CC BY
6
УДК 514.76
К. В. Полякова1
1 Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия polyakova@mail.ru ORCID: http://orcid.org/0000-0002-9935-0232 doi: 10.5922/0321-4796-2019-50-13
Нормали на многообразии и порождающие их отображения
Рассматриваются канонические формы 1-го и 2-го порядков на гладком многообразии. Реализуется подход, связанный с координатным выражением базисных и слоевых форм на многообразии, а также векторов реперов в слоях (касательных векторов 1-го и 2-го порядков). Показано, что базисные касательные векторы 1-го и 2-го порядков являются операторами пфаффовых (обобщенных) дифференцирований 1-го и 2-го порядков функций, заданных на многообразии. Рассмотрены нормали на многообразии. Построены отображения из множества касательных векторов 1-го порядка во множество векторов нормали 2-го, а также 3-го порядка. Построены отображения, порождающие горизонтальные векторы для простейшей аффинной связности 2-го порядка.
Ключевые слова: дифференциальные формы, касательное пространство 2-го порядка, пфаффовы (обобщенные) производные, нормали на многообразии, аффинные связности.
1. Структурные уравнения и деривационные формулы. Каноническая форма 1-го порядка в = ю'(',], к = 1,т) на т-мер-ном многообразии Хт связывает касательное ТХт = $рап(е{) и
Поступила в редакцию 23.05.2019 г. © Полякова К. В., 2019
кокасательное T Xm = span(C ) пространства к этому многообразию в его текущей точке M, а также соответствует тождественным преобразованиям этих пространств, то есть
в = idTY , в = id л .
TX m T *X
i Xm
Дифференциальные 1-формы С образуют кобазис, сопряженный к подвижному (неголономному) базису {si}, то
есть сС (Sj) = S'j . Каноническая форма является тензорнознач-ной (см. [2; 4, с. 104]), точнее, тангенциальнозначной. Хотя фактически в = С ® si ET'Xm ® TXm, но значок тензорного
умножения в форме в = Сsi будем опускать.
Реализуем подход, связанный с координатным выражением базисных и слоевых форм, а также векторов реперов в слоях. Рассмотрим некоторую окрестность многообразия Xm, в которой текущая точка определяется локальными координатами x . Слоевые координаты [6, с. 149] xi, xjk, xjkl на многообразии Xm удовлетворяют соотношениям det(xj) Ф 0, * *
x'jx]k =5'к, xjx}k = S'k и симметричны по нижним индексам.
" jAk - uk' Л k_ uk
' i
"........" ^Jk
При этом базисные о1 и слоевые со,, со',к формы имеют вид
со = x'jdxJ, co'j = -xjdx\ - xjkc ,
i i i l i i l i l / s i i \ l (1)
= dxjk + xjCl - xCj - xjCk + (xjkxsl - xjki)c .
Структурные уравнения совокупности базисных со и слоевых сС, c'jk форм главного расслоения реперов 2-го порядка, построенного над многообразием Xm, находятся внешним дифференцированием форм (1) (см. [6]).
Относительно натурального (голономного) репера i = д / dx', dij = д2/ dx'dxj | векторы si, s^ раскладываются по формулам [7]
s = xiд j, sj = x k,x jд ki + xijx kд i. (2)
Слоевые формы интерпретируются как компоненты инфи-нитезимального перемещения векторного репера si, Sj , удовлетворяющего деривационным уравнениям
dS =®JSj + sj, dSj = + ®js,k + j + ®kSjk, (3)
которые получены дифференцированием векторов (2).
Пространство T2Xm = sparesi ,stj ) в текущей точке M многообразия называется касательным пространством порядка 2, а также соприкасающимся пространством порядка 1 [10];
dimT2Xm = -2m(m + 3).
