Аффинные связности, порожденные абсолютно параллельными полями векторов и ковекторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

К. В. Полякова1

1 Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия polyakova_@mail.ru

Аффинные связности, порожденные абсолютно параллельными полями векторов и ковекторов

Рассмотрены аффинные связности на «-мерном многообразии и в расслоении линейных реперов этого многообразия. Найдены выражения для объекта плоской связности через координаты абсолютно параллельных п векторов (ковекторов) и их пфаффовы производные, а также для объекта симметрической плоской связности через координаты абсолютно параллельных п ковекторов (полных дифференциалов п функций).

Ключевые слова: пфаффовы (обобщенные) производные, абсолютный параллелизм, плоская аффинная связность, симметрическая плоская связность.

1. Аффинная связность. В [7] найдено разложение компонент Г^ объекта аффинной связности в сумму тензора деформации у'.к и слоевых координат 2-го порядка х']к с помощью уравнений на объект связности. В [8] построены тензоры и со специальными полями, порождающие тензор деформации у']к, а следовательно, компоненты Г объекта

плоской и симметрической плоской связностей с помощью операции дифференциального продолжения, состоящей в дифференцировании уравнений внешним образом и последующем

Поступила в редакцию 11.04.2018 г. © Полякова К. В., 2018

разрешении по лемме Картана. Причем однократное продолжение объекта приводит к плоской связности, а двукратное

продолжение объекта у' — к симметрической плоской связности. Данный аналитический подход имеет известную геометрическую интерпретацию [6, с. 134—136], фактически состоящую в рассмотрении абсолютно параллельных полей векторов и ковекторов.

Рассмотрим га-мерное гладкое многообразие Хт и его окрестность, в которой текущая точка М определяется локальными координатами х1 (1, С, к,... = 1, т). Пусть векторные поля е1 образуют (неголономный) базис касательного векторного пространства ТХт в точке М, а дифференциальные 1-фор-

мы с1 — сопряженный ему кобазис в Т *Хт . Структурные формы со многообразия X т удовлетворяют уравнениям

ОС = С лсС .

Базисные со и слоевые формы соС имеют вид [5, с. 145]

* *

1 1 к 1 1 1 к / 1 к г*' \

с = х ^ах , со с = - х С-ахк - х^а (хк х =о^ ).

Для слоевых координат х1, х']к справедливо det(х1) ф 0,

х']к = х'с, в остальном они произвольны и рассматриваются

как независимые переменные [5, с. 149].

Уравнения на векторы е{ имеют вид [1, с. 56; 9, с. 20]

=ЕсС] +ВС1 ,

причем векторы е1]- являются касательными векторами 2-го порядка, на них натянуто касательное пространство 2-го порядка Т2Хт = ърап(е{, е ^) в точке М.

Пусть на многообразии Хт задана скалярная функция / тогда ее дифференциал ё/ определяет на Хт поле ковектора.

Если в некоторой окрестности имеем ё/ = 8£сХг = /А , то

*

величины / = х)8£ являются координатами указанного ко-векторного поля и называются пфаффовыми производными функции / по отношению к кореперу { а } [2, с. 67], или обобщенными частными производными [3, с. 182]. Аналогично функциям векторы е^ = хкх )8к1 + х^ х 1к81, являющиеся коэффициентами при базисных формах а , называются пфаффовыми производными векторов е1.

Зададим связность в расслоении касательных линейных реперов над многообразием Хт способом Лаптева — Лумисте [10]:

А = А-Г)А; ЛГ)к +а)к = Г)А, (1.1)

где тензорный дифференциальный оператор Л имеет вид

лг)к = йг)к -Га-ГА.

В [7] с помощью перехода в уравнениях (1.12) к натуральному кореперу получено разложение для компонент объекта аффинной связности Г)к = -х)к + у)к с помощью слоевых координат х)к и тензора деформации у)к = у)к (х1, х\). При этом объекты кручения Т)к и кривизны аффинной связности выражаются через тензор деформации у']к по формулам

8у1 [к ж

~2 Т)к = у[)к] , 7К)к1 = -Т-Т х I]- у)[ку*1 ] . (1.2)

8х

Равенство нулю тензора деформации у']к выделяет плос-

0

Г1 1

к = -хск, которая названа

простейшей [7] (канонической плоской [4, с. 94]).

