CC BY
8
УДК 514.76
К. В. Полякова1
1 Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия polyakova_@mail.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-11
Продолжения аффинной связности и горизонтальных векторов
Рассмотрено расслоение линейных реперов над гладким многообразием. Отображение ёе, определяемое дифференциалами векторов репера е 1-го порядка, является лифтом в нормаль N то есть пространство, дополняющее касательное пространство 1-го порядка до касательного пространства 2-го порядка к этому расслоению. В частности, отображение, определяемое дифференциалами вертикальных векторов этого репера, является вертикальным лифтом в нормаль N. Нормальный (вертикальный) лифт определяет нормальное (вертикальное) продолжение касательного пространства (то есть нормаль N и его вертикального подпространства. Дифференциал произвольного векторного поля на расслоении линейных реперов является полным лифтом из касательного пространства 1-го порядка в касательное пространство 2-го порядка к этому расслоению.
На расслоении базисные горизонтальные векторы играют двойную роль: во-первых, они служат операторами ковариантного дифференцирования геометрических объектов на расслоении; во-вторых, дифференциалы этих геометрических объектов можно рассматривать как формы, значения которых на базисных горизонтальных векторах дают ковариантные производные этих геометрических объектов.
Поступила в редакцию 30.04.2020 г. © Полякова К. В., 2020
Для объектов, ковариантные производные которых требуют привлечения связности 2-го порядка, ковариантные производные равны значениям дифференциалов этих объектов на горизонтальных векторах в продолженной аффинной связности. Построены продолжения горизонтальных векторов, то есть горизонтальные векторы 2-го порядка для продолженной связности. Касательное пространство 2-го порядка представлено в виде прямой суммы касательного пространства 1-го порядка, вертикальных продолжений вертикального и горизонтального подпространств, горизонтального продолжения горизонтального подпространства.
Ключевые слова: тангенциальнозначные формы, касательное пространство 2-го порядка, продолжение аффинной связности, горизонтальные векторы 1-го и 2-го порядков.
1. Каноническая форма на расслоении линейных реперов
Рассмотрим над га-мерным гладким многообразием Xm главное расслоение касательных реперов 2-го порядка со структурными уравнениями [3]
da = aj Aa'j, (1)
drn'j =akj A®'k +ak a a'jk, (2)
7 ' l i i l i 1,1 i
dak = ajkA a - a A a - aA Aak+a A aki.
Структурные уравнения (1, 2) задают расслоение линейных реперов L(Xm). Его типовым слоем является линейная группа GL(m), действующая в касательном пространстве TXm .
Вполне интегрируемая система уравнений ai = 0 фиксирует точку многообразия Xm , а значит, и слой расслоения
Ь(Хт). Следовательно, касательное пространство ТЬ(Хт)
содержит вертикальное пространство УЬ( Хт ) = [в-], касательное к слою в точке А.
Каноническая (структурная [1, с. 48]) форма на многообразии Ь( Хт) имеет вид
Хт) = Ов + 1
(3)
Двойственным к реперу в = ^, в, } касательного „-
ства ТЬ(Хт) = $рап(в1, вк) является корепер [со , о,} пространства Т*Ь(Хт): о' (в.) = 55, со' (в*) = 0, оС (в,) = 0
оО (в1) = 5''5, . Пусть текущая точка многообразия Хт в некоторой окрестности определяется локальными координатами х' (', к, ... = 1, ..., т). Формы инвариантного корепера ¡о', О } относительно натурального корепера ¡Ох', ёхк } выражаются по формулам [3]
( г \ ( О
к
, О
V 1
0
V ^ '^
ах
к $ V . '
-5к Х 4 °рх 1)
ахр
V ч /
где I х'. I — матрица, обратная к матрице (х'), х',к = х.. Бу-
дем считать, что все слоевые координаты х.к, х.ы,... симметричны по нижним индексам, а значит, симметричны формы
'' 7 '' , ' '' '' ' '' ' , / т '' ' \ '
Ок = ёх1к + х1к°1 - хС - хОк + (х.кхт! - хк)о .