2. Кокасательное пространство 2-го порядка гладкого многообразия. Операции внешнего дифференцирования и внешнего умножения, примененные к дифференциальным 1-фор-мам, приводят к дифференциальным 2-формам, то есть формам степени 2. Операции обычного дифференцирования и умножения (определенного, например, в [14, с. 8]), примененные к дифференциальным 1-формам, приводят к формам второго порядка. Пространства форм степени 1 и порядка 1 суть одно и то же, тогда как пространства форм степени 2 и порядка 2 уже не совпадают.
При умножении внешним образом двух 1-форм пространства T*Xm, а также при дифференцировании внешним образом 1-формы пространства T*Xm, коэффициенты которой зависят от координат xi точки многообразия, получаются 2-фор-
мы пространства л2 Т*Хт. Однако в общем случае при внешнем дифференцировании не получается форма пространства л2 Т*Хт, например Вт = йх . л йХ е Т*ЬХт.
Дифференцируя каноническую форму в обычным образом, получим (см. [1, с. 28; 12]) каноническую форму 2-го порядка
dв = (йт т )аг + т т а.. ,
причем йве (Т2Хт )* ® Т2Хт; йт + ткт'к, соа} е (Т2Хт )*,
а у е Т2Хт . Пространство (Т2Хт) является сопряженным
касательному пространству 2-го порядка Т2Хт и называется кокасательным пространством 2-го порядка.
На формах из пространства Т*Хт ® ТХт обычный дифференциал действует по закону
й : те Т * Хт ® ТХт ^
^ йт = аЛт1 + сойа1 е (Т2Хт )* ® Т2Хт .
г 1 V т / т
В этом случае увеличивается как порядок кокасательного пространства, так и порядок касательного пространства.
Условия сопряженности для произвольных (неголоном-ных, то есть не являющихся натуральными) базиса и кобазиса 2-го порядка имеют вид:
(йт + ткт'к)(а.) = 55, (йт + т.)(аи) = 0,
1 .... . . (4)
(тгт)(ак1) = + 5.5.), (тгту)(ак) = 0. У>
Тогда йв(а) = а, то есть йв = гйТХт, кроме того
йв(аг.) = аг., то есть йв = гй 2 . Форма 2-го порядка йв соТ Хт
ответствует тождественному преобразованию касательного пространства 2-го порядка Т2Хт и его подпространства ТХт .
Действуя формой йв на ковекторы 1-го и 2-го порядка
1 2 ... . . с = ас, с = а. (йс1 + со]со'.) + ас с , получим
1 ... 1 йв(с) = а. (йа + С а.) ф со,
2 ... . . 2 йв(с) = а. (йю1 +ссу) + а^т1 с =с.
Видим, что она соответствует тождественному преобразованию кокасательного пространства 2-го порядка (Т2 X т )*, то есть йв = .й 2 4 .
(Т 2 Хт)
Каноническая форма 2-го порядка связывает касательное Т2Хт и кокасательное (Т2Хт ) пространства 2-го порядка к многообразию Xт и соответствует тождественным преобразованиям этих пространств.
Векторнозначные формы 2-го порядка действуют как в пространстве векторов 2-го порядка, так и в пространстве ковекторов 2-го порядка. В случае тензорнозначной формы П = есе (ТгХт)*® ТрХт имеем
С2 = ею : и е ТгХт ^ £2(и) = е ■ с(и) е ТрХт ,
П = се: ве (ТрХт)* ^ П(в) = с ■ е(в) = с ■ в(е) е (ТгХт)*.
Замечание. Выражение обычного дифференциала канонической формы в многообразия относительно натуральных репера и корепера принимает вид: йв = й2х д. + йх йХд. . Операторы {5 .., д.} образуют натуральный корепер касательного пространства 2-го порядка Т2Хт ; дифференциалы {й2х , йхгйх}}
образуют натуральный корепер кокасательного пространства 2-го порядка (T2Xm )* (см. [3, с. 175; 13; 14]. Ненулевые условия сопряженности имеют вид
dx'dxJ (дk) = ±5/ + W), d2x' (dj) = 5) .