Ковариантные производные базисных векторов е1 относительно аффинной связности Г*к выражаются по формулам

Vе =ву +екГ . (1.3)

Выражение для дифференциалов этих векторов - Г

11 =е С +£кГ]

~ j—г k

sli = sli + skrj имеет вид

А = sk (АГ. + а*) + a (s. + Гу%). (1.4)

Поскольку компоненты Гjk объекта аффинной связности удовлетворяют уравнениям (1.12), то уравнения (1.4) принимают вид A~j = а (sirjk + sjk +T]slk). Вект°ры относительно инвариантны, так как неподвижны в совокупности при фиксации точки M е Xm, которую обеспечивают уравнения

а = 0 . На векторы s. натянуто оснащающее подпространство HT2Xm = span (е.) пространства T2Xm [9, с. 49].

f ,

2. Плоская связность Г jk. Рассмотрим в касательном пространстве TXm новый базис {u l} , векторы (векторные поля) которого раскладываются в исходном базисе {sl} по формулам u l = f/s., причем функции fj = fj (xk, x[) образуют невырожденную матрицу, то есть det(Aj) ^ 0 . При дифференцировании векторов ul получим

"i I i ^k

dui = (dfi + fi Щ )sj + f sjka .

Если функции /) удовлетворяют уравнениям

/) + = /))А, (2.1)

то каждый из векторов иг относительно инвариантен (неподвижен при фиксации точки) и их смещения определяются уравнениями

к

dui = икю

где введено обозначение

игк = /)е1 + /ге,к . (2.2)

Из уравнений (2.1) следует, что

й/) (ек ) = /А (ек ) - /11Аг (ек ) = Г}к + /) хШ , а учитывая равенства 8£к /^ = ек (/^) = / (ек), получим

8/ = /]к+/)х\к. ад

Значит, пфаффовы производные /' = (/)к) имеют вид

/)к =8/ -/)х\к . (2.3')

Переходя в уравнениях (2.1) к натуральному кобазису, получим частные производные

8 кГ} = /)х1хк+х'к/г)1, 81кГ) = 81/)х \. (2.4)

Пфаффовы производные /]к объекта /) удовлетворяют

'jk

сравнениям AfiJk + ^ю31к = 0 (mod ю1). Для обратного тензора

f j (fk f ) = ) справедливы сравнения dfi- f кюк = 0 .

Заменяя в уравнениях (2.1) слоевые формы согк на формы связности с~к = Ск -Гс , получим V/ = скVк/^ [2, с. 65], где У/ = / + /ксо'к — ковариантный дифференциал,

V/ = /]к - /]Г (2.5)

— ковариантные производные невырожденного тензора / .

Замечание. 1. Выражение (2.5) представляет собой ковариантные производные для п контравариантных (то есть одноин-дексных) тензоров, поэтому оно содержит одно слагаемое с Г. 2. Если вместо форм связности (1.1) рассматривать формы связности с плюсом са'к =с'к + Гс , то выражение (2.5) совпадет с

классическим выражением ковариантных производных вектора, где оба слагаемых с плюсом. В традиционном задании связности методом Лаптева формы связности задаются в виде разности слоевых форм и линейной комбинации базисных форм (см., напр., [5, с. 166]).

Внешний дифференциал от ковариантных дифференциалов V/ приведем к виду

0(У/)) = У/к л ск +1 /кякс1 лС . (2.6)

Ковариантные производные V к/ образуют тензор, значит, его обращение в нуль инвариантно и задает абсолютный параллелизм векторов и . Равенство нулю ковариантных производных Vк/ (2.5) эквивалентно соотношению /к = /^Гк .