Векторы (точнее, векторные поля) репера в = в., вк} в
натуральном репере ¡д. = д / дх' , дк = д / дх } выражаются по формулам
х
i i ~\к = - Хк 8k
= x к8 j + xjk e¡
e
к
2. Лифты векторов из касательного пространства 1-го порядка в касательное пространство 2-го порядка
Векторы e¡, et репера 1-го порядка являются дифференцированиями на функциях, точнее, операторами пфаффовых производных этих функций. При этом дифференциал d переводит касательные векторы 1-го порядка в тангенциально-значные формы со значениями в касательном пространстве
порядка 2 (соприкасающемся пространстве [7]) T 2L( Xm), то есть
d: 4 = TL(Xm) ^ 4 = 4 (T2L(Xm)).
Вертикальные ej и невертикальные ei векторы репера 1-го
порядка задают отображения [5]
i j к j j к jl к dei =-ег Щк + е1кЩ + е!к®1 ,
7 j , j к , j , к j (4)
de, = еЩ + Чщ + ещ + eu Щк
из касательного пространства TL(Xm) = span(ej, ек) в касательное пространство 2-го порядка T2L(Xm) = span(e1j, , eJü,
jl к к jl lj eík, ej ) , причем ey = eß , eu = eji, % = eh .
Векторы из совокупности e' = \eL, ejl, etj } через операторы частных дифференцирований выражаются по формулам
82 * 8 2 ^ l j isa jp i s U
el = xj——x' , ei = - x\es + xateJp - xj x к-
1к s ~ i ~ к P ' 1к si г рк iq l к ^ i ^ s
8xs8xp 4 ' 8x\8x
* ^2 *
_ к i/к s к \ l /-Ч к l к q sp l ^ к
eij = xijeк + (xlij - xijxls )e! + 2xl (i^j) + xsjxpie^a + x i x x x j .
8x 8x
Для линейного отображения ёв : ТЦХт) ^ Т2Ь(Хт) из
касательного пространства 1-го порядка в касательное пространство 2-го порядка, определяемого по (4), имеем ав(в) = в:
.[)=вк, ав(вк)=в'к, ав' (вк)=в., ОвДв.)=в..
Векторы из совокупности в = , в1., в пк, в . } выражаются по формулам [5]
■1'1 ]1 Я] ' '1 ] ' / $ к к \
в,к = в,к -5кв , в,к = в'к, в'] = в] + вк (хЛ] - х]К
в к = в.к +5кв. + вч (5рхк. -5кхр -5кхр)
'] '] ' ] Ру ] Ч' Ч ]' ' Ч]'
и удовлетворяют сравнениям на базе Ь(Хт)
ЛЛ} Л ЛЛ]' ~Л л- ~ ■ к I , -I к к _ -1к $
Ов,к = вОк , Овгк = 0, ав] = в'I + в/д °и , Ов ' = в.] О .
Векторы 2-го порядка образуют подпространство N = $рап(в''к, в1., в йк, в.), не содержащее векторы 1-го порядка, то есть Т Ь(Хт) = ТЬ(Хт) Ф N. Подпространство N является нормалью 1-го порядка. Векторы из совокупности в назовем нормальными векторами, а репер в2 = {в, в } — нормальным репером 2-го порядка.
Для векторов репера в = в], вк} и их дифференциалов
Ов = ¡в], Овк } имеем
Ц(Хт ) —^ ТЬ(Хт ) ——^^ N = Т2Ь(Хт )\ ТЬ(Хт ) .
Отображение Ов = ¡Ов'], Овк } (4) является лифтом отображения е; будем называть его лифтом в нормаль N (нормальным лифтом), отображение Ов] — вертикальным лифтом в
нормаль N. Лифт йв = ^в!, йвк | позволяет строить продолжение касательного пространства ТЬ(Хт) и его вертикального подпространства УЬ(Хт ) = [в/] в нормаль
N = Т 2 Ь( Хт )\Щ Хт ).