Справедливы включения
TXm с T2Xm и {д' }е{д,, dj },
T*Xm <Z (T2Xm )* и {dx'} g {d2x', dx'dxJ}.
3. Пфаффовы (неголономные) производные 1-го и 2-го порядков для функции на гладком многообразии. Пусть на многообразии Хт задана скалярная функция / = /(х'). Ее
дифференциал й/ определяет в двойственном касательном
*
пространстве Т Хт поле ковектора / = / со1, где величины
/ = х 18./ являются частными производными по отношению к кореперу {У} и называются пфаффовыми производными функции / [5, с. 67], а также обобщенными частными производными. Поскольку они возникают в неголономном ко-
репере со , то их можно называть неголономными производными.
Пфаффовы производные / функции / удовлетворяют уравнениям [7]
/ - /у у = /у (/ = /'),
* *
k I ~ г k
где /. = х ¡х .8а/ + х./к — пфаффовы (неголономные) производные 2-го порядка.
Обобщая известную для функции / и вектора V формулу 8У/ = й/ (V), получим лемму.
Лемма 1. Касательные векторы 1-го si и 2-го s^ порядков являются операторами пфаффовых дифференцирований функций f = f (x ), заданных на многообразии Xm, то есть справедливо
st (f) = df(Si), Sj ( f) = d 2 f (Sj ),
где d2 — дифференциал второго порядка, при этом справедливы обозначения si(f) = dstf = ft, Sj(f) = 5Sjf = fj.
Действительно, рассматривая действие дифференциала df на базисных векторах si, получим df (s) = f . Для вычисления дифференциала второго порядка [3, с. 175] d2f продифференцируем выражение df = f a1:
*
d 2f = d (f a ) = df a + f da = d (x i 5 f a + f da =
* *
/ 7 l s l l s t\ r k I ^ 2 r s t
= (da + aas + Xsta a )fi + x sX 15kija a . Тогда получим
d 2 f (stl ,.) = ((da +asas )(sj) + xst (asa )(sj)) fl + * *
+xkx t5h)(sjx
откуда с помощью условий сопряженности векторов и форм 2-го порядка (4) следует d2 f (siJ ) = fiJ.
Если в равенстве si (f) = df (si) заменить функцию f векторами sj, то будет иметь место следующая лемма.
Лемма 2. Для касательных векторов 1-го порядка si, sj справедливо равенство si (s.) = dsf (si).
Действительно, при линейном отображении йа, определяемом соотношением (3), имеем йа (а. ) = а.. Кроме того,
8 а. а = 8* . (хк 8 к ) = х У 8 I (хк 8 к ) = хк х У 8 к! = ау - хкг,ак = ау.
У У
Векторы а. удовлетворяют уравнениям Аа. = ауук, то есть инвариантны в совокупности, причем
.„/ „ „/
агук = агук - хгука1 - хгуа1к,,
где векторы
_ ! 5 г ^ ! / р д ! р д ! р д !
аук = х 1х ]х к8 Ы + хука1 + (х ! х ]х1к + х 1х !х]к + х ! х кху)8 рд
принадлежат касательному пространству 3-го порядка Т3Хт .
4. Нормали на гладком многообразии. В [10] нормалью (обобщенной нормалью [11]) порядка г в точке М многообразия называется такое подпространство N соприкасающегося
пространства 0ГХт, которое имеет пересечение нулевой раз-
гГ-1
мерности с пространством О и размерность которого является дополнительной по отношению к размерности 0Г 1Хт, то
есть N Ф 0Г-1 Хт = 0ГХт .
Для определения порядка нормали будем использовать порядки касательных, а не соприкасающихся пространств, полагая, что соприкасающееся пространство г-го порядка — это касательное пространство (г +1)-го порядка, то есть
Тг+1Хт = ОгХт . Кроме того, в качестве нормалей будем рассматривать также пространства, дополняющие ТХт (а не только пространство ТгХт) до пространства Тг+1Хт.