Учитывая невырожденность коэффициентов /, из последнего соотношения можно найти выражение объекта связности

Г = ГГк (/, /') через тензор / = (/) и его пфаффовы произ-

*

водные /' = (/]к): Г'к = //к . При этом векторы и перено-

сятся абсолютно параллельно в связности Г)к, значит, связность является плоской, то есть Я'кЬ = 0 . Тогда (2.6) упрощается и принимает вид Б(У/)) = V/) л со'к . Будем обозначать эту

/ г

плоскую связность Г ')к , то есть

Г)к= /ш/) , (2.7)

а с учетом (2.3' )

Г)к =}')8ек/ - х)к . (2.7 ')

Учитывая выражение (1.3) для горизонтальных векторов,

■ ~ I / ■

из (2.2) получим игк = е)к + (/Зк - /г Г 1к)е) . Если (2 7) вы-

полняется, то пфаффовы производные игк векторов иг нового

репера линейно выражаются через горизонтальные векторы

~ /

е)к связности Г )к , то есть игк = /■ ~)к е НТ Хт . При этом

йиг = //~)кск , то есть векторы иг переносятся параллельно в

/ .

Г г

)к , если они смещаются в горизонтальном подпространстве НТ2Хт .

Утверждение. Невырожденный тензор /г., удовлетворя-

/ г

ющий уравнениям (2.1), порождает объект Г )к (2.7) плоской связности.

Обратно, если связность является плоской, то векторы ui

переносятся абсолютно параллельно, ковариантные производные (2.5) равны нулю, а объект связности выражается по формуле (2.7), то есть объект связности порождается невырожденным тензором /)г .

Замечание. В [8] эта задача была решена чисто аналитически: набор тензоров /) со специальными полями

/) + ^Ск = /¡ГС /) ) * 0)

позволяет построить объект плоской связности Гк, то есть аффинная связность, порожденная пфаффовыми производными этого специального невырожденного тензора, является плоской.

Замечание. Если /) = х), то сравнивая (2.1) с йх), получим /)к =-х'1кх). Тогда из (2.7) следует, что Г)к =-х)к —

простейшая связность.

Подставляя (2.7) в (2.3), получим

8/ = /к Г'к1 + /кхк1 = /к (Г к + х'к1). (2.9)

/1 /1 г

Используя объект деформации у'ы = Г 'к1 + х1Ш связности

/г г к / г

Ги, выражение (2.9) запишем в виде 8 /^ = /^ у гк1, откуда

/ г / г

деформация у 1)к связности Г 1 )к выражается по формуле

у)к = /) 8/, (2.10)

/ * * * *

или (подробно) у ) = / )х к8Л . Подставляя у)к = / )х [8Л

в выражения (1.2) для кручения и кривизны, получим

/ . / . * * 1 . * . / Т )к = у [)к] = / [)х к]8¡Л = / [)8ек] /в , К )к1 = 0 .

Симметрия и несимметрия объекта связности не связана с симметрией или несимметрией слоевых координат х'к.

Теорема. Невырожденный тензор /1, удовлетворяющий

/ ,

уравнениям (2.1), порождает тензор деформации у '].к несим-

/ . / .

метрической плоской связности Г 1к = у 1к - х1к

/ . * * , Г 1 — —у1 л. f { V ' Я 1 jk- Х1к+-/ у к и*

/ * * с кручением Т .к = / [> к]9/ .

Известно, что пространства нулевой кривизны характеризуются существованием п независимых полей абсолютно параллельных векторов или ковекторов [6, с. 134—136].

Рассмотрим плоскую аффинную связность, заданную не в расслоении линейных реперов, а на самом многообразии. При таком рассмотрении компоненты объекта связности зависят от локальных координат х1, а величины х'к, х1к — это матрицы

частных производных преобразования х = х1 (у1). Возьмем т

тензоров (/1,...,/т), в совокупности образующих невырожденный объект / = (/1) (ёе^/1) ф 0), со следующим законом преобразования при переходе к новым координатам: — * — 1

/1 = /кхк , /1 = /кхк , (2.11)

при этом /у. = /1 (хк). Дифференцируя выражение (2.112) по

к

х1 , получим

* *

к/1 = /1 9кх{ = /1 х г= 3к/1 х г,

* *

что совпадает с (2.42). Из (2.112) выразим / 1 = хк / 1к .