Нормаль N содержит подпространства
у = 8рал{в]1), Т = ярап^, ек1), Пу = эр^1, в/);
У=УТ г?У.
Теорема 1. Нормальный лифт йв определяет:
1) нормаль N то есть продолжение пТ пространства ТЬ( Хт ),
йв: ТЬ(Хт) ^ N = ярап(вЦ, в£, в/, ву) = пТ с Т2Ь(Хт);
2) продолжение пУ пространства УЪ(Хт)
йв: УЬ(Хт) ^ "У = ярап^1, в/) с N с Т\(Хт).
Теорема 2. Вертикальный лифт йв1 определяет:
1) вертикальное продолжение УТ пространства ТЬ(Хт)
йв' : ТЬ(Хт) ^ Т = ярап(в£, вк) с N с ТгЬ(Хп);
2) вертикальное продолжение V пространства УЪ(Хт)
йв1: УЬ(Хт) ^ V = ярап(в-1) с N с Т2Ь(Хт).
Для произвольного вектора и = и в + ив <еТЬ(Хт) функции и1, и1 удовлетворяют уравнениям
7 1 1 1 , 1,к 1 т 1 , к 1 1 к 1 к , 1,1 к
йи = и С + и 1 Ск , йи1 + и СО к - ик®1 = и]кЮ + и!кО>1 ,
следовательно, и = и (х], х1 ) , и' = —и х]к . При отображении О: ТЬ( Хт) ^ П1 (Т Ц Хт)) получим
Ои = и ¡о + й']ЮС , (5)
где
Л 1 к ] , ] к ] и' = и'в] + и]'вк + ив]' + ивк',-к , к ' , к / I , Ы \ , к / Н Ы ' \
и. = и1вк + иц ви + и (вк. + 5кв]) + и (вк. — 5]вк).
Теорема 3. Пусть и : Ь(Хт) ^ ТЬ(Хт ) — векторное поле на Ь(Хт). Тогда дифференциал отображения и является полным лифтом Ои: ТЬ(Хт) ^ Т2Ь(Хт) из касательного пространства ТЦ(Хт) в касательное пространство 2-го порядка Т2Ь(Хт), то есть
Ои: V е ТЬ(Хт) ^ 'у = й, V + йу е Т2Ь(Хт);
\ = °ф) = в (иУ + и^к + ^У]) + в/+ Ц — и^]) +
' к , ] / ' к , к 2 \ , ' ] + в'ки]У1 + в'к (и]У + иУ] ) + ] и .
3. Горизонтальные векторы и ковариантные производные
Зададим аффинную связность в расслоении Ь(Хт) касательных линейных реперов способом Лаптева — Лумисте [8] с
1 '' к ^ помощью форм о] = О] — 1 с , причем компоненты объекта
аффинной связности Гк удовлетворяют уравнениям
1+оСк =Гкс'. (6)
Внося в структурные уравнения (1, 2) формы связности , получим структурные уравнения Э. Картана:
Ва1 = 01, В~) = Ц, (7)
где & = Т']ка] лсС , Ц = Щыюк лс — формы кручения и
кривизны, D — символ внешнего ковариантного дифференциала:
Ва1 = йа + с 1 л ~], = й~ - ~к л .
J у J J J Л
Объекты кручения Тд и кривизны являются тензорами на базе Х т и выражаются по формулам
Т1 — К Г1 — Г1 Л Т)1 — Г1 — г6' г1
1]к~ 2 ^ 1к 1 к >, Л1к1~ 1 1[к ,1] 1 Цк1 '1] .
