отношению к исходному нормализованному пространству

Р = V* .

п, п п

Резюме. Установлено, что невырожденная нормализация расширенного риманова пространства индуцирует три нормализованных пространства проективной связности, двойственные как между собой, так и по отношению к исходному пространству.

ЛИТЕРАТУРА

1. Евтушик, Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик, Ю. Г. Лумисте, Н. М. Остиану, А. П. Широков // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. - М. : ВИНИТИ, 1979. -Т. 9. - 246 с.

2. Лаптев, Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды Московского математического общества. -1953. - Т. 2. - С. 275-382.

3. Лаптев, Г. Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства / Г. Ф. Лаптев // Труды

4-го Всес. матем. съезда (1961) : сб. науч. тр. - Л., 1964. - Т. 2. - С. 226-233.

4. Норден, А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М. : Наука, 1976. - 432 с.

5. Столяров, А. В. Двойственная геометрия нормализованного пространства аффинной связности / А. В.

Столяров // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. - 2005. - № 4 (47). - С. 21-27.

6. Столяров, А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В. Столяров. - Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ин-т, 1994. - 290 с.

7. Фиников, С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. - М. ; Л. : ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

V

/ - т / +