Пространства аффинно-метрической связности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.764

Т. Г. Аленина

(Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары)

Пространства аффинно-метрической связности

Изучаются вопросы двойственной геометрии нормализованного пространства аффинной связности А пп .

В частности, вводятся в рассмотрение двойственные

р

пространства аффинно-метрической связности М п,п, индуцируемые невырожденной нормализацией пространства аффинно-метрической связости М пп.

Ключевые слова: пространство аффинно-метрической связности, невырожденная нормализация, гармоническая нормализация.

В работе индексы пробегают следующие значения:

1,у,к,I,s,t = 1,п; 1,у,к,1,5,1 = 0,п; а = 1,2,3; р = 1,4.

Рассмотрим пространство аффинной связности А пп, определяемое системой п(п +1) форм Пфаффа ,в'у} [1], , — тензоры соответственно кручения и кривизны этого пространства.

Известно [2], что система из (п +1)2 пфаффовых форм

\р) }, где

«0 = в', =- вкк , п + 1

°>)=в) - -^т 3вкк, «0=0,

п+1

определяет пространство проективной связности Рп п, ассоциированное с пространством аффинной связности А пп . При этом пространство проективной связности Рп п вырождается в проективное пространство Рп тогда и только тогда, когда исходное пространство аффинной связности Ап п является аффинным А п.

Нормализация [3] пространства Рп п полем ковектора с)

(¿с) + с°®°° - с°®к = с)®)), то есть полем гиперплоскостей

0 к 0 л

скХ — х = 0 , равносильна нормализации соответствующего

пространства Апп тем же полем ковектора {¿с0 — с°вк = сквк ),

то есть полем нормализующих гиперплоскостей с°Хк — 1 = 0, Хк

лгк

где X = — — неоднородные координаты точек нормах

лизующей гиперплоскости относительно репера

я = {А°, 4}.

Будем считать, что нормализация пространства Рп п (а следовательно, и пространства Апп) — невырожденная; это

¿е/

равносильно тому, что тензор а° = с° — с°с° невырожден:

¿е/

ь =

а°

ф 0. Функция Ь есть относительный инвариант:

1пЬ + 2(п +1)®°° = Ьк®к .

Нормализацию пространства Рпп с полем симметричного тензора а0 по аналогии с нормализованным Рп [3] назовем

гармонической.

Согласно работе [4], невырожденная нормализация пространства проективной связности Рпп индуцирует три прост-

" п,п

2 3 4

^ п,п , Р п,п ,

ранства проективной связности Р п,п, Р п,п, Р п,п, двойственные относительно соответствующих инволютивных преобразований

-1 р ■ Jа , а = 1,2,3 (Jа = Ja ) форм связности с \ как между собой,

так и по отношению к нормализованному пространству

1

Р п,п = Рпп. Например, преобразование J1 имеет вид

2 ■ 2 ( 1 с 0 =с0, с = с0 +1 2с0--Ъ, с

0- и/0 I ^ик к/0 .

п + 1

с }■ = С +

«I 0 0 0 ^ | с г 0 . сг 1 г.

а0 Кк - с.-^кс0 Ък

с,

0 0/п\,Г'>001 «г 0(0 0 0 ^ о 0 1 к

с 0 = С 0) + Ь 3С С0 + а0 С \а1гк - С акг )- 2а[гк 1 К .

2 0 0/ . I т 0 0 , «I 0 1 0 001 т

а[гк ]]

Замечание 1. Можно показать, что в случае Апп = Ап

3 4

пространство Р п,п (или Рп,п), индуцируемое невырожденной нормализацией аффинного пространства Ап, будет проективным тогда и только тогда, когда данная нормализация есть

3 2 4

гармоническая; при этом Рп,п = Рп, Рп,п = Рп .

Замечание 2. В случае аффинной нормализации пространства аффинной связности Ап п (с0 = 0, при этом нормализующая гиперплоскость П п-1 в каждом слое является несобственной) тензор а0 = 0; при этом вести речь о

2 4

пространствах Рп,п *Рп,п нет смысла.

2

Имеют место следующие предложения.

Теорема 1. С пространством аффинной связности Апп,

нормализованным полем ковектора c0 невырожденным

образом, ассоциируются четыре пространства проективной

p

связности P n,n, нормализованные невырожденным образом полем ковектора c0 (c0 =-1), причем эти пространства попарно двойственны относительно трех инволютивных

преобразований Ja форм связности; при этом гармоничность

p

нормализации одного из пространств P n,n влечет гармоничность нормализации других.

Замечание. В общем случае (например, при a0] Ф 0 ) теорема 1 остается в силе и в случае А пп = А n.

Теорема 2. При невырожденной нормализации пространства аффинной связности Апп индуцируются четыре двойственные между собой (относительно инволютивных преоб-

p

разований JJ пространства аффинной связности Апп , определяемые системами форм \вг,0'j I, где

p p р \ пг г <гг 0 ° к , 0 г

в 1 = ® 1 -51 I — ск®° 1+ с 0®° .

1 2

Теорема 3. Аффинные связности V и V, индуцируемые невырожденной нормализацией пространства аффинной связности Апп, являются обобщенно сопряженными [3] относительно поля тензора а0.

12

Теорема 4. Пространства Ап,п и Ап,п, индуцируемые невырожденной нормализацией пространства аффинной связ-

ности Апп, могут быть пространствами с абсолютным параллелизмом лишь одновременно.

