Продолжимость целым образом на комплексную плоскость скалярного произведения L-рядов Дирихле числовых полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

}

где ха,у ~ характеры Дирихле, согласованные с расширением О с Ма и

такие, что Ха(р) = Ха,;(м(р))-

Замечание. Г.сть основания надеяться, что привлечение характеров внешних циклических расширений позволит получить необходимое разложение Брауэра.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хейпьброн X. С-функции и ¿-функции // Алгебраическая теория чисел / Иод ред. Дж. Касселса, А. Фрелиха. М., 1969.

УДК 511.3

В. II. Кузнецов, Е. В. Сорокина

ПРОДОЛЖИМОСТЬ ЦЕЛЫМ ОБРАЗОМ 11А КОМПЛЕКСНУЮ ПЛОСКОСТЬ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ¿-РЯДОВ ДИРИХЛЕ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЕЙ

Рассмотрим /.-ряды Дирихле двух числовых полей кх и к2, отвечающие характерам Дирихле X] и х2.

(О

а N(0.) „=1Л*

¿2(^X2 «-с + а. (2)

«N{(3)" П=1п*

Под скалярным произведением ¿-рядов Дирихле (1) и (2) здесь понимается следующий ряд:

/Ю-

/и*.

Огносительно скалярного произведения двух ¿-рядов Дирихле авторами доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Пусть кх и к2 -абелевы расширения поля X) и Хг ~ неглавные характеры Дирихле числовых полей с взаимнопростыми над Q модулями. Тогда скалярное произведение соответствующих ¿-рядов Дирихле определяет целую функцию.

В основе доказательства теоремы 1 лежит метод редукции к степенным рядам, разработанный в работах [1 — 3], суть которого заключается в том, что многие задачи, связанные с изучением аналитических свойств

ряда Дирихле, сводятся к изучению определённых граничных свойств соответствующего (с теми же коэффициентами, что и у ряда Дирихле) степенного ряда. В данном случае авторам удалось определить класс степенных рядов, обладающих определёнными граничными свойствами, которому принадлежат степенные ряды, отвечающие ¿-функциям Дирихле числовых полей. А именно, используя технику, разработанную в [4], авторы доказали следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 2. Пусть /.-функция Дирихле абелевого поля к ¿(^./Д) определяет ряд Дирихле вида

® а

£(*.х>*)= Е"Т> 5 = о + й.

Тогда функцию 5(2), определённую соответствующим степенным рядом

П=1

можно представить в виде

где /?(г) - рациональная функция с полюсами, расположенными на единичной окружности, а ^(г) в любой точке г = е,Ч) имеет конечные радиальные производные любого порядка, т. е.

Как видно из определения скалярного произведения двух ¿-функций Дирихле, соответствующий степенной ряд является обычным адамаров-ским композитом степенных рядов, отвечающих этим ¿-функциям. Поэтому для степенных рядов, удовлетворяющих условиям теоремы 2, авторы доказали аналог теоремы Адамара об умножении особенностей. А именно, доказана

ТЕОРЕМА 3. Пусть степенные ряды

81(г)=1>„*" и 82{г)=±Ьп2"

П=1 Л=1

удовлетворяют условиям теоремы 2. Тогда их адамаровский композит

8(*)=£*Л*я

п=1

также удовлетворяет условиям теоремы 2, т. е.

При этом полюсы рациональной функции /?(г) могут находиться лишь среди произведений полюсов соответствующих рациональных функций /?,(*) и /?2(2).

Утверждение теоремы 1 получается как следствие теоремы 2 и теоремы 3 и того факта, доказанного в [3], что целостность ряда Дирихле рав-

49

посильна существованию в точке 2 = 1 радиальных производных любого порядка у соответствующего степенного ряда.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кузнецов В.И. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции // Теория функций и приближений: Гр. 3-й Capar, зимней шк. Саратов: Изд-во Capar. ун-та, 1988.4. 2. С. 113 115.

2. Кузнецов ВН. Метод редукции к степенным рядам в задаче о целостное™ композита рядов Дирихле // Теория функций и приближений: Тр. 4-й Сарат. зимней шк. Саратов: Изд-во Capar, ун-та, 1989. Ч. 1. С. 147- 149.

3. Кузнецов В.Н. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции //Дифференциальные уравнения и теория функций: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Capar, ун-та. 1991. Вып. 9. С. 23 - 29.

4. Кузнецов В.Н., Сорокина Е.В. К вопросу о целостности композита 1. -функций числовых полей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межиуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. С. 31- 43.

УДК 519.2

И. А. Кузнецова ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ СТОХАСТИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

В статье рассматривается задача максимизации функционала

при ограничениях u¡(£)¡)+v¡(£l¡)<h¡(^¡\ ¿=1,2, где ~ независимые

случайные величины, £,, имеет плотность />,(•), сосредоточенную на отрезке функции /,(■), £,■(■), /!;(•) положительны и непрерывны, £ =1,2. Функционал такого типа можно интерпретировать как общее количество продукции двух типов (при соблюдении комплектности), выпускаемой двумя производителями, каждый из которых имеет свою информацию о случайных факторах, характеризующих условия производства. Задачи такого типа относятся к задачам параллельной стохастической оптимизации [1].

Данная вариационная задача сводится к экстремальной задаче максимизации дифференцируемой функции одной переменной на отрезке. Кроме того, указан явный вид оптимальных управлений.

Очевидно, оптимальные управления должны удовлетворять условиям 1>/(£,/)= ¿=1,2. Учитывая это и сделав замену переменных, можно преобразовать исходную задачу к задаче максимизации функционала

//[сх1(-),<х2()] = 50