Нормалью порядка г пространства ТХ т (многообразия Хт) в точке М будем называть подпространство N, дополняющее пространство ТХ т до пространства ТХт, то есть N Ф ТХт = ТгХт . В частности, для пространства ТХт имеем
нормаль N2: N2 Ф ТХт = Т2Хт и нормаль N3 : N Ф ТХт = = Т3Хт . Эти нормали можно представить в виде
N 2 = Т 2 Хт \ ТХт , N ? = Т 3 Хт \ ТХт . Нормалью порядка г + 1 пространства ТгХт в точке М будем называть подпространство дополняющее пространство ТгХт до пространства Тг+хХт , то есть Ф ТгХт = = Тг+1Хт [10]. Например, для пространства Т2 Хт имеем нормаль N2 = Т3 Хт \ Т2 Хт.
Теорема. Пусть и : Хт ^ ТХт — векторное поле, тогда йи : ТХт ^ Т2Хт — линейное отображение из касательного пространства 1-го порядка в касательное пространство 2-го порядка. Причем для базисных касательных векторов £г : Хт ^ ТХт линейное отображение йе,: ТХт ^ N1 =
= Т Хт \ ТХт поднимает касательный вектор 1-го порядка в нормаль 2-го порядка N2; причем йе1: е] е ТХт ^
^ е,} е ^ = храп(ег]).
Отображение всем касательным векторам ставит в соответствие векторы нормали 2-го порядка. Такое расщепление соприкасающегося пространства определяет простейшую [8]
о
(каноническую) аффинную связность Г ]к = -х]к с формами
со'] = со] , . Эта связность является плоской и симметрич-
] ] с =о
0
ной. Векторы ё j = ё^ являются горизонтальными векторами
для простейшей связности 1-го порядка, а нормаль Nj2 — горизонтальным подпространством этой связности, то есть HT2Xm = N2 [10; 12].
Замечание. Размерности расслоений T(T2Xm), T 2(TXm), T3 Xm не равны между собой:
dim T(T2Xm) = m(m + 5),
dim T2(TXm) = m(m + 5) + m2,
dimT3Xm = 6m(m2 + 6m +17).
5. Нормали 3-го порядка. Обобщением леммы 2, справедливой для базисных касательных векторов 1-го порядка, на случай базисных касательных векторов 2-го порядка является следующая лемма.
Лемма 3. Для базисных касательных векторов 1-го и 2-го порядка ё = {ёг}, ё' = {ёу} справедливы равенства
деё' = ёё), дЕ,ё = d 2ё(ё'), дЕ,ё' = d 2ё'(ё'),
то есть производные одних базисных векторов по направлению других базисных векторов равны значениям дифференциалов первых векторов на вторых векторах, причем порядок дифференциалов равен порядку векторов, вдоль которых производится дифференцирование.
Вычисляя де.ёрд или действуя линейным отображением
dёpq на касательные векторы ёг, соответственно получим равные выражения
^ j k l ^ j l к ^ ds^pq = Х РХ qX iд Jkl + Xpq X гХ jд kl :
) £]хрд1 £jqХpi ^р]Хф'
которые обозначим = dSpq (£) = ^ .
Второй дифференциал касательных векторов si, то есть
обычный дифференциал деривационной формулы (З1), имеет вид
d 2£i = + £ {(ю1 + ю]кюк¡+ 2£]кюкю- +
+ Sj ((юг] +®1®к +юкю-к¡1
Вычисляя д £ или действуя линейным отображением
d2еi на соприкасающиеся векторы £ , соответственно получим равные выражения
~ _ j к I ~ |j I к
деpq£i = Х рХ qХ iдук + Хpq Х iХ уд 1к ,
'( £ (еpq ) = £ipq ~ £УХЩ ~ £jqxJip ~ £УрХЩ '
которые обозначим дЕр£1 = (12£ (£pq ) = £р11 .
Вычисляя д £ или действуя линейным отображением
( 2£у на соприкасающиеся векторы £рд, соответственно получим равные выражения.