Теорема 5. Если из четырех пространств аффинной связ-

р

ности Апп, индуцируемых невырожденной нормализацией

пространства аффинной связности Апп, любые три — без

кручения, то четвертое пространство также имеет нулевое кручение.

Известно [5], что пространством проективно-метрической связности К пп называется пространство проективной связности Рп п, обладающее инвариантным полем локальных гиперквадрик. Доказано [6]: критерием того, что Рпп есть пространство проективно-метрической связности К пп с полем локальных абсолютов Qn_l

а1}хгх] + 1 хг + сх0 )2 = 0, а у = ар, gl0 = g 01, с = ст^ ф 0, (1)

отличных от сдвоенных гиперплоскостей, является выполнение уравнений

dgг0 - gk0®г - с®г° = агк®к0 ,

1 к к 1 ( \ к - агк®} - ак}®г = - С ( 10 + а^г0 К ;

,0 0 1 к при этом форма а>0 — главная: а>0 = — gk0m0.

с

Известно [6], что наличие инвариантного поля локальных гиперквадрик (1) приводит к конечным соотношениям для компонент тензора кривизны-кручения пространства К пп :

< + ^к0С = 0, gk0+ а1кЯк^ + сК< = 0,

с

агкК% + - 1 {aгkgl0 + а^г0 К^ =

Согласно работе [7], пространство A nn называется пространством аффинно-метрической связности, если пространство проективной связности Pnn, ассоциированное с исходным пространством аффинной связности A nn, является пространством проективно-метрической связности.

Ниже пространство аффинно-метрической связности обозначим через Мпп .

p

С пространством аффинной связности An n ассоциируется

p

пространство проективной связности П n,n, определяемое сис-

p -

темой пфаффовых форм Q j по схеме

p.p. . p ° 1 p , p. p . 1 ■ p , p °

Q °=0 = 0, Q 0=---вкк, Q j = 0j---5j 0kk, Q 0= 0.

n +1 n +1

Каждая из систем форм Q j удовлетворяет структурным

уравнениям пространства проективной связности П п,п

Г Т Р - 1 РтР Р

В О - = 0 - лО - + -ЭТ О 0 лО 0,

1 1 к 2 0 0

Р -

где компоненты тензора кривизны-кручения ЭТимеют строение

р . р . р _ 1 р , р _ р . р . 1 . р ,

эт г = гг ЭТ 0 =__— гк ЭТ 0 = 0 ЭТ г = гг__—Я1гк

п +1 ' ' у п +1

p 0 1 p p k Показано, что Q °=— gk0 Q о, где c

p

1 2 г

0 о , с > ёко = ёко + с • ск, ёко = ёко " с • ск +-7Ьк,

п +1 (2)

3 4 с у '

ёко = ёко + с•с0, ёко = ёко "с• 4 +-7Ьк•

п+1

Каждое из выражений (2) удовлетворяет дифференциальным уравнениям

р р р р . . р р Лёк о - ё,о О к - с О к ( о) = аь О о,

11

о о о

где, например, тензор аks имеет вид аks = аь + 2с • сксж + с • аь •

Допустим, что при некоторой невырожденной гармонической нормализации пространства аффинно-метрической связности М пп все четыре пространства аффинной связности

р

Ап п имеют нулевое кручение; заметим, что в соответствии с теоремой 5 для последнего достаточно, чтобы любые три из

1 2 4

них (например, Ап,п, Ап,п, Ап,п) имели нулевое кручение. Таким образом, согласно нашему допущению, справедливо при р = 1,4 :

(ё о +с • со +а°[к^/])=о; при р = 2,3: (3)

(ё о + с • со |аой (а + а )+ + а^/])] = о.

Теорема 7. Если каждое из двойственных пространств

р

Ап п , индуцируемых невырожденной гармонической нормализацией пространства аффинно-метрической связности Мп п,

имеет нулевое кручение, то условие, при котором любое из них является пространством аффинно-метрической связности, выражается равенствами (3).

Теорема 8. Если каждое из двойственных пространств

p

An n , индуцируемых невырожденной гармонической нормализацией пространства аффинно-метрической связности Мnn,

имеет нулевое кручение, то любое из них есть пространство

аффинно-метрической связности тогда и только тогда, когда

нормализация пространства М nn является полярной; при этом

p 1 пространства An n вырождаются в одно пространство An,n.

Список литературы

1. Лаптев Г. Ф. О выделении одного класса внутренних геометрий, индуцированных на поверхности пространства аффинной связности // ДАН СССР. 1943. Т. 41, № 8. С. 329—331.

2. Столяров А. В. Двойственная геометрия нормализованного пространства аффинной связности // Вестник Чувашск. гос. пед. унта. 2005. № 4. С. 21—27.

3. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

4. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1994.

5. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. матем. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.

6. Столяров А. В. Пространство проективно-метрической связности // Известия вузов. Математика. 2003. № 11. С. 70—76.

7. Столяров А . В. Аффинно-метрическая связность // Вестник Чувашск. гос. пед. ун-та. 2006. № 5. С. 158—167.

T. Alenina

Spaces of affine-metrical connection

The questions of dual geometry of the normalized space of affine

connection A nn are studied in this work. In particular, we consider the

p

dual spaces of affine-metrical connection М n,n induced by nondegener-ate normalization of the space of affine-metrical connection М nn .