Дифференцируя уравнения (7) внешним образом, найдем тождества Бьянки в бескоординатном индексном представлении:
В& = Ц л а], ВЦ = 0, (8)
где В& = й& + & л ~ , ВО] = йЦ + Ц л ~ -Ц л ~] —
внешние ковариантные дифференциалы форм кручения и кривизны.
Отображение йК = (й - а\йв^ ) . [6] осуществляет дей-
® а = 0
ствие структурной группы в расслоении ТЬ (Хт), при этом уравнения инфинитезимального действия группы [10] для касательных векторов имеют вид
йк8 (в,) = в1 С + вк С , йК8 (в/ ) = 2вк Ск, йК8 (и) = [(ик + дки )вк + и - ик5'1 + и\дк)в[]С,
где формы С = а 1 являются структурными формами лисе =0
нейной группы GL(n) расслоения Ь (Хт).
Для произвольного вертикального вектора V = й1jвJi координаты и и их пфаффовы производные и'к равны нулю, и отображение ОЯ, переводит вертикальные векторы в вертикальные ОЯ, (у) = (ик — 5¡йl, + 5kJй'l в'к.
В аппарате, основанном на применении тангенциально-значных форм, понятие инвариантности векторов и подпространств удобно определять следующим образом. Подпространство Ь = $рап(и) является инвариантным относительно отображения /, если образ векторов и представляет собой векторнозначную 1-форму со значениями в подпространстве Ь, то есть /(и) е^(Ь).
Применяя действие оператора ОЯг = (О — со^Ов^)
к век-
оО =0
торам ~к = вк + Г1'кв\ , аннулирующим формы связности, получим ОЯ, (~к) = (О — )(~к)
' = е'Жк . Следовательно, гори-
о = 0
зонтальные векторы вк инвариантны в совокупности.
На расслоении У ^ Х определены формы различных типов. Форма является горизонтальной (вертикальной), если она аннулируется вертикальными (горизонтальными) векторами. Форма является горизонтальнозначной (НУ-значной), если она принимает значения в горизонтальном подпространстве НУ. Форма является вертикальнозначной (УУ-значной), если она принимает значения в вертикальном подпространстве УУ. Например, горизонтальные вертикальнозначные формы — это формы У ^ Т *Х ® УУ ; горизонтальные горизонтальнознач-ные формы — это У ^ Т *Х ® НУ .
Рассмотрим следующие тангенциальнозначные формы на многообразии Ь(Хт) с привлечением векторов ег, в}к пространства ТЬ(Хт) :
S = ~ a1 e HL (Xm) ® T *Xm сЛ, (HL (Xm)) — горизон-тальнозначная горизонтальная 1-форма связности;
= ejSj e VL(Xm) ® V*L(Xm) с Л (VL(Xm)) — вертикаль-нозначная вертикальная 1-форма связности;
0 = 50 e HL(Xm) ®A T*Xm с Л2 (HL(Xm)) — горизон-тальнозначная горизонтальная 2-форма кручения;
Л = ejaj e VL(Xm) ® A T*Xm с Л2 (VL(Xm)) — вертикаль-
нозначная горизонтальная 2-форма кривизны.
Используя введенные тангенциальнозначные формы, структурные уравнения (7) и тождества (8) на многообразии L(Xm) можно записать в бескоординатном безындексном виде:
D ¡5 = 0, DS = Л; D0 = [Л, ®], DЛ = 0. (9)
Действительно, справедливо
D ~ = ~D ai = 50 =0, D ~ = ej D Sj = ejaj = Л, DЛ = ej = 0.
1 2
Коммутатор векторнозначных 1-форм & и & выражается по формуле (см., напр., [2, с. 135]):
[&, &] = [Xt & i, Yj & 1 ] = [X t, Yj ] .9 i a & 1 .
Поэтому
k ■ k й
D0 = ~D0' = Л) a akSjs = Л! a ak[ej, ~k] = [Л, <~] .