* 8т

Рассмотрим объект (ср. [6, с. 135]) Е'к = / ) —к, тогда,

8х

*

— ■ - 8/'

преобразуя ¥)к = / —к, получим закон аналогичный закону

8у

для компонент связности (см. [8; 11, р. 246])

* *

ТтЛ _ р I 77-5 г р г

]к = х) Хк^р1 х 5- х)к х р .

Аналогично можно рассматривать абсолютно параллель-

ные ковекторные поля в1 = /¡С для плоской аффинной связ-

ности.

/*

3. Симметрическая плоская связность Г\к. Абсолютно параллельные ковекторные поля в1 = /).С порождают плоскую связность, но не симметрическую. Для задания плоской и симметрической связности рассмотрим формы

= , (3.1)

где 5 = 5 (х1) — функции базисных координат х', причем det( ) * 0; 5 = (я1 ) = (я1,..., ят) — набор функций. Выражение на пфаффовы (обобщенные) производные я') имеет вид

*

= хк8. (3.2)

Равенство (3.2) можно записать в виде я) =8е5г, где де5г =£) (я1 ) = йя1 (£)). Продолжая (3.1), получим уравнения на производные 8):

1 ' ' к ' к / ' ' \ /о

-= 5)кс (= ). (3.3)

Действуя формами = {1а1 на векторы и[ = //ек-, получим А{ (иу) = {'как(/]е1) = {/ . Кобазис (а*1 } сопряжен бази-

*

су (и1}, если {'к/к = 51, то есть {'к = / к . Тогда из (3.2) следует

к

^ к

дх

д{}

{1 = хк —. (3.4)

Пусть ковекторы А{ (3.1) переносятся абсолютно параллельно. Из уравнений (3.3) следует, что ковариантные производные объекта {1 в связности Г^ имеют вид

V. 1 1 т—> 1 /— 1 1 т—> 1

к{у = {ук + {¡Гук и обращаются в нуль, если {ук =-{Г}к , то

*

есть Гк =- {'¡{к . Поскольку ковариантные производные Vк{1 равны нулю, а пфаффовы производные {1к симметричны, то

кривизна и кручение этой связности (3.5) равны нулю. Обо-

/{1

значим ее объект Г'1к, то есть

/{ ■ * ■ I Г '¡к =-{11{,к . (3.5)

1к~ л }к ■

А{ 1 (ск ) = {]к — {1х]к

Из уравнений (3.3) следует, что й{1 (ек) = {1к -{\х1к или

е {1 = {1к -{¡х1к . Значит, пфаффовы производные {}к имеют вид

{)к =дек{'} + {1х)к . (3.6)

Из соотношений (3.5, 3.6) следует, что

{\(Г ш + х1к) = -де/}

/5 ■ /5 '

откуда для деформации у 1 )к связности Г 1к (3.5) имеем

/5

1 1 1 У )к =- 518 £к 5) ,

а с учетом (3.4) получим симметричную деформацию

■ ■ 8х * * 1

1 _ 1 р ^ _ 1

у )к = - хг~гх ) х к 8 pqs

А . . 8х' * * 1

Г' ' ' р q ^ 1

* - )к = -х)к - х( —гх ) х к 8.

Если считать, что наборы {йя1}, {и.} сопряжены, то есть

4 = Ак , то У)к = - А 8 к А1), а учитывая 8) = Ак А к, получим

*

у)к = А )8Е А. , что совпадает с (2.10). Но там А) не являются

*

производными, а в данном случае 5) = А ) это пфаффовы производные.

Т-1 II I I т—< I 1 т->

Замечание. Если 5 = х , то я , = х ., Г )к = -х)к . Базисные

) ) Г )к )к х1 и слоевые координаты х) являются генераторами [8] про-

0

стейшей связности Г ) = -х)к .

Если объект аффинной связности строится в результате двукратного вычисления пфаффовых производных объекта 51, то кривизна и кручение этой связности равны нулю.