Для векторов £р?, ,, £ рд справедливо £р?, , = £ рд, причем
А£pqi £у{ . Таким образом, векторы , £рд,1 инвариантны в совокупности и определяют нормаль 3-го порядка N = Т3Хт \ ТХт пространства ТХт, то есть
3
N = *рап(£п , £pqJ ).
Векторы ¿у к =е1]к — Х^Б^ инвариантны в совокупности,
причем для отображения, определяемого векторами нормали 2-го порядка, имеем
йёу : е* е ТХт ^ йёг] (ек) = ёи^ = ёг]л е N = Т3Хт \ Т2Хт .
Теорема. Пусть и : Хт ^ Т2Хт — векторное поле 2-го порядка, тогда йи : ТХт ^ Т3Хт — линейное отображение из касательного пространства 1-го порядка в касательное пространство 3-го порядка. Причем для базисных векторов 2 2
8у : Хт ^ N с Т Хт нормали 2-го порядка линейное отоб-
' 3 3
ражение й£у : ТХт ^ N2 с Т Хт поднимает касательный
вектор в нормаль 3-го порядка N2.
Обобщая данный результат, можно утверждать, что отображения, задаваемые дифференциалами базисных векторов нормали N-1, переводят базисные касательные векторы 1-го порядка в базисные векторы нормали .
Векторы ёц, е рд . = е.. рд являются горизонтальными векторами для простейшей связности 2-го порядка [8; 9]. Тензоры кривизны и кручения 2-го порядка в этой связности равны нулю. Действительно, горизонтальные векторы 3-го порядка е1]к
= Е]к + е 1]Г!к + ег1Г]к + еА]к ( е Т3Хт )
о 2
для простейшей аффинной связности 2-го порядка Г с ком-
0 00
]к = — Х]к , Ь ]к1 = — Х]к1 + ХкХл + Х^Хщ имеют вид О ~ . ~ .
£ ]к = Е. к . Формы О ] = о]к 1 , СО1: = со1: 1 являются форда =0
Ч]к ■ Ш ]к- ш ]к
мами простейшей связности 2-го порядка.
I п со =0
Для горизонтальных векторов простейшей связности 2-го
1 2
порядка 1 справедливо разложение
0 = . / . 0 = . £Чк = £ц ,к + Х]к£и, £ у = £у
2 3
по базисным векторам £ е N1 и к е N2.
Список литературы
1. Акивис М. А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин, 1977.
2. Бабурова О. В., Фролов Б. Н. Математические основы современной теории гравитации. М., 2012.
3. Веблен О., Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии. М., 1949.
4. Восилюс Р. В. Контравариантная теория дифференциального продолжения в модели пространства со связностью // Итоги науки и техники. Сер. Пробл. геом. 1983. Т. 14. С. 101—176.
5. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. Сер. Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9.
6. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139—189.
7. Полякова К. В. Двойственные методы исследования дифференциально-геометрических структур // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2014. Вып. 45. С. 92—104.
8. Полякова К. В. Специальные аффинные связности 1-го и 2-го порядков // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2015. Вып. 46. С. 114—128.
9. Полякова К. В. О задании аффинной связности 2-го порядка векторнозначными формами 1-го, 2-го и 3-го порядков // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2016. Вып. 47. С. 108—125.
10. Рыбников А. К. Об аффинных связностях второго порядка // Матем. заметки. 1981. Т. 29, вып. 2. С. 279—290.
11. Рыбников А. К. Об обобщенных аффинных связностях второго порядка // Изв. вузов. Матем. заметки. 1983. № 1. С. 73—80.
12. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998.
13. Catuogno P. A geometric Ito formula // Matemática Contemporánea. 2005. Vol. 33. P. 85—99.
14. Emery M. An Invitation to second-order stochastic differential geometry. 2007. URL: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00145073 (дата обращения: 20.04.2019).