Замечание. Все рассмотренные выше тангенциальнозначные формы заданы в репере e = jej, ~k} касательного пространства TL(Xm) , но тождества (9) также выполняются, если
вместо горизонтальных векторов вк рассматривать касательные
*
векторы £к = х ]кд . из пространства ТХт . Принято использовать в (9) каноническую форму ю=е®г е ТХ т ® Т * Хт многообразия Хт вместо горизонтальной горизонтальнознач-
~е е *
ной формы а = е® е ИЬ (Хт) ® Т*Хт . Также обычно исполь-
2
зуют форму 0 = а0 еТХт ®лТ Хт вместо горизонтально-
г-т* -
Х
т
2
значной формы кручения 0 = е0 еИЬ(Хт)® лТ*Хт .
Лемма 1. Внешний ковариантный дифференциал канонической формы в равен сумме форм кручения и кривизны Вв = 0 + П.
Действительно, раскладывая каноническую форму на вер-
V к
тикальный а и горизонтальный а проекторы, то есть
V к
/1 1 е I , е I е е
в = еI а 1 + е® = а+а,
V к
получим Б в = Б ® + Б ® = 0 + П .
Лемма 2. Скобка горизонтальных форм связности равна
ек ек
сумме ее форм кручения и кривизны, то есть [а, а] = 0 + П. Действительно,
е е__1 е 1 1 ■ , к I
[а, а] = [ei, в]]а л® = еТ® л^+ е] Я]® ла =0 + П.
4. Продолжение аффинной связности и горизонтальных векторов
Зададим формы [3, с. 167; 7]
еI I 1
=ак -Гм® ;
л г-'! г-'! $ г-'З I г-'З I I г-'! $
Г - Г1ак + Га к + ГЛ®^ + а = ГЫ® .
Объект аффинной связности 2-го порядка Г2 = {Г)к, Г]ы } задает связность в расслоении реперов 2-го порядка.
Ковариантные производные объекта связности Г]к отно-
2
сительно аффинной связности 2-го порядка Г выражаются по формуле
уГ =Г'т-Г'Г +ГГ +ГГ-1 (10)
и образуют самостоятельный тензор на многообразии Хт, то есть л(у;2Гд 0. Альтернируя ковариантные производные (10) по к и 1, получим
У [1Г?к] = К1к1 + Г'Тк1 - Т]к1. Объект 1 =1 ] -ГАкГ}1 ] в совокупности с объектом Ты
образует кручение аффинной связности 2-го порядка Т2 = {Т']к, Тк} [9]. Кручение 2-го порядка Т2 является тензором: л] =-ти1 а),.
В аффинной связности 1-го порядка производные тензора Q по направлению базисных горизонтальных векторов совпадают с образами горизонтальных векторов при линейном отображении, определенном дифференциалом этого тензора, то есть = йQ(вk), и это суть ковариантные производные
тензора Q в связности Г]к . Для ковариантных производных
УЛ , Лк г ] 1,1]
¿и = и1 + и] Г произвольного вектора и = и вi + ир\ касательного пространства 1-го порядка ТЬ (Хт) справедливы равенства У ц = д~и = йи (~). В частности, для ковариантных
производных базисных векторов 1-го порядка (вертикальных и горизонтальных) справедливо
У1в1 = д ~ в1 = йв1 (~1), У 1~ = й~к (~) = д ~в .
В связности 2-го порядка аналогичное выполняется, в частности, для самого объекта аффинной связности Г^ :
v^ = dr (5) = д~Г, (11)
если
ajk (~l)=r'jkl. (12) Формы ajk и горизонтальные векторы ei порождают основной объект Г аффинной связности 2-го порядка.
Равенства (12) и (11) имеют место, если
о
J-Г i _ si i s r^i i r^s i r^s
Г jkl = XjkXsl - Xjkl + Xjkr si - Xskr jl - Xjsr kl .
о 2 . о i
Связность Г = {rjk, rljkl) является продолженной связно-
0
стью 2-го порядка, а компоненты Г 'jkl — продолжением
связности Г'к [4].