Обратимся снова к связности, заданной на многообразии, а не в расслоении. Рассмотрим формы

= я^йх1,

где 5 = 5 (х1) — функции базисных координат х1, я) =8, причем det( я) ) * 0. Поскольку 5 = (я1 ) = (я1 ,..., ят) — набор

функций, то набор их градиентов {1 образует набор ковари-антных тензоров, для которых ковариантные производные

-7 1 -Л 1 1 Г"» 1

к{ 1 = 9к{ 1 - {1Г 1к ■

имеют вид Vк{\- =дк{1 - {'¡Гк. Обращение их в нуль дает

{¡Г}к =9 к{'1, откуда Г1.к = —---1—к~. Этот объект удовлетво-

д{ дх дх

ряет уравнениям для компонент объекта связности; он симметричен и его кривизна равна нулю. Таким образом, справедлива

Теорема. Объект

г

Г =

Г1к =

дх д{ д{ дх1дхк

порожденный функциями { = { (х1) (причем det(дк{ ) ф 0),

является объектом симметричной и плоской аффинной связности на многообразии.

Список литературы

1. Акивис М. А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин, 1977.

2. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. / ВИНИТИ. Т. 9. М., 1979.

3. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. М., 1975.

4. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии / пер. с англ. М., 1981. Т. 1.

5. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139—189.

6. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

7. Полякова К. В. Специальные аффинные связности 1-го и 2-го порядков // Диф. геом. многообр. фигур. 2015. Вып. 46. С. 114—128.

8. Полякова К. В. Generators of flat and symmetric flat affine connections // Abstracts of the conference: Problems of modern topology and its applications. Tashkent, 2016. P. 82—83.

9. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998.

10. Шевченко Ю. И. Приемы Лаптева и Лумисте задания связности в главном расслоении // Диф. геом. многообр. фигур. 2006. Вып. 37. С. 179—187.

11. Kolár I., Michor P. W., Slovak J. Natural operations in differential geometry. Berlin, 1993.

K. Polyakova1 11mmanuel Kant Baltic Federal University 14 A. Nevskogo ul., Kaliningrad, 236016, Russia polyakova_@mail.ru

Affine connections generated by absolutely parallel vector and convector fields

Submitted on April 11, 2018

Affine connections are considered both on an n-dimensional manifold and in the linear fibre bundle over the manifold. The expressions for the flat connection object in the terms of coordinates of absolutely parallel n vectors (covektors) and their Pfaffian derivatives and also for the symmetric flat connection object in the terms of coordinates of absolutely parallel n covektors (differentials of n functions) are found.

Keywords: pfaffian (generalized) derivatives, absolute parallelism, flat affine connection, symmetric affine connection.

References

1. Akivis, M.A.: Multidimensional differential geometry. Kalinin (1977) (in Russian).

2. Evtushik, L. E., Lumiste, Yu.G., Ostianu, N.M., Shirokov, A.P.: Differential-geometric structures on manifolds. Journal of Soviet Mathematics, 14:6, 1573—1719 (1980).

3. Zulanke, R., Vintgen, P. : Differential geometry and bundles. Mir, Moscow (1975) (in Russian).

4. Kobayasi, S., Nomizu, K.: Foundations of differential geometry. V. 1 (1963).

5. Laptev, G.F.: Main infinitesimal structures of higher orders on smooth manifold. Tr. Geom. Semin. VINITI. M., vol. 1, 139—189 (1966) (in Russian).

6. Norden, A.P.: Spaceswith an affine connection. Nauka, Moscow (1976) (in Russian).

7. Polyakova, K. V.: Special affine connection of the 1st and 2nd orders. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 46, 114—128 (2015) (in Russian).

8. Polyakova, K. V.: Generators of flat and symmetric flat affine connections. Abstracts of the conference: Problems of modern topology and its applications. Tashkent. Pp. 82—83 (2016).

9. Shevchenko, Yu.I.: Closings of holonomic and non-holonomic smooth manifolds. Kaliningrad (1998) (in Russian).

10. Shevchenko, Yu.I.: Laptev and Lumiste methods of giving connection in principal fiber bundle. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 37, 179—187 (2006) (in Russian).

11. Kolar, I., Michor, P. W., Slovak, J.: Natural operations in differential geometry. Springer-Verlag, Berlin (1993).