K. Polyakova1 1 Immanuel Kant Baltic Federal University 14 A. Nevskogo St., Kaliningrad, 236016, Russia
polyakova_@mail.ru ORCID: http://orcid.org/0000-0002-9935-0232 doi: 10.5922/0321-4796-2019-50-13
Maps generating normals on a manifold
Submitted on May 23, 2019
The first- and second-order canonical forms are considered on a smooth m-manifold. The approach connected with coordinate expressions of basic and fiber forms, and first- and second-order tangent vectors on a manifold is implemented. It is shown that the basic first- and second-order tangent vectors are first- and second-order Pfaffian (generalized) differentiation operators of functions set on a manifold. Normals on a manifold are considered.
Differentials of the basic first-order (second-order) tangent vectors are linear maps from the first-order tangent space to the second-order (third-order) tangent space. Differentials of the basic first-order tangent vectors (basic vectors of the first-order normal) set a map which takes a first-order tangent vector into the second-order normal for the first-order tangent space of (into the third-order normal for second-order tangent space).
The map given by differentials of the basic first-order tangent vectors takes all tangent vectors to the vectors of the second-order normal. Such splitting the osculating space in the direct sum of the first-order tangent
space and second-order normal defines the simplest (canonical) affine connection which horizontal subspace is the indicated normal. This connection is flat and symmetric. The second-order normal is the horizontal subspace for this connection.
Derivatives of some basic vectors in the direction of other basic vectors are equal to values of differentials of the first vectors on the second vectors, and the order of differentials is equal to the order of vectors along which differentiation is made.
The maps set by differentials of basic vectors of r-order normal for (r - 1)-order tangent space take the basic first-order tangent vectors to the basic vectors of (r + 1)-order normal for r-order tangent space.
Horizontal vectors for the simplest second-order connection are constructed. Second-order curvature and torsion tensors vanish in this connection. For horizontal vectors of the simplest second-order connection there is the decomposition by means of the basic vectors of the second-and third-order normals.
Keywords: differential forms, second-order space, pfaffian (generalized) derivatives, normal on manifold, affine connections.
References
1. Akivis, M.A.: Multidimensional differential geometry. Kalinin (1977) (in Russian).
2. Baburova, O. V., Frolov, B.N.: Mathematical bases of the modern theory of gravitation. Moskow (2012) (in Russian).
3. Veblen, O., Whitehead, J.H. C.: The foundations of differential geometry. Cambridge University Press (1932).
4. Vosylius, R. V.: Contravariant theory of differential prolongation in a model of a space with connection. J. Soviet Math., 28:2, 208—256 (1985).
5. Evtushik, L.E., Lumiste, Yu. G., Ostianu, N.M., Shirokov, A. P.: Differential-geometric structures on manifolds. J. Soviet Math., 14:6, 1573—1719 (1980).
6. Laptev, G. F.: Main infinitesimal structures of higher orders on smooth manifold. Tr. Geom. Semin. VINITI. Moskow, 1, 139—189 (1966) (in Russian).
7. Polyakova, K. V.: Dual methods of investigation of differential-geometric structures. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 45, 92—104 (2014) (in Russian).
8. Polyakova, K. V.: Special affine connection of the 1st and 2nd orders. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 46, 114—128 (2015) (in Russian).
9. Polyakova K. V.: Vector-valued forms of the 1st, 2nd and 3rd orders for affine connection of the 2nd order. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 47, 108—125 (2016) (in Russian).
10. Rybnikov, A. K.: Affine connections of second order. Math. Notes, 29:2, 143—149 (1981).
11. Rybnikov, A. K.: Second-order generalized affine connections. Soviet Math. (Izv. VUZ), 27:1, 84—93 (1983).
12. Shevchenko, Yu. I.: Clothings of holonomic and non-holonomic smooth manifolds. Kaliningrad (1998) (in Russian).
13. Catuogno, P.: A geometric Ito formula. Matemática Contemporánea, 33, 85—99 (2005).
14. Emery, M.: An Invitation to second-order stochastic differential geometry (2007). Available at: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00145 073 [Accessed 20 April 2019].