Теорема 4 [4]. Ковариантные производные объекта связ-
0
ности Г^ в продолженной связности Г являются образами горизонтальных векторов при линейных отображениях, определенных дифференциалами объекта, а также производными по направлению горизонтальных векторов el, то есть справедливы равенства 0 2
v 2Г=dr;k (~l)=~ (г; ).
Теорема 5. Нормальный лифт de = \dej, dek j (4) порождает горизонтальные векторы 2-го порядка для продолженной 0 2 . 0 i связности Г = {r'jk, L jkl}, то есть
de : ~ = {~k} e HL(Xm ) ^ = sPan (~jk, ~k) e "HL(Xm ) •
Применяя отображения dei, dek к горизонтальным векторам ~k, получим продолжения горизонтальных векторов ek, то есть горизонтальные векторы 2-го порядка для продолженной связности [5; 11]
1 i Ч i I T^i is J-^l
ejk = dej (ek) = ejk - ej^ik + eflrsk, ejk = dej (ek) = ejk + eji^!k + ei i + esrjjk,
причем инвариантными на L(Xm) являются совокупности векторов {e^}, jk , j }• В частности, отображение
dej: ~ = } е HL(Xm) ^ v~ = span (j) e vHL(Xm)
порождает вертикальное продолжение ve = span (ejk) горизонтальных векторов, то есть пространство vHL( Xm ). Отображение [11]
d~k : ~ = {~l} е HL(Xm) ^ h~ = span (вы) e hHL(Xm)
порождает горизонтальное продолжение h~ = span (ekl) горизонтальных векторов, где
~ki = dek (el) = ~ki+jj + vi ii,
причем ~ki] = R'jkd + Tkf, .
Утверждение. Для касательного пространства 2-го порядка T2L(Xm ) справедливо разложение
T2L(Xm) = TL(Xm)Ф vVL(Xm)Ф vHL(Xm)Ф hHL(Xm),
где
TL( Xm) = span (ei, ~k), vVL(Xm) = span (ej),
vHL(Xm) = span(ejk), hHL(Xm) = span(~a) •
Действительно, для горизонтального пространства 2-го порядка nHL( Xm) имеем
nHL(Xm) = VHL(Xm) Ф hHL(Xm).
Принимая во внимание
T2L(Xm) = TL(Xm)®N, N = vVL(Xm)Ф nHL(Xm), получаем требуемое разложение.
Список литературы
1. Евтушик Л.• ЕЛумисте Ю• Г.•, Остиану Н• М.•, Широков А• П• Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9.
2. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. М., 1975.
3. Лаптев Г.• Ф• Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. Геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С.139—189.
4. Полякова К• В• Специальные аффинные связности 1-го и 2-го порядков // ДГМФ. Калининград, 2015. Вып. 46. С. 114—128.
5. Полякова К. В. О задании аффинной связности 2-го порядка векторнозначными формами 1-го, 2-го и 3-го порядков // ДГМФ. Калининград, 2016. Вып. 47. С. 108—125.
6. Полякова К. В. О действии структурной группы главного расслоения в его касательном пространстве // ДГМФ. Калининград, 2017. Вып. 48. С. 73—85.
7. Рыбников А• К• Об аффинных связностях второго порядка // Матем. заметки, 1981. Т. 29, вып. 2. С. 279—290.
8. Шевченко Ю• И.• Приемы Лаптева и Лумисте задания связности в главном расслоении // ДГМФ. Калининград, 2006. Вып. 37. С. 179—187.
9. Janyska J., Kolar I. On the connections naturally induced on the second order frame bundle // Archivum Mathematicum. 1986. Vol. 22, № 1. Р. 21—28.
10. Kolar I., Vitolo R Absolute contact differentiation on submani-folds of Cartan space // Diff. Geom. and its Appl. 2010. Vol. 28, iss. 1. P. 19—32.
11. Polyakova K. V. Prolongations generated by horizontal vectors // J. Geom. 2019. № 110. P. 53.
K.B. nonflKOBa
K. V. Polyakova1 11mmanuel Kant Baltic Federal University 14 A. Nevskogo St., Kaliningrad, 236016, Russia polyakova_@mail.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-11
Prolongations of affine connection and horizontal vectors
Submitted on April 30, 2020
The linear frame bundle over a smooth manifold is considered. The mapping dе defined by the differentials of the first-order frame e is a lift to the normal N, i.e., a space complementing the first-order tangent space to the second-order tangent space to this bundle. In particular, the mapping defined by the differentials of the vertical vector of this frame is a vertical lift into normal N.
The lift dе allows us to construct a prolongation both of the tangent space and its vertical subspace into the second-order tangent space, more precisely into the normal N. The normal lift dе defines the normal prolongation of the tangent space (i. e. the normal N) and its vertical subspace. The vertical lift defines the vertical prolongation of the tangent space and its vertical subspace. The differential of an arbitrary vector field on the linear frame bundle is a complete lift from the first-order tangent space to the second-order tangent space to this bundle.
It is known that the action of vector fields as differential operators on functions coincides with action of the differentials of these functions as 1-forms on these vector fields. Horizontal vectors played a dual role in the fibre bundle. On the one hand, the basic horizontal vectors serve as operators for the covariant differentiation of geometric objects in the bundle. On the other hand, the differentials of these geometric objects can be considered as forms (including tangential-valued ones) and their values on basic horizontal vectors give covariant derivatives of these geometric objects.
For objects which covariant derivatives require the second-order connection, the covariant derivatives are equal to the values of the differentials of these objects on horizontal vectors in prolonged affine connectivity. Prolongations of the basic horizontal vectors, i.e., the second-order horizontal vectors for prolonged connection, were constructed. The sec-
ond-order tangent space is represented as a straight sum of the first-order tangent space, vertical prolongations of the vertical and horizontal subspaces, and horizontal prolongation of the horizontal subspace.
Keywords: tangent-valued forms, second-order tangent space, prolongation of affine connection, covariant derivatives, first- and second-order horizontal vectors.
References
1. Evtushik, L.E., Lumiste, Yu. G., Ostianu, N. M., Shirokov, A.P.: Differential-geometric structures on manifolds. J. Soviet Math., 14:6, 1573—1719 (1980).
2. Sulanke, R., Wintgen, P.: Differentialgeometrie und faserbundel. Birkhauser, Basel (1972).
3. Laptev, G. F.: Fundamental infinitesimal structures of higher orders on a smooth manifold. Tr. Geom. Sem., 1, 139—189 (1966).
4. Polyakova, K. V.: Special affine connection of the 1st and 2nd orders. DGMF. Kaliningrad. 46, 114—128 (2015).
5. Polyakova, K. V.: Vector-valued forms of the 1st, 2nd and 3rd orders for affine connection of the 2nd order. DGMF. Kaliningrad. 47, 108—125 (2016).
6. Polyakova, K. V.: On action of structure group of principal fibre bundle in its tangent space. DGMF. Kaliningrad. 48, 73—85 (2017).
7. Rybnikov, A. K.: Affinee connections of second order. Math. Notes, 29:2, 143—149 (1981).
8. Shevchenko, Yu. I.: Laptev and Lumiste methods for the specication of a connection in a principal bundle. DGMF. Kaliningrad. 37, 179—187 (2006).
9. Janyska, J., Kolâr, I.: On the connections naturally induced on the second order frame bundle. Archivum Mathematicum, 22:1, 21—28 (1986).
10. Kolâr, I., Vitolo, R.: Absolute contact differentiation on submani-folds of Cartan space. Differential Geometry and its Applications, 28:1, 19—32 (2010).
11. Polyakova, K. V.: Prolongations generated by horizontal vectors. J. Geom., 110, 53 (2019).
